110 調查局特考三等 電子科學組 工程數學 考古題詳解

核心觀念

本題考查三階方陣的基本運算：

1. 利用行列式展開公式求 $\det(A)$。
2. 利用伴隨矩陣公式求反矩陣： $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),\qquad \det(A)\ne 0.$
3. 將線性方程組寫成矩陣形式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b},$ 再利用 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ 求出未知數。

由於 $\det(A)\ne 0$，故方程組有唯一解，且 $A^{-1}$ 存在。

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解題方法

（一）求 $A$ 的行列式

將第一列作代數餘子式展開：

$$\det(A) = 2\begin{vmatrix} 9&-2\\ -8&11 \end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix} 1&-2\\ 4&11 \end{vmatrix} +3\begin{vmatrix} 1&9\\ 4&-8 \end{vmatrix}.$$

分別計算二階行列式：

$$\begin{vmatrix} 9&-2\\ -8&11 \end{vmatrix} =9(11)-(-2)(-8)=99-16=83,$$ $$\begin{vmatrix} 1&-2\\ 4&11 \end{vmatrix} =1(11)-(-2)(4)=11+8=19,$$ $$\begin{vmatrix} 1&9\\ 4&-8 \end{vmatrix} =1(-8)-9(4)=-8-36=-44.$$

因此

$$\det(A)=2(83)+19+3(-44) =166+19-132 =53.$$

所以

$$\boxed{\det(A)=53}.$$

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（二）求 $A^{-1}$

先求 $A$ 的代數餘子式矩陣 $C$。

各代數餘子式如下：

$$C_{11} = \begin{vmatrix} 9&-2\\ -8&11 \end{vmatrix} =83,$$ $$C_{12} = -\begin{vmatrix} 1&-2\\ 4&11 \end{vmatrix} =-19,$$ $$C_{13} = \begin{vmatrix} 1&9\\ 4&-8 \end{vmatrix} =-44.$$

第二列：

$$C_{21} = -\begin{vmatrix} -1&3\\ -8&11 \end{vmatrix} =-\bigl((-1)(11)-3(-8)\bigr) =-13,$$ $$C_{22} = \begin{vmatrix} 2&3\\ 4&11 \end{vmatrix} =22-12=10,$$ $$C_{23} = -\begin{vmatrix} 2&-1\\ 4&-8 \end{vmatrix} =-(-16+4)=12.$$

第三列：

$$C_{31} = \begin{vmatrix} -1&3\\ 9&-2 \end{vmatrix} =2-27=-25,$$ $$C_{32} = -\begin{vmatrix} 2&3\\ 1&-2 \end{vmatrix} =-(-4-3)=7,$$ $$C_{33} = \begin{vmatrix} 2&-1\\ 1&9 \end{vmatrix} =18+1=19.$$

故代數餘子式矩陣為

$$C= \begin{bmatrix} 83&-19&-44\\ -13&10&12\\ -25&7&19 \end{bmatrix}.$$

伴隨矩陣為代數餘子式矩陣的轉置：

核心觀念

本題考查 $2\times 2$ 矩陣的極座標表示，以及旋轉矩陣的冪次運算。

標準旋轉矩陣為

$$R(\theta)= \begin{bmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{bmatrix},$$

且具有

$$R(\alpha)R(\beta)=R(\alpha+\beta), \qquad R(\theta)^n=R(n\theta).$$

先將題目中的矩陣寫成「倍數 $\times$ 旋轉矩陣」的形式。

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解題方法

原矩陣為

$$A= \begin{bmatrix} \dfrac{\sqrt3}{3}&-\dfrac13\\[4pt] \dfrac13&\dfrac{\sqrt3}{3} \end{bmatrix}.$$

計算每一列向量的長度：

$$\sqrt{\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2+\left(\frac13\right)^2} = \sqrt{\frac13+\frac19} = \sqrt{\frac49} = \frac23.$$

因此可將 $\dfrac23$ 提出：

$$A=\frac23 \begin{bmatrix} \dfrac{\sqrt3}{2}&-\dfrac12\\[4pt] \dfrac12&\dfrac{\sqrt3}{2} \end{bmatrix}.$$

由三角函數值

$$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$

可得

$$A=\frac23 R\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

所以

$$A^{14} = \left(\frac23\right)^{14} R\left(\frac{14\pi}{6}\right) = \left(\frac23\right)^{14} R\left(\frac{7\pi}{3}\right).$$

