111 調查局特考三等 電子科學組 工程數學 考古題詳解

核心觀念

本題評量向量微積分（Vector Calculus）的基本微分運算與向量恆等式，包含以下核心知識：

1. 散度（Divergence）定義： 純量場 $\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$，代表向量場在某點的通量源匯強度。
2. 旋度（Curl）定義： 向量場 $\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$，代表向量場在該點的旋轉強度與軸向。
3. 重要向量恆等式： 對任意二次連續可微的向量場 $\vec{F}$，「旋度之散度恆為零」，即：

$$\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F}) = 0$$

4. 二階旋度運算： 可直接將一次旋度所得之新向量場再取一次旋度，或應用向量微積分拉普拉斯恆等式 $\nabla\times(\nabla\times\vec{F}) = \nabla(\nabla\cdot\vec{F}) - \nabla^2\vec{F}$ 進行計算與驗算。

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解題方法

已知三維向量場為：

$$\vec{F} = (F_x, F_y, F_z) = (x^2, xy, y+z^2) = x^2\hat{\imath} + xy\hat{\jmath} + (y+z^2)\hat{k}$$

(一) 求 $\vec{F}$ 的散度 $\nabla\cdot\vec{F}$

依據散度定義逐項對各坐標分量進行偏微分：

$$\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(xy) + \frac{\partial}{\partial z}(y+z^2)$$

各項計算如下：

• $\frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x$
• $\frac{\partial}{\partial y}(xy) = x$
• $\frac{\partial}{\partial z}(y+z^2) = 2z$

將各項相加：

$$\nabla\cdot\vec{F} = 2x + x + 2z = 3x + 2z$$

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(二) 求 $\vec{F}$ 的旋度 $\nabla\times\vec{F}$

利用外積行列式展開：

$$\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ x^2 & xy & y+z^2 \end{vmatrix}$$

分別計算三個方向分量：

• $\hat{\imath}$ 分量：

$$\frac{\partial}{\partial y}(y+z^2) - \frac{\partial}{\partial z}(xy) = 1 - 0 = 1$$

• $\hat{\jmath}$ 分量：

$$-\left[\frac{\partial}{\partial x}(y+z^2) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2)\right] = -(0 - 0) = 0$$

• $\hat{k}$ 分量：

$$\frac{\partial}{\partial x}(xy) - \frac{\partial}{\partial y}(x^2) = y - 0 = y$$

因此：

$$\nabla\times\vec{F} = \hat{\imath} + 0\hat{\jmath} + y\hat{k} = (1, 0, y)$$

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(三) 求 $\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})$

核心觀念

1. 線性常微分方程式之定義： 一階或高階常微分方程式若能表示為： $a_n(x)\frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = r(x)$ 其中應變數 $y$ 及其各階導數皆為一次方，且彼此之間沒有相乘、亦無非線性函數（如 $\sin(y)$、$e^y$ 等）複合，則稱為線性微分方程式。當最高階導數階數為 2（即 $n=2$ 且 $a_2(x) \neq 0$）時，即為二階線性微分方程式。
2. 常係數齊次微分方程式與特徵根法： 對應之齊次方程式 $y'' + 6y' - 7y = 0$，令試解 $y = e^{\lambda x}$，可得特徵方程式（Characteristic Equation）： $\lambda^2 + 6\lambda - 7 = 0$ 若特徵方程式具兩相異實根 $\lambda_1, \lambda_2$，則其齊次解（通解）為： $y_h(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x} \quad (c_1, c_2 \text{ 為任意常數})$
3. 非齊次方程式之特定解求法： 對於常係數非齊次方程式 $L[y] = r(x)$，當非齊次項為正弦或餘弦函數 $r(x) = \cos(\omega x)$ 且 $\pm i\omega$ 並非特徵根時，可採用未定係數法（Method of Undetermined Coefficients），令特定解型態為 $y_p(x) = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)$，代回原方程式比較係數求解。

