109 調查局特考三等 電子科學組 工程數學 考古題詳解

核心觀念

1. 基本角頻率（Fundamental Angular Frequency）： 週期性訊號 $x(t)$ 之基本週期為 $T$，其基頻定義為： $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$
2. 三角型傅立葉級數（Trigonometric Fourier Series）與直流平均值： 對於週期為 $T$ 的連續時間訊號 $x(t)$，其傅立葉級數展開式中，常數項 $A$ 即為訊號在一完整週期內的「直流分量」（平均值）： $A = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} x(t)\,dt$
3. 對稱性與正交性（Symmetry and Orthogonality）： 傅立葉級數之正弦項係數定義為： $b_k = \frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t)\sin(k\omega_0 t)\,dt$ 若 $x(t)$ 在對稱區間 $[-T/2, T/2]$ 內為偶函數（Even Function），即 $x(-t) = x(t)$，而 $\sin(k\omega_0 t)$ 為奇函數（Odd Function），兩者乘積必為奇函數。奇函數在對稱於原點的對稱區間定積分恆等於零。

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解題方法

（一）求基頻 $\omega_0$

題目已知訊號之週期為 $T = 2$，代入基頻定義公式： $\omega_0 = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ (rad/s)}$

（二）求直流分量 $A$

在展開式 $x(t) = A + \sum_{k=1}^{\infty}\left(a_k\cos(k\omega_0t)+b_k\sin(k\omega_0t)\right)$ 中，常數項 $A$ 即代表一週期內的平均值。選取區間 $[-1, 1]$（區間長度剛好為一週期 $T = 2$）： $A = \frac{1}{T}\int_{-1}^{1} x(t)\,dt = \frac{1}{2}\int_{-1}^{1} t^2\,dt$ 利用偶函數對稱性質進行積分計算： $A = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} t^2\,dt = \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

（三）求正弦項係數 $b_1, b_2, b_3$

依據三角傅立葉級數之正弦係數計算公式： $b_k = \frac{2}{T}\int_{-1}^{1} x(t)\sin(k\omega_0 t)\,dt = \frac{2}{2}\int_{-1}^{1} t^2\sin(k\pi t)\,dt = \int_{-1}^{1} t^2\sin(k\pi t)\,dt$ 判斷被積函數之奇偶性：

核心觀念

本題評量重點為二階常係數線性非齊次常微分方程式（Second-Order Linear Non-Homogeneous ODE with Constant Coefficients）之完整解析流程，涉及的核心觀念與定理如下：

1. 齊次解結構（特徵方程式法）： 對於常係數齊次線性微分方程式 $y''(x) + a y'(x) + b y(x) = 0$，其特徵方程式為 $\lambda^2 + a\lambda + b = 0$。若特徵根為相異兩實根 $\lambda_1, \lambda_2$，則齊次解（又稱互補解）為兩基本解的線性組合： $y_h(x) = c_1 e^{\lambda_1 x} + c_2 e^{\lambda_2 x}$

2. 特定解求法（未定係數法與逆運算子法）： 原方程式的完全通解為 $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$。當驅動項（非齊次項）為指數函數 $r(x) = k e^{\alpha x}$ 時：

• 若 $\alpha$ 不是特徵方程式之根（無共振現象），可直接假設特定解為 $y_p(x) = A e^{\alpha x}$，代回原方程式比較係數求出常數 $A$。
• 亦可利用逆微分運算子性質快速求出：$y_p(x) = \frac{1}{P(D)} r(x) = \frac{1}{P(\alpha)} k e^{\alpha x}$（條件為 $P(\alpha) \neq 0$）。

3. 初始值問題（IVP）之唯一解： 將初始條件 $y(0) = y_0$ 與 $y'(0) = y'_0$ 代入含有待定係數 $c_1, c_2$ 的完全通解 $y(x)$ 及其導函數 $y'(x)$，聯立求解常數，獲得符合初始條件的精確解。

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解題方法

（一）求解齊次解 $y_h(x)$

對應之齊次微分方程式為： $y''(x) + 2y'(x) - 3y(x) = 0$

1. 列出特徵方程式： 令 $y(x) = e^{\lambda x}$，代入齊次方程式得： $\lambda^2 + 2\lambda - 3 = 0$

2. 求解特徵根： 因式分解： $(\lambda + 3)(\lambda - 1) = 0$ 解得特徵根為相異實根： $\lambda_1 = 1, \qquad \lambda_2 = -3$

3. 寫出齊次解： 根據二階線性常係數微分方程式的通解定理，齊次解為： $y_h(x) = c_1 e^{x} + c_2 e^{-3x}$ （其中 $c_1, c_2$ 為任意實數常數）

