110 年調查局特考三等電子科學組考古題與詳解

Question 1

已知一週期為 $N$ 之數位訊號 $x[n]$ 的 Discrete-Time Fourier Series（DTFS）定義為

x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{jk\Omega_0n}

其中

X[k]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\Omega_0n},\qquad \Omega_0=\frac{2\pi}{N}.

假設一數位訊號 $x[n]$ 的 DTFS 之振幅（Magnitude）與相位（Phase）圖如下：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請求該數位訊號 $x[n]$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查離散時間傅立葉級數（DTFS）的反轉換： $$ x[n]=\sum{k=0}^{N-1}X[k]e^{jk\Omega0n}, \qquad \Omega0=\frac{2\pi}{N}. $$ 由圖中頻譜係數每隔 $9$ 個頻率索引重複一次，可知 $$ N=9,\qquad \Omega0=\frac{2\pi}{9}. $$ 由振幅圖與相位圖讀得各頻率係數如下： | $k$ | $|X[k]|$ | $\arg X[k]$ | $X[k]$ | |---|---:|---:|---:| | $0$ | $1$ | $\pi$ | $-1$ | | $1$ | $0$ | 未定義 | $0$ | | $2$ | $2$ | $-\pi/3$ | $2e^{-j\pi/3}$ | | $3$ | $1$ | $-\pi$ | $-1$ | | $4$ | $0$ | 未定義 | $0$ | | $5$ | $0$ | 未定義 | $0$ | | $6$ | $0$ | 未定義 | $0$ | | $7$ | $2$ | $\pi/3$ | $2e^{j\pi/3}$ | | $8$ | $1$ | $0$ | $1$ | 相位在 $X[k]=0$ 時沒有定義，圖上的零振幅頻率不影響訊號重建。 解題方法 將上述 $X[k]$ 代入 DTFS 反轉換： $$ \begin{aligned} x[n] &=X[0]+X[2]e^{j2\Omega0n} +X[3]e^{j3\Omega0n}\ &\quad+X[7]e^{j7\Omega0n} +X[8]e^{j8\Omega0n}. \end{aligned} $$ 因此

Question 2

假設一線性非時變（Linear Time-Invariant, LTI）系統之頻率響應 $H(f)$ 的振幅（Magnitude）與相位（Phase）圖如下：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

根據以下不同輸入訊號 $x_i(t)$ ，請求出 $x_i(t)$ 經過該 LTI 系統的輸出訊號 $y_i(t)$ 。

(一) $x_1(t)=\cos(10\pi t)+\cos(26\pi t)$ （10 分）

(二) $x_2(t)=\cos(12\pi t)+\cos(34\pi t)$ （10 分）

Accepted Answer

核心觀念 LTI 系統對不同頻率的正弦波，僅改變其振幅與相位： $$ x(t)=A\cos(2\pi f0t+\phi) $$ 通過頻率響應 $H(f)$ 後，輸出為 $$ y(t)=A|H(f0)| \cos\left(2\pi f0t+\phi+\angle H(f0)ight). $$ 因此，本題分別讀取各輸入頻率 $f0$ 所對應的 $|H(f0)|$ 與 $\angle H(f0)$ 即可。 由圖可得： - $|H(f)|=2$，當 $|f|\leq 10$ Hz。 - $|H(f)|=1$，當 $10<|f|\leq 20$ Hz。 - 在 $-15\leq f\leq 15$ Hz 間，相位由 $\pi/2$ 線性下降至 $-\pi/2$，故 $$ \angle H(f)=-\frac{\pi}{30}f. $$ - 當 $f15$ Hz 時，$\angle H(f)=-\pi/2$。 --- 解題方法 先將 $\cos(\omega t)$ 的角頻率換成普通頻率： $$ f=\frac{\omega}{2\pi}. $$ 再針對每一個正弦波，查出該頻率的增益與相位，最後疊加各輸出分量。 --- （一）$x1(t)=\cos(10\pi t)+\cos(26\pi t)$ 第一項 $$ \omega1=10\pi $$ $$ f1=\frac{10\pi}{2\pi}=5	ext{ Hz}. $$ 由振幅圖： $$ |H(5)|=2. $$ 由相位圖，$5$ Hz 位於線性相位區域： $$ \angle H(5) =-\frac{\pi}{30}(5) =-\frac{\pi}{6}. $$ 因此： $$ y{11}(t)=2\cos\left(10\pi t-\frac{\pi}{6}ight). $$ 第二項 $$ \omega2=26\pi $$ $$ f2=\frac{26\pi}{2\pi}=13	ext{ Hz}. $$ 因為 $10<13\leq20$，由振幅圖： $$ |H(13)|=1. $$ 相位為： $$ \angle H(13) =-\frac{\pi}{30}(13) =-\frac{13\pi}{30}. $$ 因此： $$ y{12}(t)=\cos\left(26\pi t-\frac{13\pi}{30}ight). $$ 兩項相加：

