112 原住民特考四等 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

核心觀念

本題考測量誤差的分類與特性，重點是判斷誤差正負號是否有規律、辨認其成因，並說明如何消除或減低影響。設觀測值為 $l$、真值為 $L$，測量誤差可表示為 $e=l-L$。

解題方法

可依「正負號規律、發生原因、處理方法」逐類說明：

核心觀念

誤差傳播是指由若干已測量的量計算另一個量時，原始觀測量的誤差如何影響計算結果的精度。此題將道路總長度寫成三段長度之和：

$S=S_1+S_2+S_3$

若各段長度的標準差分別為 $\sigma_{S_1}$、$\sigma_{S_2}$、$\sigma_{S_3}$，則總長度的標準差要依各段誤差之間的相關性計算。題目未提供相關資訊時，按各段測量誤差彼此獨立處理。

解題方法

對函數 $S=S_1+S_2+S_3$，依誤差傳播定律：

因為各偏導數皆為 $1$，所以：

因此總長度可表示為：

核心觀念

本題考查測量成果品質的兩個面向：準確度與精確度。

• 準確度（Accuracy）：觀測結果或其平均值接近真值的程度，反映觀測成果的系統性偏差大小。結果愈接近真值，準確度愈高。
• 精確度（Precision）：重複觀測結果彼此接近的程度，反映觀測值的離散程度或隨機誤差大小。結果愈集中，精確度愈高。

兩者意義不同：一組觀測值可以彼此很集中、精確度高，卻整體偏離真值、準確度低；也可以平均值接近真值，但個別觀測值分散、精確度低。

解題方法

作答時先以「接近真值」說明準確度，再以「觀測值彼此集中」說明精確度，最後列出精密度的常用量化指標。兩種常見指標為：

1. 標準差（Standard Deviation）：表示觀測值相對其平均值的離散程度。對 $n$ 次觀測值 $x_i$，其樣本標準差為

核心觀念

本題考查測量平差中兩種基本模型的建立方式：直接觀測平差與間接觀測平差。兩者都以觀測值含有誤差為前提，利用冗餘觀測量求得最或是值，並使加權殘差平方和最小；主要差別在於平差的未知數是觀測量本身，還是描述測量網形的參數。

設觀測值向量為 $\mathbf{l}$，觀測改正數（殘差）為 $\mathbf{v}$，權矩陣為 $\mathbf{P}$，則加權最小平方法的目標為

其中權通常與觀測值的變異數成反比。

直接觀測平差

直接觀測平差又稱條件平差。平差未知數是各項觀測值的改正數 $\mathbf{v}$；觀測量之間必須滿足若干幾何或物理條件，平差後的觀測值須符合這些條件。

若觀測量的條件式寫為

在線性或經線性化後的模型中，可寫成

其中 $\mathbf{B}$ 為條件方程係數矩陣，$\mathbf{w}$ 為觀測值代入條件式所得的閉合差。透過最小化 $\mathbf{v}^{T}\mathbf{P}\mathbf{v}$，並滿足上述條件，求出各觀測值的改正數。

特性：

• 直接調整觀測值，使平差後觀測值滿足條件式。
• 不以未知點坐標等參數作為主要平差未知數。
• 適用於條件關係明確的觀測，例如閉合水準路線、閉合導線角度和、幾何圖形閉合差等。
• 若條件方程數為 $r$，其獨立條件數決定平差所需滿足的限制。

間接觀測平差

間接觀測平差又稱參數平差。平差未知數是欲求的參數，例如未知點坐標、高程或其他幾何量；觀測值則以這些參數的函數表示。

在線性或經線性化後的模型中，觀測方程可寫為

其中 $\mathbf{x}$ 為待求參數改正數或未知參數向量，$\mathbf{A}$ 為設計矩陣。最小化 $\mathbf{v}^{T}\mathbf{P}\mathbf{v}$，可得法方程