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（二）求原微分方程式的一個特定解 $y_p(x)$

原微分方程式為： $y''(x) + 2y'(x) - 3y(x) = 2e^{-x}$

非齊次項為 $r(x) = 2e^{-x}$，其指數次方項之係數為 $\alpha = -1$。由於 $\alpha = -1$ 並非特徵根（特徵根為 $1$ 與 $-3$），無共振重根問題。

法一：未定係數法（標準作法）

1. 假設特定解形式： $y_p(x) = A e^{-x}$

2. 對 $x$ 求一階與二階導函數： $y_p'(x) = -A e^{-x}$ $y_p''(x) = A e^{-x}$

3. 代回原非齊次微分方程式： $(A e^{-x}) + 2(-A e^{-x}) - 3(A e^{-x}) = 2e^{-x}$ 提取公因式 $e^{-x}$： $(A - 2A - 3A)e^{-x} = 2e^{-x}$ $-4A e^{-x} = 2e^{-x}$

4. 比較兩端係數： $-4A = 2 \implies A = -\frac{1}{2}$

5. 得到特定解： $y_p(x) = -\frac{1}{2}e^{-x}$

法二：逆微分運算子法（快速驗算法）

令微分運算子 $D = \frac{d}{dx}$，方程式寫為 $(D^2 + 2D - 3)y = 2e^{-x}$。 $y_p(x) = \frac{1}{D^2 + 2D - 3}\left(2e^{-x}\right) = \frac{2}{(-1)^2 + 2(-1) - 3} e^{-x} = \frac{2}{1 - 2 - 3} e^{-x} = -\frac{1}{2}e^{-x}$

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（三）求初始條件問題的精確解 $y(x)$

核心觀念

1. 過度決定系統（Over-determined System）： 方程式個數（3 個）多於未知數個數（2 個）的線性聯立方程組 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$。由於列數大於行數，且向量 $\mathbf{b}$ 通常不落在矩陣 $A$ 的行空間（Column Space）$\mathcal{C}(A)$ 內，因此系統無精確解（Inconsistent）。在此情況下，需尋找使得誤差向量之歐氏範數平方（誤差平方和）最小的「最小平方法誤差解」（Least-Square-Error Solution $\hat{\mathbf{x}}$）： $E(\mathbf{x}) = \|A\mathbf{x} - \mathbf{b}\|^2 = (A\mathbf{x} - \mathbf{b})^T (A\mathbf{x} - \mathbf{b})$

2. 正交投影與正規方程式（Normal Equations）： 根據投影定理（Projection Theorem），當預測向量 $A\hat{\mathbf{x}}$ 為常數向量 $\mathbf{b}$ 在行空間 $\mathcal{C}(A)$ 上的正交投影時，誤差 $\|A\hat{\mathbf{x}} - \mathbf{b}\|$ 達到最小。此時誤差向量 $\mathbf{e} = A\hat{\mathbf{x}} - \mathbf{b}$ 必垂直於 $\mathcal{C}(A)$，亦即落在左零空間 $\mathcal{N}(A^T)$： $A^T (A\hat{\mathbf{x}} - \mathbf{b}) = \mathbf{0} \implies A^T A \hat{\mathbf{x}} = A^T \mathbf{b}$ 此方程組即為正規方程式。當矩陣 $A$ 的各行向量線性獨立時，$A^T A$ 必為可逆對稱方陣，最小平方解具唯一性： $\hat{\mathbf{x}} = (A^T A)^{-1} A^T \mathbf{b}$

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解題方法

步驟一：改寫為矩陣方程式 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$

由題意將聯立方程組寫為矩陣乘法形式：

$$\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{bmatrix}$$

其中係數矩陣 $A$、未知向量 $\mathbf{x}$、常數向量 $\mathbf{b}$ 分別為：

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{bmatrix}$$

步驟二：計算正規方程式之係數矩陣 $A^T A$ 與常數項 $A^T \mathbf{b}$

1. 計算 $A^T A$：

$$A^T A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$$

各元素為行向量彼此之內積：

• 第一列第一行：$3^2 + 2^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$
• 第一列第二行：$3(2) + 2(-1) + 1(4) = 6 - 2 + 4 = 8$
• 第二列第一行：同上，為 $8$
• 第二列第二行：$2^2 + (-1)^2 + 4^2 = 4 + 1 + 16 = 21$

得：

$$A^T A = \begin{bmatrix} 14 & 8 \\ 8 & 21 \end{bmatrix}$$

2. 計算 $A^T \mathbf{b}$：

$$A^T \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3(1) + 2(5) + 1(-2) \\ 2(1) + (-1)(5) + 4(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 10 - 2 \\ 2 - 5 - 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ -11 \end{bmatrix}$$

步驟三：求解正規方程式 $A^T A \hat{\mathbf{x}} = A^T \mathbf{b}$

正規方程式展開為二元一次線性方程組：

$$\begin{bmatrix} 14 & 8 \\ 8 & 21 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ -11 \end{bmatrix}$$