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解題方法

(一) 判定是否為二階線性微分方程式

二階線性常微分方程式的一般標準形式為： $a_2(x)\frac{d^2 y}{dx^2} + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = r(x)$ 檢視本題給定之方程式： $\frac{d^2}{dx^2}y(x) + 6\frac{d}{dx}y(x) - 7y(x) = \cos(x)$

1. 最高導數階數：最高階導數為 $\frac{d^2 y}{dx^2}$，階數為 2，其前項係數 $a_2(x) = 1 \neq 0$。
2. 線性性質檢驗：應變數 $y(x)$ 及其各階導數 $\frac{dy}{dx}$、$\frac{d^2 y}{dx^2}$ 皆僅以一次方形式出現，項與項之間無乘積項，且不包含非線性函數運算。各項係數分別為 $a_2(x) = 1$、$a_1(x) = 6$、$a_0(x) = -7$，非齊次項 $r(x) = \cos(x)$ 僅為自變數 $x$ 之函數。

因此，本微分方程式可以歸類為二階線性微分方程式（具體為二階常係數非齊次線性微分方程式）。

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(二) 求解齊次解的一般形式

考慮對應之齊次方程式： $\frac{d^2 y}{dx^2} + 6\frac{dy}{dx} - 7y = 0$

1. 寫出對應的代數特徵方程式： $\lambda^2 + 6\lambda - 7 = 0$
2. 進行因式分解： $(\lambda + 7)(\lambda - 1) = 0$ 求得特徵根： $\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = -7$
3. 特徵根為兩相異實根，對應的線性獨立齊次基礎解為 $y_1(x) = e^{x}$ 與 $y_2(x) = e^{-7x}$。
4. 根據疊加原理，齊次解的一般形式（General Form）為： $y_h(x) = c_1 e^{x} + c_2 e^{-7x}$ （其中 $c_1, c_2$ 為任意實數常數）

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(三) 求解非齊次項之特定解

原非齊次方程式為： $y'' + 6y' - 7y = \cos(x)$

核心觀念

1. 二階矩陣的行列式（Determinant）： 若 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其行列式定義為： $\det(A) = ad - bc$

2. 二階矩陣的反矩陣（Inverse Matrix）： 若 $\det(A) \neq 0$，則 $A$ 為可逆矩陣（Invertible），其反矩陣公式為： $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

3. 矩陣的可對角化性（Diagonalizability）： 一個 $n \times n$ 矩陣 $A$ 在複數（或實數）域上「可對角化」的充分必要條件為：

• 矩陣 $A$ 擁有 $n$ 個線性獨立（Linearly Independent）的特徵向量（Eigenvectors）。
• 等價條件：對 $A$ 的每一個特徵值 $\lambda$，其代數重數（Algebraic Multiplicity, 簡稱 AM）等於幾何重數（Geometric Multiplicity, 簡稱 GM）。
• 代數重數 $m_a(\lambda)$：特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 中根 $\lambda$ 的重數。
• 幾何重數 $m_g(\lambda)$：特徵空間（Eigenspace）之維度，即 $m_g(\lambda) = \operatorname{nullity}(A - \lambda I) = n - \operatorname{rank}(A - \lambda I)$。 若存在任一特徵值滿足 $m_g(\lambda) < m_a(\lambda)$，則 $A$ 缺少足夠的線性獨立特徵向量，稱為欠缺矩陣（Defective Matrix），故不可對角化。

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解題方法

(一) 求 $A^{-1}$

1. 給定矩陣： $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
2. 計算伴隨矩陣 $\operatorname{adj}(A)$： 主對角線元素互換，副對角線元素變號： $\operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$
3. 計算行列式值： $\det(A) = (3)(1) - (-1)(1) = 3 + 1 = 4 \neq 0$
4. 代入反矩陣公式： $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{pmatrix}$

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(二) 求 $\det(A)$

根據二階行列式展開定義： $\det(A) = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (3) \times (1) - (-1) \times (1) = 3 - (-1) = 4$

