109 調查局特考三等 電子科學組 通信與系統 考古題詳解

核心觀念

1. 傅立葉轉換與頻率響應（Fourier Transform & Transfer Function）： 連續時間線性非時變（LTI）系統之轉移函數 $H(f)$ 定義為其脈衝響應 $h(t)$ 之傅立葉轉換： $H(f) = \mathcal{F}\{h(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2\pi f t} \, dt$

2. 隨機程序通過線性系統（Random Processes through LTI Systems）： 當廣義平穩（WSS）隨機訊號 $X(t)$ 通過脈衝響應為 $h(t)$ 的穩定 LTI 系統時，輸出訊號 $Y(t)$ 之功率頻譜密度（PSD）$S_Y(f)$ 與輸入端 $S_X(f)$ 滿足基本關係式： $S_Y(f) = |H(f)|^2 S_X(f)$

3. 複數絕對值運算與歐拉公式（Euler's Formula）： 對於形如 $1 - r e^{-j\theta}$ 之複數（其中 $r \in \mathbb{R}$），其大小平方可展開為： $|1 - r e^{-j\theta}|^2 = (1 - r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2 = 1 + r^2 - 2r\cos\theta$

解題方法

（一）求解濾波器轉移函數 $H(f)$

依據傅立葉轉換之定義，將脈衝響應 $h(t)$ 代入： $H(f) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) e^{-j 2\pi f t} \, dt$

由於 $h(t)$ 僅在區間 $[0, T]$ 內非零，積分上下限縮減為 $0$ 至 $T$： $H(f) = \int_{0}^{T} a e^{-at} e^{-j 2\pi f t} \, dt = a \int_{0}^{T} e^{-(a + j 2\pi f)t} \, dt$

計算指數函數之定積分：

核心觀念

本題評量角度調變（Angle Modulation）中的頻率調變（FM）傳輸頻寬估算與接收機非線性解調特性，核心觀念包含以下兩項：

1. 卡森法則（Carson's Rule）： FM 為非線性調變，理論上其已調變訊號包含無限多對側頻帶（Sidebands），頻寬理論值為無限大。工程上常採用卡森法則作為實用傳輸頻寬（約涵蓋總功率之 $98\% \sim 99\%$）的經驗近似公式： $B_T = 2(\Delta f_c + f_m) = 2(\beta + 1)f_m$ 其中：

• $\Delta f_c$ 為最大頻率偏移量（Peak Frequency Deviation）。
• $f_m$ 為訊息訊號之最高頻率或基頻頻寬（Baseband Bandwidth）。
• $\beta = \frac{\Delta f_c}{f_m}$ 為調變指數（Modulation Index）。

2. FM 捕獲效果（Capture Effect）： 在無線電 FM 接收系統中，當兩個載波頻率相同或極度接近之調頻訊號（同頻干擾，Co-channel interference）同時進入接收機時，若其中一個訊號強度略大於另一個訊號，接收機將幾乎完全「鎖定」並解調較強的訊號，同時大幅抑制較弱的訊號。此一強訊號壓制弱訊號的現象稱為「捕獲效果」。

解題方法

第一部分：卡森法則求 FM 調變器之頻寬需求

1. 列出已知參數：

• 訊息訊號頻寬 $f_m = 10\ \text{kHz}$
• 最大頻率偏移量 $\Delta f_c = 100\ \text{kHz}$

2. 計算調變指數 $\beta$： $\beta = \frac{\Delta f_c}{f_m} = \frac{100\ \text{kHz}}{10\ \text{kHz}} = 10$ （因 $\beta \gg 1$，此系統屬於寬頻調頻 Wideband FM, WBFM）

3. 代入卡森法則公式計算頻寬 $B_T$： $B_T = 2(\Delta f_c + f_m) = 2 \times (100\ \text{kHz} + 10\ \text{kHz}) = 2 \times 110\ \text{kHz} = 220\ \text{kHz}$ 亦可驗算： $B_T = 2(\beta + 1)f_m = 2 \times (10 + 1) \times 10\ \text{kHz} = 220\ \text{kHz}$