Question 3

調變（Modulation）是一種將一個或多個載波（Carrier）混入想傳送訊號的技術。透過調變技術，我們可將訊號的頻譜移到所預想的位置，不僅有利訊號的傳送，同時可使頻譜資源得到充分的利用。

一種常見之雙邊頻帶（Double-Sideband, DSB）調變之調變器（Modulator）與解調器（Demodulator）架構圖如下：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

其中 $m(t)$ 為傳送訊號， $A_c\cos\omega_ct=A_c\cos(2\pi f_ct)$ 為載波， $x_c(t)$ 為傳送訊號；另一方面， $x_r(t)$ 為接收訊號， $d(t)$ 與 $y_D(t)$ 分別為低通濾波器（Lowpass filter）的輸入與輸出訊號。

假設輸入訊號 $m(t)$ 的頻譜 $M(f)$ 如圖所示：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

其中 $W$ 為輸入訊號的頻寬（Bandwidth），且 $W\ll f_c$ 。假設在完全沒有損失與干擾的環境下，亦即 $x_r(t)=x_c(t)$ 。

(一) 請描繪出 $x_c(t)$ 的頻譜圖。（5 分）

(二) 請描繪出 $d(t)$ 的頻譜圖。（5 分）

(三) 請設計一合適之低通濾波器規格，使得 $y_D(t)=m(t)$ 。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「時域相乘造成頻域平移」及同步解調： - 調變器： $$xc(t)=Ac m(t)\cos(2\pi fc t)$$ - 解調器： $$d(t)=2xr(t)\cos(2\pi fc t)$$ - 時域乘上 $\cos(2\pi f0t)$，頻域會產生位移： $$ \mathcal{F}\{x(t)\cos(2\pi f0t)\} =\frac{1}{2}\left[X(f-f0)+X(f+f0)ight] $$ 因為 $W\ll fc$，各頻譜區塊彼此不重疊，可利用低通濾波器取出基頻訊號。 --- （一）$xc(t)$ 的頻譜 由 $$xc(t)=Ac m(t)\cos(2\pi fct)$$ 可得 $$Xc(f)=\frac{Ac}{2}\left[M(f-fc)+M(f+fc)ight]$$ 因此，$M(f)$ 的三角形頻譜會被平移至 $+fc$ 與 $-fc$，且振幅縮小為原來的 $Ac/2$。 頻譜位置如下： - 正頻率側：中心在 $f=fc$，範圍為 $fc-W$ 至 $fc+W$ - 負頻率側：中心在 $f=-fc$，範圍為 $-fc-W$ 至 $-fc+W$ - 不具有 $f=fc$ 的獨立載波譜線，屬於雙邊帶抑制載波調變（DSB-SC） 示意圖： 若原本 $M(f)$ 的峰值為 $M(0)$，則兩個三角形的峰值為 $$\frac{Ac}{2}M(0)$$ --- （二）$d(t)$ 的頻譜 在無損失、無干擾條件下， $$xr(t)=xc(t)=Acm(t)\cos(2\pi fct)$$ 解調器輸出為 $$d(t)=2xr(t)\cos(2\pi fct)$$ 代入 $xr(t)$： $$ \begin{aligned} d(t) &=2Acm(t)\cos^2(2\pi fct)\ &=Acm(t)\left[1+\cos(4\pi fct)ight] \end{aligned} $$ 其中使用 $$2\cos^2	heta=1+\cos(2	heta)$$ 因此其頻譜為 $$ D(f)=AcM(f)+\frac{Ac}{2} \left[M(f-2fc)+M(f+2fc)ight] $$ 所以 $D(f)$ 包含三部分： 1. 基頻頻譜 $AcM(f)$，中心在 $f=0$，範圍為 $-W$ 至 $W$ 2. 正頻率側頻譜，中心在 $2fc$，範圍為 $2fc-W$ 至 $2fc+W$