因為旋轉角度相差 $2\pi$ 不影響旋轉矩陣，

$$\frac{7\pi}{3} = 2\pi+\frac{\pi}{3},$$

故

$$R\left(\frac{7\pi}{3}\right) = R\left(\frac{\pi}{3}\right).$$

又

核心觀念

本題考查二階常係數線性微分方程、非齊次特解，以及單位脈衝函數 $\delta(t-1)$ 所造成的導數跳躍。

方程為

$$y''(t)+9y(t)=\sin 2t+\delta(t-1),$$

初始條件為

$$y(0)=0,\qquad y'(0)=1.$$

其中：

• $\sin 2t$ 是一般連續外力。
• $\delta(t-1)$ 表示在 $t=1$ 瞬間施加單位脈衝。
• 由於右側含有 $\delta(t-1)$，$y'(t)$ 在 $t=1$ 會產生跳躍，而 $y(t)$ 保持連續。

單位脈衝的基本性質為

$$\int_{1-\varepsilon}^{1+\varepsilon}\delta(t-1)\,dt=1.$$

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解題方法

採用「連續外力解 + 脈衝響應」的方式處理。

一、先求不含脈衝的部分

先考慮

$$y''+9y=\sin 2t.$$

其對應齊次方程為

$$y_h''+9y_h=0,$$

特徵方程為

$$r^2+9=0,$$

因此

$$r=\pm 3i,$$

齊次解為

$$y_h=C_1\cos 3t+C_2\sin 3t.$$

對右側 $\sin 2t$ 設特解為

$$y_p=A\sin 2t.$$

則

$$y_p''=-4A\sin 2t,$$

代入方程得

$$(-4A+9A)\sin 2t=\sin 2t,$$

所以

$$5A=1,\qquad A=\frac15.$$

因此不含脈衝時的解為

$$y_c(t)=C_1\cos 3t+C_2\sin 3t+\frac15\sin 2t.$$

利用初始條件：

由 $y(0)=0$，

$$C_1=0.$$

再對 $y_c(t)$ 微分：

$$y_c'(t)=3C_2\cos 3t+\frac25\cos 2t.$$

代入 $y'(0)=1$：

$$3C_2+\frac25=1,$$

因此

$$3C_2=\frac35,\qquad C_2=\frac15.$$

故連續外力與初始條件所產生的部分為

$$y_c(t)=\frac15\sin 3t+\frac15\sin 2t.$$

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二、求單位脈衝的響應

考慮

$$z''+9z=\delta(t-1),$$

且脈衝尚未作用前 $z(t)=0$。

對 $t=1$ 附近的方程積分：

$$\int_{1-\varepsilon}^{1+\varepsilon} \left[z''(t)+9z(t)\right]dt = \int_{1-\varepsilon}^{1+\varepsilon}\delta(t-1)\,dt.$$

令 $\varepsilon\to0^+$，因為 $z(t)$ 有界，所以

$$\int_{1-\varepsilon}^{1+\varepsilon}9z(t)\,dt\to0.$$

因此

$$z'(1^+)-z'(1^-)=1.$$

脈衝作用前 $z'(1^-)=0$，故

$$z'(1^+)=1.$$

同時 $z(t)$ 必須連續，因此

$$z(1^+)=z(1^-)=0.$$

在 $t>1$ 時，脈衝已經消失，故 $z$ 滿足齊次方程

$$z''+9z=0,$$

並具有初始條件

$$z(1)=0,\qquad z'(1)=1.$$

以 $t-1$ 為時間變數，得到

核心觀念

本題考查拉氏轉換的定義：

$$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt。$$

由於積分下限為 $0$，函數在 $t<0$ 的定義不影響本題計算。另須掌握基本公式：

$$\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2}, \qquad \operatorname{Re}(s)>0。$$

（一）求 $f(t)$ 的拉氏轉換

因為在 $t\geq 0$ 時，

$$f(t)=t+1，$$

故依定義：

$$F(s)=\int_0^\infty (t+1)e^{-st}\,dt。$$

利用線性性質：

$$F(s)=\int_0^\infty te^{-st}\,dt+\int_0^\infty e^{-st}\,dt。$$

分別計算得：

$$\int_0^\infty te^{-st}\,dt=\frac{1}{s^2},$$

以及

$$\int_0^\infty e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}。$$

因此：

$$\boxed{F(s)=\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s} =\frac{s+1}{s^2}}$$

其收斂條件為：

$$\operatorname{Re}(s)>0。$$

（二）求 $g(t)$ 的拉氏轉換

在積分範圍 $t\geq 0$ 內，$g(t)$ 僅在 $0\leq t<5$ 時等於 $t$，因此：

$$G(s)=\int_0^5 te^{-st}\,dt。$$

使用分部積分，令

$$u=t,\qquad dv=e^{-st}dt，$$

則

$$du=dt,\qquad v=-\frac{1}{s}e^{-st}。$$

所以：

核心觀念

本題考查複變函數的留數定理，以及高階極點的留數公式。

若函數 $f(z)$ 在正向封閉曲線 $C$ 內只有有限個孤立奇點，則

$$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum \operatorname{Res}(f;z_k).$$