第二部分：解釋 FM 捕獲效果（Capture Effect）

1. 現象定義： 當接收端天線同時收到兩個同頻率（或頻率極接近）之 FM 訊號時，若兩者訊號功率存在差異，FM 接收機不會像線性調變（如 AM）那樣將兩者聲

核心觀念

本題評量資訊理論（Information Theory）中離散隨機變數之夏農熵（Shannon Entropy）、**聯合熵（Joint Entropy）與條件熵（Conditional Entropy）**之基本定義與鏈鎖法則（Chain Rule）。

相關定義與運算公式如下（單位為位元，bits）：

1. 邊際熵（Marginal Entropy）： $H(X) = -\sum_{x} P(X=x) \log_2 P(X=x)$ $H(Y) = -\sum_{y} P(Y=y) \log_2 P(Y=y)$
2. 聯合熵（Joint Entropy）： $H(X,Y) = -\sum_{x}\sum_{y} P(X=x, Y=y) \log_2 P(X=x, Y=y)$
3. 條件熵（Conditional Entropy）： $H(X\mid Y) = \sum_{y} P(Y=y) H(X\mid Y=y) = -\sum_{x}\sum_{y} P(X=x, Y=y) \log_2 P(X=x\mid Y=y)$ $H(Y\mid X) = \sum_{x} P(X=x) H(Y\mid X=x) = -\sum_{x}\sum_{y} P(X=x, Y=y) \log_2 P(Y=y\mid X=x)$
4. 熵的鏈鎖法則（Chain Rule for Entropy）： $H(X,Y) = H(Y) + H(X\mid Y) = H(X) + H(Y\mid X)$ 由此可導出快速計算條件熵之代數關係： $H(X\mid Y) = H(X,Y) - H(Y)$ $H(Y\mid X) = H(X,Y) - H(X)$

解題方法

步驟一：釐清聯合機率分布並建表

題目條件式中之 $P(X=Y-1)$ 係原卷印製誤植（減號應為等號），依全機率定理 $\sum P(X,Y)=1$ 及事件互斥性，該項實為 $P(X=Y=1)=\frac{1}{3}$，即 $(X,Y)=(1,1)$。

隨機變數對 $(X,Y)$ 僅在三個狀態具有非零機率值，其餘狀態機率均為 $0$： $P(X=0, Y=0) = \frac{1}{3},\quad P(X=0, Y=1) = \frac{1}{3},\quad P(X=1, Y=1) = \frac{1}{3}$

建立聯合機率質量函數（Joint PMF）與邊際機率（Marginal PMF）表格如下：

步驟二：計算聯合熵 $H(X,Y)$

由定義，聯合分佈僅有 3 個互斥狀態且機率皆為 $\frac{1}{3}$： $H(X,Y) = -\sum_{x}\sum_{y} P(X=x, Y=y) \log_2 P(X=x, Y=y)$ $H(X,Y) = -3 \times \left(\frac{1}{3} \log_2 \frac{1}{3}\right) = \log_2 3 \text{ bits} \approx 1.5850 \text{ bits}$

步驟三：計算邊際熵 $H(X)$ 與 $H(Y)$

1. $X$ 的邊際熵 $H(X)$： $X$ 之機率分布為 $P(X=0)=\frac{2}{3}$、$P(X=1)=\frac{1}{3}$：

核心觀念

本題考查計算機網路與資料通訊的核心基礎架構——OSI 七層協定模型（Open System Interconnection Reference Model）與 傳輸控制協定（TCP, Transmission Control Protocol） 的運作機制：

1. OSI 七層模型分層架構：實體層（Physical）、資料鏈結層（Data Link）、網路層（Network）、傳輸層（Transport）、會議層（Session）、表達層（Presentation）、應用層（Application）。
2. 傳輸層（Transport Layer）定義與功能：提供主機應用程式間的「端對端（End-to-End / Process-to-Process）」邏輯通訊，負責資料的分段、重組、流量控制、錯誤控制與多工處理。
3. TCP 三向交握機制（Three-way Handshake, RFC 793）：TCP 屬於連線導向（Connection-Oriented）協定，在資料傳輸前，客戶端（Client）與伺服端（Server）必須透過三次控制旗標交換，雙向確認彼此的接收與發送能力，同步雙方的初始序號（Initial Sequence Number, ISN），並防範過期的歷史重複連線封包造成系統混淆。

解題方法

（一）TCP 對應之分層

TCP（Transmission Control Protocol）在 OSI 七層協定架構中對應於 第四層：傳輸層（Layer 4, Transport Layer）。

