115 調查局特考三等 電子科學組 工程數學 考古題詳解

核心觀念

本題考二階常係數齊性線性微分方程，先由特徵方程判斷根的型態，再依初始條件求出通解中的常數。

解題方法

設解為 $y=e^{rt}$，代入微分方程 $y''+y'+0.25y=0$，得到特徵方程

$$r^2+r+\frac14=0 \quad\Longrightarrow\quad \left(r+\frac12\right)^2=0.$$

特徵根為重根 $r=-\frac12$，因此通解為

$$y(t)=(C_1+C_2t)e^{-t/2}.$$

由 $y(0)=3$ 得

$$C_1=3.$$

對通解微分：

$$y'(t)=\left[C_2-\frac12(C_1+C_2t)\right]e^{-t/2}.$$

核心觀念

本題考查矩陣反矩陣的定義。若 $A^{-1}=B$，則必須滿足 $AB=I$，其中 $I$ 為單位矩陣。利用這個關係，可將矩陣乘法的元素逐項對應，求出未知數 $a,b,c$。

解題方法

令

$$B= \begin{bmatrix} -7 & 2 & 3\\ -13 & -2 & 7\\ 8 & 2 & -2 \end{bmatrix}.$$

由 $A^{-1}=B$ 可知 $AB=I$。題目中的 $A$ 含有係數 $\frac{1}{10}$，因此先計算未乘上 $\frac{1}{10}$ 的矩陣與 $B$ 的乘積：

$$\begin{bmatrix} -1 & b & 2\\ a & -1 & 1\\ -1 & 3 & c \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 10&0&0\\ 0&10&0\\ 0&0&10 \end{bmatrix}.$$

核心觀念

若 $v$ 是矩陣 $A$ 對應於特徵值 $\lambda$ 的特徵向量，依特徵向量的定義，必須滿足

$$Av=\lambda v.$$

本題給定兩組特徵值與特徵向量，將它們分別代入特徵方程，即可列出關於 $\alpha,\beta$ 的方程式。

解題方法

對應於特徵值 $-i$ 的特徵向量為 $\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}$。計算矩陣與向量的乘積：

$$A\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \alpha\\ \beta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\alpha\\ \beta i\end{bmatrix}.$$

依 $Av=\lambda v$，此乘積也必須等於

核心觀念

本題使用留數定理：若函數在正向簡單閉曲線 $C$ 內除有限個孤立奇點外解析，且曲線上沒有奇點，則

$$\oint_C f(z)\,dz =2\pi i\sum \operatorname{Res}(f;\text{曲線內的奇點}).$$

題目中的被積函數分成兩部分處理：

$$f(z)=\frac{ze^{\pi z}}{z^4-16}+ze^{\pi/z}.$$

第一部分的奇點來自 $z^4-16=0$；第二部分在 $z=0$ 有本性奇點。橢圓內部的奇點都要計算留數。

解題方法

橢圓可寫成

$$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{9}=1.$$

因此橢圓的水平範圍為 $-1\le x\le 1$，垂直範圍為 $-3\le y\le 3$。

一、判斷曲線內的奇點

由

$$z^4-16=0$$

得到四個根

$$z=2,\quad -2,\quad 2i,\quad -2i.$$

實根 $2,-2$ 位於橢圓外；純虛根 $2i,-2i$ 位於橢圓內。另有 $ze^{\pi/z}$ 在 $z=0$ 有本性奇點，而原點也在橢圓內。

二、計算 $z=2i,-2i$ 的留數

兩根皆為 $z^4-16$ 的單根，因此

$$\operatorname{Res}\left( \frac{ze^{\pi z}}{z^4-16};z_0 \right) =\frac{z_0e^{\pi z_0}}{4z_0^3} =\frac{e^{\pi z_0}}{4z_0^2}.$$

當 $z_0=2i$ 時，$z_0^2=-4$ 且 $e^{2\pi i}=1$，所以

$$\operatorname{Res}\left( \frac{ze^{\pi z}}{z^4-16};2i \right) =-\frac{1}{16}.$$

當 $z_0=-2i$ 時，$z_0^2=-4$ 且 $e^{-2\pi i}=1$，所以

核心觀念

題目考查連續型均勻分布的機率密度函數，以及期望值的定義。若 $X$ 在區間 $(a,b)$ 上均勻分布，則其機率密度函數為

$$f_X(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a<x<b,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

連續隨機變數 $X$ 的平方期望值定義為

$$E[X^2]=\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f_X(x)\,dx.$$

解題方法

由於密度函數只在 $a<x<b$ 時非零，積分範圍縮為 $a$ 至 $b$：