計算矩陣 $A^T A$ 之行列式值：

$$\det(A^T A) = (14)(21) - (8)(8) = 294 - 64 = 230 \neq 0$$

核心觀念

本題評量線性代數的核心基礎——矩陣的**特徵值（Eigenvalues）與特徵向量（Eigenvectors）**之求法。

1. 特徵值與特徵向量的定義： 設 $A$ 為 $n \times n$ 方陣，若存在一純量 $\lambda$ 及非零向量 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，滿足： $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v} \iff (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 則稱 $\lambda$ 為 $A$ 的特徵值，$\mathbf{v}$ 為對應於 $\lambda$ 的特徵向量。
2. 特徵方程式（Characteristic Equation）： 欲使齊次線性系統 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ 存在非零解 $\mathbf{v}$，其係數矩陣的行列式值必須為零： $\det(A - \lambda I) = 0$ 展開後可得關於 $\lambda$ 的一元二次多項式，解出之根即為特徵值。
3. 求解特徵向量： 將求得的各個特徵值分別代回 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$，解齊次線性聯立方程組，即可決定該特徵值所對應的特徵空間（Eigenspace）之基底向量。

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解題方法

（一）求矩陣 $A$ 之所有特徵值

給定矩陣： $A = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}$

計算特徵矩陣 $A - \lambda I$ 的行列式： $A - \lambda I = \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 6 \\ 4 & 7 - \lambda \end{bmatrix}$

建立特徵方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$： $\det(A - \lambda I) = (2 - \lambda)(7 - \lambda) - (6)(4) = 0$

展開並整理： $\lambda^2 - 9\lambda + 14 - 24 = 0$ $\lambda^2 - 9\lambda - 10 = 0$

因式分解： $(\lambda - 10)(\lambda + 1) = 0$

解得特徵值為： $\lambda_1 = 10, \quad \lambda_2 = -1$

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（二）求各特徵值所對應之特徵向量

設特徵向量為 $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$。

1. 當 $\lambda_1 = 10$ 時： 代入方程式 $(A - 10I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$： $\begin{bmatrix} 2 - 10 & 6 \\ 4 & 7 - 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -8 & 6 \\ 4 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

兩列方程式互為線性相依，取第二列方程式： $4x_1 - 3x_2 = 0 \implies 4x_1 = 3x_2$

取自由參數 $x_1 = 3c_1$（其中 $c_1 \neq 0$），則 $x_2 = 4c_1$。 對應 $\lambda_1 = 10$ 的特徵向量為：

核心觀念

本題考查連續型雙隨機變數（Bivariate Continuous Random Variables）的基礎理論與計算，屬於國家考試工程數學（機率領域）的高頻基本題型。解題涉及之核心觀念與定義如下：

1. 合併機率密度函數之規範性（Total Probability Axiom / Normalization Condition）： 對於連續型隨機變數 $(X, Y)$，其聯合機率密度函數 $f(x,y)$ 必須滿足非負性 $f(x,y) \ge 0$，且在全平面之二重積分必等於 1：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx\,dy = 1$$

2. 邊際機率密度函數（Marginal Probability Density Function）： 欲求 $X$ 的邊際機率密度函數 $f_X(x)$，須將另一變數 $Y$ 於其全部有效區間進行積分（即對 $y$ 進行「積分消去」）：

$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy$$

3. 期望值（Expected Value）：

• 隨機變數 $Y$ 的期望值定義為：

$$E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} y\,f_Y(y)\,dy = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} y\,f(x,y)\,dx\,dy$$

• 函數 $g(X, Y)$ 的期望值可由無意識統計學家法則（Law of the Unconscious Statistician, LOTUS）求得：

$$E(g(X,Y)) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} g(x,y)\,f(x,y)\,dx\,dy$$

4. 隨機變數之獨立性（Independence）判別： 若定義域為矩形區域（如 $a < x < b$ 且 $c < y < d$），且聯合機率密度函數可因式分解為 $f(x,y) = g(x)\cdot h(y)$，則隨機變數 $X$ 與 $Y$ 互相獨立，且有性質：

$$E(X\cdot Y) = E(X)\cdot E(Y)$$

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解題方法

（一）求常數 $A$

由機率密度函數的正規化條件：

$$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dx\,dy = 1$$

將非零區間 $0 < x < 1$ 與 $0 < y < 1$ 代入：

$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} A\cdot x(1+y^2)\,dx\,dy = 1$$

由於積分上下限為常數，且被積函數為 $x$ 與 $y$ 之相乘項，可直接分離積分：

$$A \left( \int_{0}^{1} x\,dx \right) \left( \int_{0}^{1} (1+y^2)\,dy \right) = 1$$