Question 4

(一) 請說明何謂匹配濾波器（Matched Filter）？（5 分）

(二) 一基本矩形脈波（Unit Rectangular Pulse） $\Pi(t)$ 的定義如下：

\Pi(t)= \begin{cases} 1, & |t|\leq \frac{1}{2},\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

考慮以下兩個矩形脈波 $g_1(t)$ 以及 $g_2(t)$ ，其中

g_1(t)=A\Pi\left(\frac{t-t_0}{T}\right)

以及

g_2(t)=B\cos\left(\frac{2\pi(t-t_0)}{T}\right)\Pi\left(\frac{t-t_0}{T}\right)。

觀察 $g_1(t)$ 以及 $g_2(t)$ 之匹配濾波器的輸出。假設兩個匹配濾波器的輸出有相同的訊號雜訊比（Signal-to-Noise Ratio, SNR），若 $B=5\sqrt{2}$ ，請問 $A=?$ （10 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考查匹配濾波器的定義、最大取樣訊號雜訊比，以及訊號能量的計算。

在加性白色高斯雜訊（AWGN）中，若已知訊號波形為 $s(t)$ ，匹配濾波器的脈衝響應可表示為

h(t)=K s^*(t_1-t)

其中：

$s^*(t)$ 表示訊號的複共軛；
$t_1$ 是取樣時刻；
$K$ 是比例常數。

匹配濾波器的特性是在指定取樣時刻 $t_1$ ，使輸出端的訊號雜訊比達到最大值。其最大輸出 SNR 與輸入訊號能量 $E_s$ 成正比：

\left(\frac{S}{N}\right)_{\max}=\frac{2E_s}{N_0}

因此，本題兩個匹配濾波器輸出具有相同 SNR，等價於兩個輸入訊號具有相同能量。

解題方法

（一）匹配濾波器的說明

匹配濾波器是針對已知訊號波形所設計的濾波器，其脈衝響應為該訊號的時間反轉與複共軛：

h(t)=K s^*(t_1-t)

若訊號為實數訊號，則複共軛不影響結果，可寫成

h(t)=K s(t_1-t)

匹配濾波器在取樣時刻 $t_1$ 的輸出，等效於接收訊號與已知訊號波形的相關性，因此能在雜訊背景中最大化訊號的可偵測程度。其最大輸出 SNR 為

\left(\frac{S}{N}\right)_{\max}=\frac{2E_s}{N_0}

其中 $E_s$ 是訊號能量， $N_0/2$ 是雙邊雜訊功率頻譜密度。

（二）求 $A$

1. 計算 $g_1(t)$ 的訊號能量

由

g_1(t)=A\Pi\left(\frac{t-t_0}{T}\right)

