111 原住民特考四等 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

誤差傳播是利用已知觀測量的精度，推算由這些觀測量計算出的新量之精度。若待求量 $y$ 是觀測量 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 的函數：

$$y=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$$

當各觀測量的誤差相對於其數值很小時，以泰勒展開的一階項近似，$y$ 的微小誤差為：

$$dy\approx \sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i$$

若以協方差矩陣表示觀測量的不確定度，則 $y$ 的變異數為：

$$\sigma_y^2\approx \mathbf{J}\mathbf{\Sigma}_x\mathbf{J}^{T}$$

其中 $\mathbf{J}=[\partial f/\partial x_1,\ldots,\partial f/\partial x_n]$ 為函數的雅可比矩陣，$\mathbf{\Sigma}_x$ 為觀測量的協方差矩陣。多個計算結果的情形可寫為：

$$\mathbf{\Sigma}_y\approx \mathbf{J}\mathbf{\Sigma}_x\mathbf{J}^{T}$$

適用的誤差種類

誤差傳播適用於隨機誤差的精度傳遞。測量觀測量的隨機誤差經由數學函數計算後，會影響衍生量的變異數與協方差；例如由距離與角度計算坐標，或由多個坐標差計算距離。

若輸入量彼此不相關，協方差矩陣為對角矩陣，公式可簡化為：

$$\sigma_y^2\approx \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2\sigma_{x_i}^2$$

若輸入量彼此相關，則必須納入協方差項：

核心觀念

測量觀測量含有隨機誤差、系統性誤差與粗差。平差法的工作不只是計算最適觀測值，也包括建立觀測模型、估計未知參數、檢查模型與觀測資料，並依誤差性質採取不同處理方式。

• 隨機誤差：由許多微小且難以逐一控制的因素造成，正負方向不定，通常以機率模型描述。平差透過多餘觀測，依觀測精度配置權，估計未知數並分配改正數。
• 系統性誤差：由儀器、操作方式、環境或觀測模型中的固定偏差或規律效應造成，往往可辨認其來源或變化規律。若未處理，增加觀測次數也不會自然消除。
• 粗差：由讀數、記錄、輸入、照準或儀器操作失誤造成的顯著錯誤，通常不符合原先設定的隨機誤差模型。粗差會嚴重扭曲平差結果，不能直接當作一般隨機誤差分配。

解題方法

採用「建模與改正系統性誤差、以最小二乘平差處理隨機誤差、以檢核與可靠度分析偵測粗差」的步驟。

1. 建立觀測方程與隨機模型 將觀測量 $l$、未知參數 $x$ 及觀測函數 $f(x)$ 建立關係，線性化後可寫為 $v=Ax-l$ 其中 $v$ 為觀測改正數，$A$ 為設計矩陣。依觀測精度設定權矩陣 $P$，以加權最小二乘法使 $v^{T}Pv=\min$ 正規方程為 $A^{T}PA\hat{x}=A^{T}Pl$ 解得未知參數估值 $\hat{x}$，再由觀測方程求得改正數。高精度觀測應配置較大的權；權的相對大小反映觀測精度。

核心觀念

本題考查水準測量高程差、視準軸誤差改正，以及往返觀測成果的平均。

設視準軸向下傾斜角為 $\alpha=2'$。儀器視線每水平距離 $D$ 造成的讀數誤差近似為 $D\tan\alpha$。由於視線向下傾斜，讀尺讀數會偏大，因此：

• 後視讀數改正數：$-D_{\text{後}}\tan\alpha$
• 前視讀數改正數：$-D_{\text{前}}\tan\alpha$

水準測量高程差的計算式為：

$$\Delta H_{\text{前點}-\text{後點}} = r_{\text{後}}-r_{\text{前}}$$

其中 $r_{\text{後}}$、$r_{\text{前}}$ 為改正後的後視、前視讀數。

解題方法

先分別計算兩次觀測的未改正高程差，再依後、前視距離差施加視準軸誤差改正。令改正後的高程差為：

$$\Delta H=(BS-D_{\text{後}}\tan\alpha) -(FS-D_{\text{前}}\tan\alpha)$$

整理得：

$$\Delta H=(BS-FS) +(D_{\text{前}}-D_{\text{後}})\tan\alpha$$

角度換算為：

$$\alpha=2'=\frac{2}{60}^{\circ}$$

且：

$$\tan 2'\approx 0.00058178$$

第一次觀測：後視 A、前視 B

未改正高程差為：

$$\Delta H_{B-A}=1.578-1.635=-0.057\text{ m}$$

距離差改正為：

$$(20-30)\tan 2' =-10(0.00058178) =-0.005818\text{ m}$$

因此：

核心觀念

觀測量的權重用來表示觀測值的相對可靠程度：權重愈大，代表觀測精度愈高，平差時該觀測值的影響愈大。權重是相對量，單獨乘上所有權重相同的常數，不會改變平差所得的未知數，只會改變協方差矩陣的尺度。

若觀測量 $l_i$ 的標準差為 $\sigma_i$，其權重通常取與變異數成反比：

$$p_i \propto \frac{1}{\sigma_i^2}$$

常以某一基準觀測的標準差 $\sigma_0$ 定義無因次權重：

$$p_i=\frac{\sigma_0^2}{\sigma_i^2}$$

因此，標準差愈小，權重愈大；標準差加倍，權重則降為四分之一。若觀測量彼此相關，應使用完整的協方差矩陣 $\Sigma$，權矩陣為：

$$P=\Sigma^{-1}$$

解題方法：權重如何決定

依觀測來源與誤差特性估計各觀測量的精度，再換算成相對權重。測量中常見的決定方式如下：

1. 依已知精度或標準差決定：若各觀測量的標準差已知，直接按 $1/\sigma_i^2$ 比例給權。
2. 依觀測條件決定：若同類觀測的單次精度相同，則可依觀測次數、距離、觀測時間或儀器與作業方式等條件，建立相對精度模型，再換算權重。採用哪種關係式，須依該類觀測的誤差模型，不可一概而論。
3. 依重複觀測的統計結果估計：有足夠重複觀測時，可由殘差或樣本變異數估計精度，再據以定權。
4. 考量觀測間相關性：若不同觀測共享誤差來源或彼此相關，不應只設定各自的獨立權重，須在協方差矩陣中納入相關項。

權重在平差中的角色與影響

設觀測方程為 $v=Ax-l$，加權最小二乘法以加權殘差平方和最小為原則：

$$\min v^T P v$$

其法方程式為：