107 調查局特考三等 電子科學組 通信與系統 考古題詳解

核心觀念

本題評量通訊系統中信號與系統之頻域分析能力，核心觀念包含：

1. 矩形脈衝與 Sinc 函數轉換對： $A\operatorname{rect}\left(\frac{t}{T}\right) \;\overset{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow}\; AT\operatorname{sinc}(fT)$
2. 傅立葉轉換之基本性質：

• 線性性質（Linearity）：$\mathcal{F}\{a\,x_1(t) + b\,x_2(t)\} = a\,X_1(f) + b\,X_2(f)$
• 時移性質（Time-shifting Property）：$\mathcal{F}\{x(t \pm t_0)\} = X(f)e^{\pm j2\pi ft_0}$
• 偶對稱性質：實數且偶對稱之信號 $g_1(t) = g_1(-t)$，其傅立葉轉換 $G_1(f)$ 必為實數偶對稱函數。

3. 帕斯瓦爾定理（Parseval's Theorem / Rayleigh's Energy Theorem）： 能量信號在頻域的總能量積分，等同於時域信號振幅平方的全時間積分： $\int_{-\infty}^{\infty} |G_1(f)|^2 \, df = \int_{-\infty}^{\infty} |g_1(t)|^2 \, dt$

解題方法

第一部分：計算 $g_1(t)$ 之傅立葉轉換 $G_1(f)$

步驟一：時域信號的標準函數分解

題目給定之信號為：

信號可分解為三段脈衝：

1. 中心在 $t = 0$，寬度 $T = 2$，振幅 $A = 3$ 的脈衝： $g_{1a}(t) = 3\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2}\right)$
2. 分佈於 $2 < t < 3$ 的脈衝：中心在 $t = 2.5 = \frac{5}{2}$，寬度 $T = 1$，振幅 $A = 2$： $g_{1b}(t) = 2\operatorname{rect}\left(t - \frac{5}{2}\right)$
3. 分佈於 $-3 < t < -2$ 的脈衝：中心在 $t = -2.5 = -\frac{5}{2}$，寬度 $T = 1$，振幅 $A = 2$： $g_{1c}(t) = 2\operatorname{rect}\left(t + \frac{5}{2}\right)$

因此，信號表示為： $g_1(t) = 3\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2}\right) + 2\operatorname{rect}\left(t - \frac{5}{2}\right) + 2\operatorname{rect}\left(t + \frac{5}{2}\right)$

步驟二：個別進行傅立葉轉換

根據題目已知轉換對與時移性質：

1. 中心脈衝： $\mathcal{F}\left\{3\operatorname{rect}\left(\frac{t}{2}\right)\right\} = 3 \times 2\operatorname{sinc}(2f) = 6\operatorname{sinc}(2f)$
2. 兩側對稱脈衝組合：

步驟三：利用歐拉公式化簡

核心觀念

1. 頻率倍增器（Frequency Multiplier）原理： $n$ 倍頻器會將輸入角度調變訊號的瞬時相位放大 $n$ 倍，進而使「載波頻率」與「頻率偏移量（Frequency Deviation）」同步放大 $n$ 倍，但調變訊號本身之基帶頻率 $f_m$ 保持不變： $f_{c2} = n f_1, \qquad \Delta f_2 = n \Delta f_1, \qquad \beta_2 = n \beta_1$
2. 卡爾森規則（Carson's Rule）： 用以估算調頻（FM）訊號包含 $98\%$ 以上總功率所需的傳輸頻寬： $B_T = 2(\Delta f + f_m) = 2(\beta + 1)f_m$
3. 無記憶非線性通道之諧波特性與角度調變的抗非線性能力：

• 非線性通道以多項式表示時，會產生直流、基頻（基波）及高次諧波帶通成分。
• FM 訊號之訊息完全由「瞬時頻率／角度」承載，振幅的非線性放大僅改變包絡大小，不破壞相位與頻率資訊。
• 當載波頻率遠大於訊號頻寬時，各諧波頻帶互不重疊，可藉由帶通濾波器（Bandpass Filter, BPF）完整濾出無失真的基頻 FM 訊號。

解題方法

（一）計算 $s_2(t)$ 的載波頻率與傳輸頻寬

1. 分析輸入訊號 $s_1(t)$ 的基本參數：

• 載波頻率：$f_1 = 1.2\ \text{MHz}$
• 頻率感應度（Frequency Sensitivity）：$k_1 = 300\ \text{Hz/V}$
• 調變訊號：$m(t) = 5\cos(2\times 10^4\pi t)\ \text{V}$
• 訊號振幅：$A_m = 5\ \text{V}$
• 訊號角頻率：$\omega_m = 2\times 10^4\pi\ \text{rad/s} \implies f_m = \frac{2\times 10^4\pi}{2\pi} = 10^4\ \text{Hz} = 10\ \text{kHz}$
• $s_1(t)$ 之最大頻率偏移（Peak Frequency Deviation）： $\Delta f_1 = k_1 \cdot \max|m(t)| = 300 \times 5 = 1500\ \text{Hz} = 1.5\ \text{kHz}$