（二）傳輸層（Transport Layer）定義之功能

傳輸層的主要任務是提供應用程式行程（Process）之間的端對端邏輯通訊服務。其核心功能包括：

1. 行程對行程（Process-to-Process）通訊與多工／解多工： 藉由通訊埠編號（Port Number），將來自網路層（主機對主機）的資料精確分派至特定的應用程式行程（如 HTTP 對應 Port 80, HTTPS 對應 Port 443）。
2. 資料分段與重組（Segmentation and Reassembly）： 在傳送端將應用層傳來的長訊息切割為適合下層傳輸的區段（Segments），並給予序號；在接收端依序號將區段重組為原始訊息。
3. 連線管理（Connection Management）： 依協定特性提供「連線導向（如 TCP，具建立、維護、釋放連線程序）」或「非連線導向（如 UDP，直接無序傳遞）」之傳輸模式。
4. 錯誤控制與可靠性保證（Error Control & Reliability）： 透過校驗和（Checksum）、確認應答（ACK）與超時重傳（ARQ, Automatic Repeat reQuest）機制，確保封包無失真、無重複、不漏失且依序到達。
5. 流量控制（Flow Control）： 調節傳送端發送速率以配合接收端緩衝區的處理能力，常用滑動視窗（Sliding Window）機制防止接收端緩衝區溢位（Buffer Overflow）。
6. 壅塞控制（Congestion Control）： 監控網路瓶頸狀況，自動調整傳送窗口大小（如 Slow Start、Congestion Avoidance 等演算法），防止過量封包灌入網路造成網路癱瘓。

（三）TCP 連線封包三向交握功能（TCP Three-way Handshake）

1. 定義與目的

三向交握是 TCP 在通訊雙方開始傳送應用層資料前，用以「建立可靠連線」的標準交握程序。主要目的為：

• 雙向確認通訊雙方的「發送」與「接收」能力均正常。
• 協商並同步雙方的初始序列號（Initial Sequence Number, 簡稱 ISN）。
• 交換連線參數（如最大區段大小 MSS、視窗縮放選項 Window Scale）。
• 防止網路中延遲到達的舊重複連線請求（Historical / Delayed Duplicate SYN）導致伺服端錯誤開啟連線與浪費系統資源。

2. 三向交握程序與旗標狀態轉換

交握過程中主要運用 TCP 標頭中的兩個控制旗標：同步旗標（SYN, Synchronize）與確認旗標（ACK, Acknowledgment）。

 Client (主動連線端) Server (被動監聽端)
 | |
 [CLOSED] | | [LISTEN]
 | ------------ 1. SYN (seq = x) -------------> |
 [SYN_SENT] | | [SYN_RCVD]
 | <--- 2. SYN + ACK (seq = y, ack = x + 1) --- |
[ESTABLISHED]| |
 | ------------ 3. ACK (ack = y + 1) ---------> |
 | | [ESTABLISHED]

核心觀念

本題評量正交分頻多工（OFDM）系統之兩大核心通訊機制：

1. 頻率同步與正交性（Orthogonality）： OFDM 在頻域將頻寬切割為 $N$ 個重疊但正交的子載波（Subcarriers），子載波間隔為 $\Delta f = \frac{1}{T_s}$（$T_s$ 為有效 OFDM 符元週期）。子載波間之正交性定義為： $\frac{1}{T_s} \int_0^{T_s} e^{j 2\pi f_k t} e^{-j 2\pi f_m t} \, dt = \delta[k-m] = \begin{cases} 1, & k = m \\ 0, & k \neq m \end{cases}$ 當發射機與接收機之本地震盪器（Local Oscillator, LO）存在載波頻率偏差（Carrier Frequency Offset, CFO）或都卜勒頻移（Doppler Shift）時，正交性被破壞，進而產生干擾。

2. 多路徑通道對角化與一階頻域等化（Frequency-Domain Equalization, FEQ）： 傳統單載波系統通過多路徑頻率選擇性衰減通道時，會產生嚴重的符元間干擾（ISI），需在時域配置複雜的多抽頭等化器。OFDM 透過引入大於通道最大延遲擴散（Maximum Delay Spread, $\tau_{\max}$）的循環前綴（Cyclic Prefix, CP），將時域之「線性摺積（Linear Convolution）」轉化為「循環摺積（Circular Convolution）」，再經離散傅立葉轉換（DFT）解耦為各子載波上的純量乘法，使得各子載波可獨立以「單抽頭（Single-tap / 一階）」純量乘法器完成等化。