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(三) 證明 $A$ 為不可對角化（Not Diagonalizable）

步驟一：求解特徵值（Eigenvalues）與代數重數（AM） 設特徵方程式為 $\det(A - \lambda I) = 0$： $\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = 0$ 展開行列式： $(3 - \lambda)(1 - \lambda) - (-1)(1) = 0$ $\lambda^2 - 4\lambda + 3 + 1 = 0$ $\lambda^2 - 4\lambda + 4 = 0 \implies (\lambda - 2)^2 = 0$ 得特徵值為 $\lambda = 2$（二重根），其代數重數 $m_a(2) = 2$。

步驟二：求解特徵空間維度與幾何重數（GM） 將 $\lambda = 2$ 代入特徵向量方程式 $(A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$： $A - 2I = \begin{pmatrix} 3 - 2 & -1 \\ 1 & 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ 對矩陣進行列運算（Row Operations）：

核心觀念

本題為機率論與數理統計的經典題型，所給定的分佈為參數為零均值的拉普拉斯分佈（Laplace Distribution，又稱雙指數分佈 Double Exponential Distribution）。解答本題需掌握以下四個核心概念：

1. 機率密度函數（PDF）之正規化條件（Normalization Condition）： 對於連續隨機變數 $X$，其機率密度函數必須滿足非負性 $f(x) \ge 0$ 以及全機率公理：

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 1$$

2. 期望值（Expectation）與奇偶函數積分性質： 連續隨機變數的期望值定義為 $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\, dx$。若被積函數具備對稱性（奇函數）且積分絕對收斂，可直接判定積分值為 0。
3. 對稱分佈之區間機率： 連續型隨機變數單點機率為零（$\operatorname{Prob}(X = 0) = 0$）。若 $f(x)$ 關於 $x = 0$ 左右對稱（即 $f(-x) = f(x)$），則正半軸與負半軸之機率各佔一半。
4. 隨機變數變換（Transformation of Random Variables）： 求隨機變數函數 $Y = g(X) = |X|$ 的機率密度函數，最穩健且不易出錯的方法為累積分布函數法（CDF Method）：先求出 $F_Y(y) = \operatorname{Prob}(Y \le y)$，再微分求得 $f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y)$。

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解題方法

(一) 求待定常數 $C$

由機率密度函數之全機率條件：

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = \int_{-\infty}^{\infty} C \cdot e^{-\lambda|x|}\, dx = 1$$

觀察被積函數 $f(x) = C e^{-\lambda |x|}$，因 $|-x| = |x|$，故 $f(x)$ 為偶函數（Even Function）。利用對稱性將積分範圍簡化為非負區間：

$$\int_{-\infty}^{\infty} C \cdot e^{-\lambda|x|}\, dx = 2C \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\, dx = 1$$

計算右側之定積分：

$$\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda x}\, dx = \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_{0}^{\infty} = 0 - \left( -\frac{1}{\lambda} \right) = \frac{1}{\lambda}$$

代入等式：

$$2C \cdot \frac{1}{\lambda} = 1 \implies C = \frac{\lambda}{2}$$

因此，$X$ 的機率密度函數為：

$$f(x) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda|x|},\qquad -\infty < x < \infty$$

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(二) 求 $X$ 的期望值 $E[X]$

依期望值定義：

$$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x)\, dx = \int_{-\infty}^{\infty} x \left( \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda|x|} \right) dx$$

檢驗被積函數 $g(x) = x \cdot \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda|x|}$ 的奇偶性：

$$g(-x) = (-x) \cdot \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda|-x|} = - \left( x \cdot \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda|x|} \right) = -g(x)$$

故 $g(x)$ 為奇函數（Odd Function）。 同時檢驗其絕對收斂性：

$$\int_{-\infty}^{\infty} |x| \cdot \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda|x|}\, dx = 2 \cdot \frac{\lambda}{2} \int_0^\infty x e^{-\lambda x}\, dx = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda} < \infty$$