2. 計算通過 $n = 80$ 倍頻器後之 $s_2(t)$ 參數：

• 載波頻率： $f_{c2} = n \cdot f_1 = 80 \times 1.2\ \text{MHz} = 96\ \text{MHz}$
• 最大頻率偏移： $\Delta f_2 = n \cdot \Delta f_1 = 80 \times 1.5\ \text{kHz} = 120\ \text{kHz}$
• 調變指標（Modulation Index）： $\beta_2 = \frac{\Delta f_2}{f_m} = \frac{120\ \text{kHz}}{10\ \text{kHz}} = 12$

3. 利用卡爾森規則估算傳輸頻寬 $B_T$： $B_T = 2(\Delta f_2 + f_m) = 2(120\ \text{kHz} + 10\ \text{kHz}) = 2 \times 130\ \text{kHz} = 260\ \text{kHz}$ 或以調變指標表示： $B_T = 2(\beta_2 + 1)f_m = 2(12 + 1) \times 10\ \text{kHz} = 260\ \text{kHz}$

（二）非線性通道之輸出分析與接收端處理

1. 非線性通道輸出之數學展開： 設進入非線性通道之 FM 訊號為： $v_i(t) = s_2(t) = A \cos\theta(t)$ 其中瞬時相位 $\theta(t) = 2\pi f_{c2} t + 80 \cdot 2\pi k_1 \int_0^t m(\tau)\,d\tau$。 通道輸出為 $v_o = v_i + 0.1v_i^2 + 0.2v_i^3$，代入展開：

• $v_i(t) = A\cos\theta(t)$
• $0.1 v_i^2(t) = 0.1 A^2 \cos^2\theta(t) = 0.05 A^2 + 0.05 A^2 \cos[2\theta(t)]$

核心觀念

1. 二維訊號空間與最大概似（ML）決策區域： 在等機率傳送與加性白色高斯雜訊（AWGN）環境下，最佳接收機採最小歐幾里得距離準則（Minimum Euclidean Distance）。各訊號點的決策區域（Decision Region / Voronoi Region）由相鄰訊號點間的中垂線（Perpendicular Bisector）所界定。
2. 正交變換下 AWGN 的統計特性不變性： AWGN 在二維訊號空間中具有旋轉不變性（Rotational Invariance）與圓對稱性。若將坐標軸旋轉與平移，投影至相互垂直之兩正交軸上的雜訊分量仍維持統計獨立，且各自分佈為 $\mathcal{N}(0, N_0/2)$。
3. 高斯 $Q$ 函數（Q-function）： 定義為標準常態分佈的右尾機率： $Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty e^{-\frac{t^2}{2}} \, dt$ 若雜訊 $n \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$，則雜訊超過距離門檻 $d$ 的單邊超越機率為 $P(n > d) = Q\left(\frac{d}{\sigma}\right)$。
4. 格雷編碼（Gray Coding）與位元錯誤率（BER）： 相鄰訊號點僅有 1 個位元不同。若訊號星座圖在兩正交軸上可正交解耦（Decoupling），則每一位元的錯誤判定可獨立計算，進而求得精確的位元錯誤機率。

解題方法

步驟一：訊號幾何結構與決策區域分析

給定四個訊號點坐標： $s_1 = (0,0), \quad s_2 = (a,a), \quad s_3 = (a,-a), \quad s_4 = (2a,0)$

1. 幾何形狀：

• 訊號點之間的歐氏距離： $d(s_1, s_2) = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{2}a$ $d(s_1, s_3) = \sqrt{(a-0)^2 + (-a-0)^2} = \sqrt{2}a$ $d(s_2, s_4) = \sqrt{(2a-a)^2 + (0-a)^2} = \sqrt{2}a$ $d(s_3, s_4) = \sqrt{(2a-a)^2 + (0-(-a))^2} = \sqrt{2}a$ 對角距離為 $d(s_1, s_4) = 2a$ 與 $d(s_2, s_3) = 2a$。
• 由此可知，四個點構成一個中心位於 $(a,0)$、邊長為 $\sqrt{2}a$、對角線長為 $2a$ 的正方形（即旋轉 $45^\circ$ 的四相移相鍵封 QPSK 星座圖）。