解題方法

第一子題：頻率偏差所造成的干擾與效應（10分）

在存在載波頻率偏差 $\Delta f_c$ 的情況下，正規化頻率偏差定義為 $\epsilon = \frac{\Delta f_c}{\Delta f} = \Delta f_c \cdot T_s$。

接收端第 $k$ 個子載波在經過離散傅立葉轉換（DFT）解調後的輸出信號 $Y[k]$ 可推導為： $Y[k] = X[k] \cdot \underbrace{\left( \frac{\sin(\pi \epsilon)}{\pi \epsilon} e^{j \pi \epsilon \frac{N-1}{N}} \right)}_{\text{振幅衰減與共模相位誤差 (CPE)}} + \underbrace{\sum_{m=0, m \neq k}^{N-1} X[m] \cdot \frac{\sin(\pi (m - k + \epsilon))}{N \sin\left(\frac{\pi (m - k + \epsilon)}{N}\right)} e^{j \pi (m - k + \epsilon) \frac{N-1}{N}}}_{\text{載波間干擾 (ICI)}} + W[k]$ 其中 $X[k]$ 為發射信號，$W[k]$ 為加性高斯白雜訊（AWGN）。頻率偏差將直接引發以下兩大干擾與劣化效應：

1. 載波間干擾（Inter-Carrier Interference, ICI）：

• 機制：OFDM 每個子載波的頻譜響應呈 $\text{sinc}$ 函數形狀。在無頻偏時，第 $k$ 個子載波的取樣點恰好落在其餘所有子載波譜線的零交越點（Zero-crossings），子載波間完全正交無串音。
• 干擾成因：當存在頻偏 $\Delta f_c$（非子載波間隔的整數倍）時，取樣頻點偏離零交越點，其餘 $N-1$ 個子載波的旁瓣頻譜洩漏至第 $k$ 個子載波中，破壞子載波間的正交性，形成嚴重的「載波間干擾（ICI）」。
• 效應：ICI 在統計上表現為如同加性高斯雜訊的干擾底限（Noise Floor），大幅降低等效信噪比（SINR），導致誤碼率（BER）顯著惡化，且無法單純透過提高發射功率消除。

2. 期望信號振幅衰減與共模相位誤差（Common Phase Error, CPE）：

• 期望子載波本體 $X[k]$ 的增益受 $\text{sinc}(\epsilon)$ 函數調變而發生能量衰減。
• 同時產生一旋轉角度 $\theta = \pi \epsilon \frac{N-1}{N}$，稱為共模相位誤差（CPE）。所有子載波的星座圖點將產生一致性的旋轉，若未做補償，會造成解調判決錯誤。

第二子題：OFDM 接收端利用簡單一階等化器補償通道傳輸失真之機制（10分）

OFDM 能在接收端僅使用「一階（單抽頭, Single-tap）」等化器補償通道失真，主要由以下四個關鍵步驟與數學特性所達成：

1. 頻率選擇性衰減轉化為平坦衰減（Flat Fading）： 寬頻多路徑通道具有頻率選擇性衰減特性，其同調頻寬為 $B_c \approx \frac{1}{\tau_{\max}}$。OFDM 將系統總頻寬 $B$ 等分為 $N$ 個窄頻子通道，子載波頻寬為 $\Delta f = \frac{B}{N}$。只要設計 $N$ 使得： $\Delta f \ll B_c$ 則在每一個子載波頻寬內，通道頻率響應皆可近似為常數（平坦衰減），消除了子載波內部的頻率選擇性失真。

2. 循環前綴（CP）化「線性摺積」為「循環摺積」： 在時域 OFDM 符元前端複製該符元後端的取樣點，形成長度為 $T_{cp} \ge \tau_{\max}$ 的循環前綴。

• CP 吸納了多路徑傳輸延遲，消除了相鄰 OFDM 符元之間的符元間干擾（ISI）。
• 在接收端去除 CP 後，時域接收序列 $y[n]$ 與發射序列 $x[n]$ 及通道脈衝響應 $h[n]$ 之間的關係，由時域的「線性摺積」完全轉變為「循環摺積（Circular Convolution）」：