可知 $g_1(t)$ 在

\left| \frac{t-t_0}{T}\right|\leq \frac12

時存在，因此脈波寬度為 $T$ 。

其能量為

E_1=\int_{-\infty}^{\infty}|g_1(t)|^2dt

E_1=A^2\int_{t_0-T/2}^{t_0+T/2}dt

所以

E_1=A^2T

2. 計算 $g_2(t)$ 的訊號能量

由

Question 5

(一) 一 $M$ 階（$M$-ary）數位通訊系統每秒可傳送 $30000$ 符元（Symbols）。假設 $M=16$，請問該數位通訊系統的位元速率（bps）為何？（5 分） (二) 假設有一多路徑衰退通道（Multipath Fading Channel），在該多路徑通道中傳送 $500\ 	ext{kbps}$ 數據，其延遲擴展（Delay Spread）為 $5\ \mu	ext{s}$。請設計一多載波調變（Multiple Carrier Modulation, MCM）系統，假設每個子載波使用 QPSK 調變。為了避免多路徑通道造成的符元間干擾（Inter-symbol interference, ISI）問題，假設該 MCM 系統的符元週期（symbol period）最少必須為延遲擴展的 10 倍。如果我們使用 Radix-2 Inverse Fast Fourier Transform（IFFT）來實現該 MCM 系統，請問所需的 IFFT 點數最少為何？（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個觀念： 1. $M$ 階數位調變中，每個符元可承載的位元數為 $$ \log2 M $$ 因此位元速率為 $$ Rb=Rs\log2 M $$ 其中 $Rs$ 為符元率。 2. 多載波調變中，各子載波同時傳送資料。若每個子載波使用 QPSK，則每個子載波每個符元可傳送 $2$ 位元。所需子載波數決定後，Radix-2 IFFT 點數必須取不小於子載波數的最小二的冪次方。 --- （一）位元速率 已知： $$ Rs=30000\ 	ext{symbols/s} $$ $$ M=16 $$ 每個 16-ary 符元所承載的位元數為 $$ \log2 16=4\ 	ext{bits/symbol} $$ 因此位元速率為 $$ Rb=Rs\log2 M $$ $$ Rb=30000	imes 4 =120000\ 	ext{bps} $$ --- （二）MCM 系統所需的 IFFT 點數 1. 決定符元週期 延遲擴展為 $$ 	au{\max}=5\ \mu	ext{s} $$ 題目規定 MCM 符元週期至少為延遲擴展的 $10$ 倍，因此最小符元週期為 $$ Ts=10	au{\max} $$ $$ Ts=10	imes 5\ \mu	ext{s} =50\ \mu	ext{s} $$ 符元週期越長，單一子載波可承載的資料量越高；為使所需子載波數最少，應採用允許的最小符元週期 $50\ \mu	ext{s}$。 2. 計算每個子載波的資料速率 QPSK 每個符元可傳送 $$ \log2 4=2\ 	ext{bits} $$ 因此單一子載波的資料速率為 $$ R{	ext{sub}}=\frac{2}{Ts} =\frac{2}{50	imes 10^{-6}} =40000\ 	ext{bps} $$ 即每個子載波可傳送 $40\ 	ext{kbps}$。 3. 計算所需子載波數 總資料速率為

Question 6

假設有兩個二元對稱通道（Binary Symmetric Channel, BSC），如下圖所示：

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(一) 請計算 Channel 1 以及 Channel 2 的通道容量（Channel Capacity）為何？（5 分）