2. 決策邊界（Decision Boundaries）：

• $s_1$ 與 $s_2$、以及 $s_3$ 與 $s_4$ 的中垂線均為直線： $L_1: x + y = a$
• $s_1$ 與 $s_3$、以及 $s_2$ 與 $s_4$ 的中垂線均為直線： $L_2: x - y = a$
• $L_1$ 與 $L_2$ 互相垂直且交於正方形中心 $(a,0)$，這兩條直線將整個二維平面劃分為四個全等的無限直角扇區（四個象限），分別對應四個訊號的決策區域 $D_1, D_2, D_3, D_4$： $D_1 = \{(x,y) \mid x+y < a \text{ 且 } x-y < a\}$ $D_2 = \{(x,y) \mid x+y > a \text{ 且 } x-y < a\}$ $D_3 = \{(x,y) \mid x+y < a \text{ 且 } x-y > a\}$ $D_4 = \{(x,y) \mid x+y > a \text{ 且 } x-y > a\}$

步驟二：正交解耦與距離計算

任意訊號點到其兩個相鄰決策邊界的垂直距離均相等。以 $s_1(0,0)$ 為例：

• 到直線 $L_1: x + y - a = 0$ 的垂直距離： $d_{\perp 1} = \frac{|0 + 0 - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
• 到直線 $L_2: x - y - a = 0$ 的垂直距離： $d_{\perp 2} = \frac{|0 - 0 - a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

令兩條正交邊界的法線方向雜訊分量分別為 $n_1$ 與 $n_2$。因 AWGN 之各向同性，旋轉後的雜訊分量仍互為獨立且方差均為 $\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$： $n_1, n_2 \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{N_0}{2}\right)$

步驟三：計算平均符元錯誤機率（SER）

以傳送 $s_1$ 為例，接收端正確判決的條件為雜訊未跨越任一邊界： $P(C \mid s_1) = P\left(n_1 < \frac{a}{\sqrt{2}}\right) \cdot P\left(n_2 < \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$

單一方向不跨越邊界的機率為： $P\left(n_1 < \frac{a}{\sqrt{2}}\right) = 1 - Q\left(\frac{a/\sqrt{2}}{\sqrt{N_0/2}}\right) = 1 - Q\left(\sqrt{\frac{a^2}{N_0}}\right) = 1 - Q\left(\frac{a}{\sqrt{N_0}}\right)$

由於四個訊號點的決策區域結構完全對稱且發送機率均等，平均正確判決機率為：

核心觀念

本題考查展頻通訊系統中虛擬隨機雜訊（Pseudonoise, PN）序列產生器之工作原理與特性，核心觀念包含：

1. 線性回授移位暫存器（Linear Feedback Shift Register, LFSR）：

• 由 $m$ 個雙穩態暫存器（Flip-Flops）串接而成，每逢時脈（Clock）脈衝，暫存器內容向右循序移位。
• 輸入端由特定暫存器輸出的**模二加法（Modulo-2 Addition，即互斥或 XOR 運算 $\oplus$）**回授組成。

2. 最大長度序列（Maximal-Length Sequence，簡稱 m 序列）之判定：

• $m$ 級暫存器共有 $2^m$ 種狀態，扣除全零（all-zero）死鎖狀態，非零狀態最多為 $2^m - 1$ 種。
• 若輸出的週期長度 $N$ 達到理論最大值 $N = 2^m - 1$，則此序列稱為最大長度序列（m 序列），此時其特徵多項式必為本原多項式（Primitive Polynomial）。

3. m 序列的兩大經典隨機性質（Golomb 特徵）：

• 均衡性質（Balance Property）：在一個完整週期 $N = 2^m - 1$ 內，「1」的個數必為 $2^{m-1}$，「0」的個數必為 $2^{m-1} - 1$，「1」與「0」的個數恰好差 1。
• 段長性質（Run Property，又稱奔程性質）：由連續相同符號所構成的區塊稱為「段（run）」。一個週期內的總段數為 $2^{m-1}$ 段，其中：
• 長度為 1 的段佔總段數的 $1/2$（$2^{m-2}$ 段，且 1 與 0 各半）。
• 長度為 2 的段佔總段數的 $1/4$（$2^{m-3}$ 段，且 1 與 0 各半）。
• 長度為 $k$ 的段佔總段數的 $1/2^k$（$1 \le k \le m-2$）。
• 另外包含一個長度為 $m$ 的連續「1」段，以及一個長度為 $m-1$ 的連續「0」段（無長度為 $m$ 的「0」段）。