因積分絕對收斂且對稱區間上被積函數為奇函數，直接得：

$$E[X] = 0$$

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(三) 求 $\operatorname{Prob}(X > 0)$

方法一：直接定積分計算

$$\operatorname{Prob}(X > 0) = \int_{0}^{\infty} f(x)\, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda x}\, dx$$ $$= \frac{\lambda}{2} \left[ -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_{0}^{\infty} = \frac{\lambda}{2} \left( 0 - \left( -\frac{1}{\lambda} \right) \right) = \frac{1}{2}$$

方法二：利用對稱性性質 因連續隨機變數單點機率 $\operatorname{Prob}(X = 0) = 0$，且 $f(-x) = f(x)$ 關於原點對稱，故：

$$\operatorname{Prob}(X < 0) = \operatorname{Prob}(X > 0)$$

由全機率定理：

核心觀念

本題為複變函數論（Complex Variables）的經典考題，融合了三大核心考點：

1. 羅倫特級數（Laurent Series）與奇異點（Singularity）：解析函數在包含孤立奇異點 $z_0$ 的環狀區域（Annulus）$0 < |z - z_0| < R$ 內可展開為羅倫特級數，級數在奇異點處不具解析性，必須予以排除。
2. 複數三角函數與雙曲函數之轉換：利用歐拉公式（Euler's formula）定義之複數三角函數，滿足關係式 $\cos(iy) = \cosh(y) = \frac{e^y + e^{-y}}{2}$。
3. 柯西積分定理（Cauchy's Integral Theorem）與柯西殘數定理（Cauchy's Residue Theorem）：

• 若函數在單連通閉曲線內部及其邊界上處處解析，則閉路徑積分為 $0$。
• 若閉曲線內部包圍孤立奇異點，則閉路徑積分等於 $2\pi i$ 乘以內部所有奇異點之殘數和（Sum of Residues）；而中心在 $z_0$ 的羅倫特級數中，$(z - z_0)^{-1}$ 項之係數 $a_{-1}$ 即為在該點之殘數 $\text{Res}(f, z_0)$。

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解題方法與詳細步驟

(一) 排除的複數平面點

1. 奇異點分析： 分子函數 $\cos(z)$ 在整個複數平面 $\mathbb{C}$ 上為整函數（Entire function）；分母在 $z = 0$ 處為零。因此 $f(z) = \frac{\cos(z)}{z}$ 在 $z = 0$ 處具有孤立奇異點（極點，Pole）。
2. 級數收斂範圍： 題示之展開式為以 $z_0 = 0$ 為中心的羅倫特級數：

$$\frac{\cos(z)}{z} = \frac{1}{z} - \frac{z}{2!} + \frac{z^3}{4!} - \frac{z^5}{6!} + \cdots$$

該展開式成立的有效收斂區域為去除原點後的打孔平面（Punctured plane）：

$$0 < |z| < \infty$$

在 $z = 0$ 處分母為零，函數無定義且非解析，因此必須排除點 $z = 0$。

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(二) 計算 $f(i) = \alpha + i\beta$

1. 代入 $z = i$：

$$f(i) = \frac{\cos(i)}{i}$$

2. 化簡分子 $\cos(i)$： 根據複數餘弦函數定義：

$$\cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$$

將 $z = i$ 代入：

$$\cos(i) = \frac{e^{i\cdot i} + e^{-i\cdot i}}{2} = \frac{e^{-1} + e^{1}}{2} = \cosh(1)$$

3. 化簡分式並分離實部與虛部： 利用 $\frac{1}{i} = -i$：

$$f(i) = \frac{\cosh(1)}{i} = -i\cosh(1) = 0 + i\cdot\left(-\cosh(1)\right)$$

亦可表示為指數形式：

$$f(i) = 0 + i\cdot\left(-\frac{e + e^{-1}}{2}\right)$$

比對 $f(i) = \alpha + i\beta$，得：