被積分函數為

$$f(z)=\frac{e^z}{(z+i)(z+2i)^3}.$$

其奇點為：

• $z=-i$：一階極點；
• $z=-2i$：三階極點。

因為

$$|-i|=1<3,\qquad |-2i|=2<3,$$

兩個奇點均位於圓 $|z|=3$ 內。

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解題方法

採用留數定理，分別計算 $z=-i$ 與 $z=-2i$ 的留數。

1. $z=-i$ 的留數

由於 $z=-i$ 是一階極點，

$$\operatorname{Res}(f;-i) = \lim_{z\to -i}(z+i)f(z).$$

因此

$$\operatorname{Res}(f;-i) = \left.\frac{e^z}{(z+2i)^3}\right|_{z=-i} = \frac{e^{-i}}{i^3}.$$

由 $i^3=-i$，得

$$\operatorname{Res}(f;-i) = \frac{e^{-i}}{-i} = ie^{-i}.$$

2. $z=-2i$ 的留數

將函數寫成

$$f(z)=\frac{g(z)}{(z+2i)^3}, \qquad g(z)=\frac{e^z}{z+i}.$$

因為 $z=-2i$ 是三階極點，故

$$\operatorname{Res}(f;-2i) = \frac{g''(-2i)}{2!}.$$

先計算 $g''(z)$。令

$$h(z)=\frac{1}{z+i},$$

則 $g(z)=e^zh(z)$，且

$$h'(z)=-\frac{1}{(z+i)^2}, \qquad h''(z)=\frac{2}{(z+i)^3}.$$

所以

$$g''(z) = e^z\bigl(h(z)+2h'(z)+h''(z)\bigr),$$

即

$$g''(z) = e^z \left[ \frac{1}{z+i} -\frac{2}{(z+i)^2} +\frac{2}{(z+i)^3} \right].$$

代入 $z=-2i$，有 $z+i=-i$，因此

核心觀念

由題意，

$$f_X(x)= \begin{cases} 2e^{-2x},&x\geq 0,\\ 0,&x<0, \end{cases}$$

這是參數 $\lambda=2$ 的指數分布（exponential distribution）：

$$X\sim \operatorname{Exponential}(2).$$

本題考查：

1. 以機率密度函數定義計算期望值。
2. 計算隨機變數的二階動差 $E[X^2]$。
3. 使用單調變數變換公式求 $Y=(2X+1)^2$ 的機率密度函數。

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解題方法

（一）求 $E[X]$

期望值定義為

$$E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x f_X(x)\,dx.$$

因為 $f_X(x)=0$（當 $x<0$），所以

$$E[X]=\int_0^\infty x(2e^{-2x})\,dx.$$

利用指數分布的平均數公式

$$E[X]=\frac{1}{\lambda},$$

且 $\lambda=2$，因此

$$\boxed{E[X]=\frac12}.$$

也可直接利用分部積分：

$$E[X]=2\int_0^\infty xe^{-2x}\,dx=\frac12.$$

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（二）求 $E[X^2]$

由定義，

$$E[X^2]=\int_{-\infty}^{\infty}x^2f_X(x)\,dx =\int_0^\infty 2x^2e^{-2x}\,dx.$$

指數分布的二階動差為

$$E[X^2]=\frac{2}{\lambda^2}.$$

代入 $\lambda=2$：

$$E[X^2]=\frac{2}{2^2} =\frac12.$$

因此

$$\boxed{E[X^2]=\frac12}.$$

亦可由變異數公式驗算。指數分布滿足

$$\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}=\frac14,$$

而

$$E[X^2]=\operatorname{Var}(X)+[E(X)]^2 =\frac14+\left(\frac12\right)^2 =\frac12.$$

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（三）求 $Y$ 的機率密度函數

第一步：判斷變數範圍

因為 $X\geq 0$，所以

$$2X+1\geq 1.$$

因此

$$Y=(2X+1)^2\geq 1.$$

故 $Y$ 的可能範圍為

$$y\geq 1.$$

在 $x\geq0$ 的範圍內，函數

$$y=(2x+1)^2$$

為嚴格遞增函數，因此可直接使用一對一變數變換公式。

第二步：求反函數

由

$$y=(2x+1)^2$$

且 $2x+1>0$，取正平方根：

$$\sqrt y=2x+1.$$

所以