分別計算兩單重積分：

$$\int_{0}^{1} x\,dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}$$ $$\int_{0}^{1} (1+y^2)\,dy = \left[ y + \frac{1}{3}y^3 \right]_0^1 = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$

相乘後可得：

$$A \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{4}{3}\right) = 1 \implies A \cdot \frac{2}{3} = 1 \implies A = \frac{3}{2}$$

（二）求 $X$ 的機率密度函數 $f_X(x)$

將 $A = \frac{3}{2}$ 帶回 $f(x,y)$。當 $0 < x < 1$ 時，對 $y$ 進行積分：

$$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)\,dy = \int_{0}^{1} \frac{3}{2}x(1+y^2)\,dy$$

提出與 $y$ 無關之項：

$$f_X(x) = \frac{3}{2}x \int_{0}^{1} (1+y^2)\,dy = \frac{3}{2}x \cdot \left[ y + \frac{1}{3}y^3 \right]_0^1 = \frac{3}{2}x \cdot \frac{4}{3} = 2x$$

當 $x$ 不在 $(0, 1)$ 區間時，$f_X(x) = 0$。因此完整表示為：

$$f_X(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

（三）求 $E(Y)$

欲求 $E(Y)$，可先求出 $Y$ 的邊際機率密度函數 $f_Y(y)$，或直接以重積分計算。

方法一：先求邊際機率密度函數 $f_Y(y)$ 當 $0 < y < 1$ 時：

$$f_Y(y) = \int_{0}^{1} \frac{3}{2}x(1+y^2)\,dx = \frac{3}{2}(1+y^2) \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 = \frac{3}{4}(1+y^2)$$

接著代入期望值公式：

$$E(Y) = \int_{0}^{1} y\cdot f_Y(y)\,dy = \int_{0}^{1} y \cdot \frac{3}{4}(1+y^2)\,dy = \frac{3}{4} \int_{0}^{1} (y+y^3)\,dy$$

進行逐項積分：

核心觀念

本題為複變分析（Complex Analysis）的基礎核心題型，主要測驗以下四項基本概念與定理：

1. 複數函數的實部與虛部分解： 將複變數寫為直角坐標形式 $z = x + iy$（$x, y \in \mathbb{R}$），展開後分離為 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，其中 $u(x,y) = \operatorname{Re}\{f(z)\}$ 與 $v(x,y) = \operatorname{Im}\{f(z)\}$ 均為二元實值函數。
2. 柯西－黎曼方程式（Cauchy-Riemann Equations, C-R 方程式）： 直角坐標下的 C-R 方程式為：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{且} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

3. 解析函數（Analytic Function）的充分條件： 函數 $f(z) = u + iv$ 在區域內可微（解析）的充分必要條件為：實部 $u(x,y)$ 與虛部 $v(x,y)$ 之一階偏導數在該區域內連續，且處處滿足 C-R 方程式。
4. 複變線積分之微積分基本定理（路徑獨立性）： 若被積函數 $f(z)$ 在包含積分路徑 $\Gamma$ 的單連通區域內處處解析，且存在反導函數（Antiderivative）$F(z)$ 滿足 $F'(z) = f(z)$，則積分結果與路徑形狀無關，僅取決於起點 $z_1$ 與終點 $z_2$：

$$\int_{\Gamma} f(z)\,dz = F(z_2) - F(z_1)$$

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解題方法

（一）求出 $u(x,y)$ 及 $v(x,y)$

將 $z = x + iy$ 代入函數 $f(z) = z^2$：

$$f(z) = (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2$$

因 $i^2 = -1$，展開並整理實部與虛部：

$$f(z) = (x^2 - y^2) + i(2xy)$$

對照 $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ 可得：

$$u(x,y) = x^2 - y^2$$ $$v(x,y) = 2xy$$

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（二）證明 $u(x,y)$ 及 $v(x,y)$ 滿足柯西－黎曼方程式

分別對 $u(x,y)$ 與 $v(x,y)$ 計算關於 $x$ 與 $y$ 的一階偏導數：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2) = 2x$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2) = -2y$$ $$\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y$$ $$\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x$$

檢驗 C-R 方程式之對應關係：

1. 第一式：$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y}$
2. 第二式：$\frac{\partial u}{\partial y} = -2y = - (2y) = -\frac{\partial v}{\partial x}$

上述偏導函數在整個複數平面 $\mathbb{R}^2$（即 $\mathbb{C}$）上皆有定義且恆成立，故 $u(x,y)$ 與 $v(x,y)$ 在整個複數平面上均滿足柯西－黎曼方程式。

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（三）判斷 $f(z)$ 在複數平面上是否為解析函數

判定結果：是，$f(z)$ 在整個複數平面上為解析函數（亦稱整函數，Entire function）。