解題方法

1. 電路結構與轉移方程式

本題電路由 4 級暫存器串接而成（$m = 4$），暫存器狀態依序令為 $s_1, s_2, s_3, s_4$。 依命題標準電路（取第 3 級與第 4 級輸出進行模二加法回授）：

• 回授值方程式： $s_1(t+1) = s_3(t) \oplus s_4(t)$
• 各級移位關係： $s_2(t+1) = s_1(t), \quad s_3(t+1) = s_2(t), \quad s_4(t+1) = s_3(t)$
• 輸出端取自第 4 個暫存器之輸出： $y(t) = s_4(t)$
• 起始狀態為暫存器 1 為「1」，其餘為「0」，即： $(s_1(0), s_2(0), s_3(0), s_4(0)) = (1, 0, 0, 0)$

2. 狀態轉移表推導

循序列出各時脈週期的暫存器狀態與輸出：

由上表可知，在 $t=15$ 時，電路回到初始狀態 $(1, 0, 0, 0)$，此後狀態完全重複。 因此，輸出序列的單一完整週期為長度 15 的二元序列： $0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1$

核心觀念

1. 二元對稱通道（Binary Symmetric Channel, BSC）： 輸入與輸出訊號皆為二元符號 $\{0, 1\}$。若其轉移機率（即錯誤轉移率／crossover probability）為 $p$，則條件機率滿足： $P(Y=1 \mid X=0) = P(Y=0 \mid X=1) = p$ $P(Y=0 \mid X=0) = P(Y=1 \mid X=1) = 1 - p$

2. 獨立 BSC 的串接特性： 多個相互獨立的 BSC 串接後，整體等效通道仍為一個二元對稱通道。其總等效轉移機率 $p$ 等同於「經歷奇數次位元翻轉」的總機率。對於 $n$ 個獨立 BSC 串接，其等效轉移機率滿足關係式： $1 - 2p = \prod_{i=1}^{n} (1 - 2p_i)$

3. BSC 之通道容量（Channel Capacity, $C$）： 通道容量定義為互資訊（Mutual Information）的最大值： $C = \max_{P(X)} I(X; Y) = 1 - H_b(p) \quad (\text{bits/channel use 或 bits/symbol})$ 其中 $H_b(p)$ 為二元熵函數（Binary Entropy Function）： $H_b(p) = -p \log_2 p - (1-p) \log_2 (1-p)$ 當輸入機率均勻分布（即 $P(X=0) = P(X=1) = 0.5$）時，可達到該通道容量。

解題方法

本題求解分為兩個階段：先推導並計算三個 BSC 串接後的等效轉移機率 $p$，再代入夏農（Shannon）通道容量公式求值。

步驟一：計算串接後之等效轉移機率 $p$

已知三個獨立 BSC 的轉移機率分別為 $p_1 = 0.1$、$p_2 = 0.2$、$p_3 = 0.3$。

1. 前兩級串接之等效轉移機率 $p_{12}$： 訊號通過第一級與第二級後發生錯誤，代表第一級出錯且第二級正確，或第一級正確且第二級出錯： $p_{12} = p_1(1 - p_2) + (1 - p_1)p_2$ $p_{12} = (0.1)(0.8) + (0.9)(0.2) = 0.08 + 0.18 = 0.26$

2. 再與第三級串接之總等效轉移機率 $p$： 將前兩級等效通道與第三級串接： $p = p_{12}(1 - p_3) + (1 - p_{12})p_3$ $p = (0.26)(1 - 0.3) + (1 - 0.26)(0.3)$ $p = (0.26)(0.7) + (0.74)(0.3) = 0.182 + 0.222 = 0.404$

(亦可直接使用化簡公式驗證)： $1 - 2p = (1 - 2p_1)(1 - 2p_2)(1 - 2p_3)$ $1 - 2p = (1 - 0.2)(1 - 0.4)(1 - 0.6) = (0.8)(0.6)(0.4) = 0.192$ $2p = 1 - 0.192 = 0.808 \implies p = 0.404$

因此，整個串接組合通道等效為轉移機率 $p = 0.404$ 的單一 BSC。

核心觀念

本題測驗 OSI 模型與 TCP/IP 架構中「傳輸層（Transport Layer）」兩大核心通訊協定——TCP（傳輸控制協定，Transmission Control Protocol） 與 UDP（使用者資料包協定，User Datagram Protocol） 的運作機制及特性對比。 考點主要包含：

