115 調查局特考三等 電子科學組 通信與系統 考古題詳解

核心觀念

本題考查連續時間 LTI 系統的頻率響應，以及正弦訊號通過系統後的振幅縮放與相位偏移。

對微分方程取傅立葉轉換，利用 $\frac{d}{dt}\leftrightarrow j2\pi f$，可得

$$H(f)=\frac{Y(f)}{X(f)} =\frac{j2\pi f+3}{j2\pi f+2}.$$

對輸入中的每個頻率 $f_0$，輸出振幅乘上 $|H(f_0)|$，相位則加上 $\angle H(f_0)$。

解題方法

將系統方程

$$\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=\frac{dx(t)}{dt}+3x(t)$$

兩邊取傅立葉轉換：

$$j2\pi fY(f)+2Y(f)=j2\pi fX(f)+3X(f).$$

整理並令 $H(f)=Y(f)/X(f)$，得到頻率響應：

$$\boxed{H(f)=\frac{j2\pi f+3}{j2\pi f+2}}.$$

令分子、分母同乘共軛數 $2-j2\pi f$，可寫成實部與虛部形式：

$$H(f) =\frac{(3+j2\pi f)(2-j2\pi f)}{4+(2\pi f)^2} =\frac{6+(2\pi f)^2+j2\pi f}{4+(2\pi f)^2}.$$

因此

$$\boxed{\operatorname{Re}\{H(f)\} =\frac{6+(2\pi f)^2}{4+(2\pi f)^2}}, \qquad \boxed{\operatorname{Im}\{H(f)\} =\frac{2\pi f}{4+(2\pi f)^2}}.$$

頻率響應的大小為

$$\boxed{|H(f)| =\sqrt{\frac{(2\pi f)^2+9}{(2\pi f)^2+4}}}.$$

相位為分子角度減去分母角度：

$$\boxed{\angle H(f) =\tan^{-1}\!\left(\frac{2\pi f}{3}\right) -\tan^{-1}\!\left(\frac{2\pi f}{2}\right)}.$$

上述反正切式按主值表示；對本題的正頻率，兩角皆在第一象限，故此相位為負值。

輸出頻率成分

輸入為

$$x(t)=\cos(2\pi t)+2\cos(4\pi t),$$

核心觀念

單音調變的 FM 信號可寫成

$$s(t)=A_c\cos\left[2\pi f_ct+\beta\sin(2\pi f_mt)\right],$$

其中 $\beta$ 是調變指數，$f_m$ 是調變訊號頻率。FM 的最大頻率偏移與調變指數關係為

$$\Delta f=\beta f_m.$$

卡爾森法則估計 FM 傳輸頻寬：

$$B_T\approx 2(\Delta f+f_m).$$

解題方法

將題目信號

$$s(t)=8\cos\left[2\pi f_ct+2\sin(2\pi\cdot 5\,\text{kHz}\,t)\right]$$

與單音 FM 標準式比較，可讀出 $\beta=2$，且 $f_m=5\,\text{kHz}$。振幅 $8$ 不影響調變指數、頻率偏移或頻寬。

（一）調變指數 $\beta$

標準式中，$\sin(2\pi f_mt)$ 前的係數就是調變指數，因此

$$\boxed{\beta=2}$$

核心觀念

本題考二元反極性基頻訊號的每位元能量、匹配濾波器，以及在加成性高斯白雜訊（AWGN）下的位元錯誤率（BER）。

匹配濾波器在取樣時刻 $T$ 的脈衝響應，與欲偵測訊號在觀測區間內的時間反轉形式成比例；對等概似的二元訊號，最適判決可由兩訊號的歐氏距離求得。

解題方法

（一）每位元能量 $E_b$

訊號在 $0\leq t<T$ 期間振幅為 $+6$ 或 $-6$，因此兩種位元訊號的能量相同：

$$E_b=\int_0^T |s_i(t)|^2\,dt =\int_0^T 6^2\,dt =36T,\qquad i\in\{0,1\}.$$

故每位元能量為 $36T$。

（二）匹配濾波器脈衝響應

匹配於 $s_1(t)$、並在 $t=T$ 取樣的濾波器，其脈衝響應形式為

$$h_1(t)=k\,s_1(T-t) = \begin{cases} 6k, & 0\leq t\leq T,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

其中 $k$ 為任意非零比例常數。因為 $s_1(t)$ 在有效區間為常數，時間反轉後仍為常數，因此匹配濾波器是有效期間內的矩形脈衝。

也可匹配於 $s_0(t)$：

$$h_0(t)=k\,s_0(T-t) = \begin{cases} -6k, & 0\leq t\leq T,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

兩者僅差一個符號，判決門檻與輸出極性須配合選用的濾波器。

（三）以 $Q$ 函數表示 BER

兩個訊號分別為 $+6$ 與 $-6$，其距離為

核心觀念

QPSK（四相位移鍵控）每個符元有 $4$ 種可能狀態，因此每個符元可代表

$$\log_2 4=2\ \text{bits}.$$

資料率 $R_b$、符元率 $R_s$ 與每符元承載的位元數 $k$ 關係為

$$R_b=kR_s.$$

升餘弦濾波的基頻頻寬（單邊頻寬）則由符元率及滾降係數決定：

$$B_{\text{baseband}}=\frac{1+\alpha}{2}R_s.$$

解題方法

（一）求符元率

QPSK 每符元承載 $k=2$ 個位元，因此

$$R_s=\frac{R_b}{k} =\frac{2\times 10^6}{2} =1\times 10^6\ \text{符元／秒}.$$

所以符元率為 $1\ \text{Msymbol/s}$，亦即 $1\ \text{Mbaud}$。

（二）求升餘弦基頻頻寬

升餘弦濾波的單邊基頻頻寬為

$$B_{\text{baseband}}=\frac{1+\alpha}{2}R_s.$$

代入 $\alpha=0.25$、$R_s=1\times 10^6$ 符元／秒：