(二) 將 Channel 1 以及 Channel 2 串接（Cascade），請計算串接後該通道的容量為何？（5 分）

(三) 比較(一)與(二)的結果，請說明兩個二元對稱通道串接後的通道容量是否等於個別之通道容量的總和？請做合理的解釋。（5 分）

Accepted Answer

核心觀念 二元對稱通道（BSC）的錯誤率為 $p$ 時，通道容量為 $$ C=1-H2(p) $$ 其中二元熵函數 $$ H2(p)=-p\log2p-(1-p)\log2(1-p) $$ 單位為 bit／次通道使用。 圖中： - Channel 1：錯誤率 $p1=0.1$ - Channel 2：錯誤率 $p2=0.25$ --- 解題方法 （一）分別計算兩個通道容量 Channel 1 $$ C1=1-H2(0.1) $$ $$ H2(0.1) =-0.1\log2(0.1)-0.9\log2(0.9) \approx 0.4690 $$ 因此 $$ \boxed{C1\approx 1-0.4690=0.5310	ext{ bit／次}} $$ Channel 2 $$ C2=1-H2(0.25) $$ $$ H2(0.25) =-0.25\log2(0.25)-0.75\log2(0.75) \approx 0.8113 $$ 因此 $$ \boxed{C2\approx 1-0.8113=0.1887	ext{ bit／次}} $$ --- （二）計算串接後的通道容量 兩個 BSC 串接後，若輸入位元最後發生錯誤，只有以下兩種情況： 1. 第一道錯、第二道正確； 2. 第一道正確、第二道錯。 因此串接後的等效錯誤率為 $$ pc=p1(1-p2)+(1-p1)p2 $$ 代入 $p1=0.1$、$p2=0.25$： $$ pc=(0.1)(0.75)+(0.9)(0.25) $$ $$ pc=0.075+0.225=0.3 $$ 所以串接後仍為 BSC，錯誤率為 $0.3$，其容量為 $$ Cc=1-H2(0.3) $$ $$ H2(0.3) =-0.3\log2(0.3)-0.7\log2(0.7) \approx 0.8813 $$ 因此

110 調查局特考三等電子科學組通信與系統考古題詳解

第一題15 分

第二題

核心觀念

解題方法

（一） $x_1(t)=\cos(10\pi t)+\cos(26\pi t)$

第一項

第二項

第三題

核心觀念

（一） $x_c(t)$ 的頻譜

（二） $d(t)$ 的頻譜

第四題

核心觀念

解題方法

（一）匹配濾波器的說明

（二）求 $A$

1. 計算 $g_1(t)$ 的訊號能量

2. 計算 $g_2(t)$ 的訊號能量

第五題

核心觀念

（一）位元速率

（二）MCM 系統所需的 IFFT 點數

1. 決定符元週期

2. 計算每個子載波的資料速率

3. 計算所需子載波數

第六題

核心觀念

解題方法

（一）分別計算兩個通道容量

Channel 1

Channel 2

（二）計算串接後的通道容量

其他考古題

110 年電子科學組的其他科目

電子科學組《通信與系統》其他年度

110 調查局特考三等 電子科學組 通信與系統 考古題詳解

第 一 題15 分

第 二 題

核心觀念

解題方法

（一）x1(t)=cos⁡(10πt)+cos⁡(26πt)x_1(t)=\cos(10\pi t)+\cos(26\pi t)x1​(t)=cos(10πt)+cos(26πt)

第一項

第二項

第 三 題

核心觀念

（一）xc(t)x_c(t)xc​(t) 的頻譜

（二）d(t)d(t)d(t) 的頻譜

第 四 題

核心觀念

解題方法

（一）匹配濾波器的說明

（二）求 AAA

1. 計算 g1(t)g_1(t)g1​(t) 的訊號能量

2. 計算 g2(t)g_2(t)g2​(t) 的訊號能量

第 五 題

核心觀念

（一）位元速率

（二）MCM 系統所需的 IFFT 點數

1. 決定符元週期

2. 計算每個子載波的資料速率

3. 計算所需子載波數

第 六 題

核心觀念

解題方法

（一）分別計算兩個通道容量

Channel 1

Channel 2

（二）計算串接後的通道容量

其他考古題

110 年電子科學組的其他科目

電子科學組《通信與系統》其他年度

110 調查局特考三等電子科學組通信與系統考古題詳解

第一題15 分

第二題

（一） $x_1(t)=\cos(10\pi t)+\cos(26\pi t)$

第三題

（一） $x_c(t)$ 的頻譜

（二） $d(t)$ 的頻譜

第四題

（二）求 $A$

1. 計算 $g_1(t)$ 的訊號能量

2. 計算 $g_2(t)$ 的訊號能量

第五題

第六題