1. 傳送機制：連線導向（Connection-oriented，三向交握）vs. 非連線導向（Connectionless，Best-effort）、串流導向（Stream-oriented）vs. 訊息導向（Message-oriented/Datagram）。
2. 偵錯與可靠性機制：同位檢查和（Checksum）、序號與確認應答（Sequence Number & ACK）、超時重傳（RTO）與快速重傳（Fast Retransmit）。
3. 效能與複雜度評估：標頭開銷（Header Overhead）、狀態維護（Stateful vs. Stateless）、流量與壅塞控制（Flow & Congestion Control）對傳送速度與延遲的影響。

解題方法

本題為標準的比較型申論題，配分 15 分，建議採「分項說明、彙整製表」兩階段鋪陳：

1. 分別闡述傳送與偵錯方式：

• 先分別針對 TCP 與 UDP 說明其連線建立、傳輸流程（包含流量控制、壅塞控制等特性）。
• 再分別說明兩者的錯誤偵測範圍（Checksum 計算）與錯誤處理策略（重傳保證 vs. 靜默丟棄）。

2. 三面向橫向對比：

• 針對題目要求的「複雜度」、「可靠性」、「傳送速度」，逐一給出定性與定量的對比論據。

3. 綜合比較表：

• 文末輔以結構化表格，使閱卷委員能在一眼內掌握所有關鍵字與數據（如標頭大小、交握次數等）。

選項分析（申論子題要點解析）

本題為非選擇題之申論題，將題目所要求的各項內涵逐一剖析如下：

• 子題一：TCP 的傳送與偵錯方式

• 傳送方式：採「連線導向」與「位元組串流（Byte Stream）」。通訊前必須經由「三向交握（Three-way Handshake：SYN $\to$ SYN-ACK $\to$ ACK）」建立虛擬連線；傳輸過程中利用滑動視窗（Sliding Window）實施流量控制，並藉由慢啟動（Slow Start）、壅塞避免（Congestion Avoidance）等演算法調控傳送速率；結束通訊時經由四次揮手（Four-way Handshake：FIN/ACK）安全釋放連線。

• 偵錯方式：具備嚴謹的端到端保證機制。利用 16-bit Checksum（涵蓋偽標頭、TCP 標頭與資料）檢驗資料完整性；若封包損壞或遺失，藉由累積確認應答（Cumulative ACK）、超時重傳計時器（RTO）及三重重複 ACK（Triple Duplicate ACKs）觸發的快速重傳，保證資料不遺失、不重複且循序送達（In-order Delivery）。

• 子題二：UDP 的傳送與偵錯方式

• 傳送方式：採「非連線導向」與「資料包導向（Datagram-oriented）」。無需預先交握建立連線，亦不維護端點狀態，發送端將應用層資料封裝至 UDP Datagram 後直接交付網路層傳送，採「盡力而為（Best-effort Delivery）」。協定本身不具備流量控制與壅塞控制機制。

• 偵錯方式：僅提供最基礎的防護。具備可選的（在 IPv4 下為可選，IPv6 下強制）16-bit Checksum（涵蓋偽標頭、UDP 標頭與資料）。若接收端計算 Checksum 發現錯誤，通常直接將該資料包「靜默丟棄（Silently Discard）」，協定內部不發送否定應答（NACK），亦不主動要求重傳；若需可靠性，必須由上層應用程式自行實現。

• 子題三：複雜度、可靠性及傳送速度比較

• 複雜度：TCP 高，UDP 低。TCP 標頭基本長度達 20 位元組（可選欄位最多至 60 位元組），需於作業系統核心維護龐大的連線狀態機、計時器及發送/接收暫存緩衝區；UDP 標頭固定僅 8 位元組，協定無狀態且無控制演算法，實作極其精簡。

• 可靠性：TCP 高，UDP 低。TCP 保證資料百分之百正確、循序且無遺漏遞送；UDP 屬於不可靠傳輸，可能面臨封包遺失、亂序（Out-of-order）及重複到達等問題。

• 傳送速度與即時性：UDP 快，TCP 慢。UDP 無交握建立連線的延遲（Zero RTT），亦不受流量控制與壅塞視窗限制，傳輸即時性高且抖動（Jitter）小；TCP 因交握延遲、確認回傳、重傳機制與壅塞控制頻寬退縮，吞吐延遲較高。

解題技巧

1. 關鍵字精準打擊：

• 描述 TCP 時務必寫出「三向交握」、「滑動視窗」、「壅塞控制」、「累積確認與重傳」；描述 UDP 時務必帶出「非連線導向」、「Best-effort」、「8 位元組標頭」。

2. 標頭大小數據佐證：

• 比較複雜度時，寫出「TCP 標頭 20～60 Bytes」與「UDP 標頭固定 8 Bytes」，能展現扎實的專業底子。

3. 切忌單純只答「TCP 慢、UDP 快」：