108 調查局特考三等 電子科學組 通信與系統 考古題詳解

核心觀念

1. 確定性週期訊號之時間自相關函數（Time Autocorrelation Function）： 對於實數週期性功率訊號 $x(t)$（週期為 $T_0$），其自相關函數定義為訊號自身延遲 $\tau$ 後的時間平均乘積： $R(\tau) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)x(t+\tau) \, dt = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t)x(t+\tau) \, dt$
2. 正弦波訊號之自相關特性： 振幅為 $A$、角頻率為 $\omega_0$ 的正弦訊號 $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \theta)$，其自相關函數恆為餘弦函數，且與初始相位 $\theta$ 無關： $R(\tau) = \frac{A^2}{2} \cos(\omega_0 \tau)$
3. 平均功率（Average Power）與自相關函數之關係： 訊號的正規化平均功率（Normalized Average Power，跨 $1\,\Omega$ 負載）等於自相關函數在零時滯（$\tau = 0$）的值： $P_{\text{avg}} = R(0) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 \, dt = \frac{A^2}{2} = X_{\text{rms}}^2$

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解題方法

(一) 求訊號 $x(t)$ 之自相關函數 $R(\tau)$

1. 化簡訊號： 觀察原式，兩項具備相同的角頻率 $\omega = 10\text{ rad/s}$ 與相同相位，直接進行同類項合併： $x(t) = 10\cos(10t) + 20\cos(10t) = 30\cos(10t)$ 此訊號為週期訊號，角頻率 $\omega_0 = 10\text{ rad/s}$，基本週期 $T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{\pi}{5}\text{ s}$。

2. 代入自相關函數定義推導： 依據週期訊號的時間自相關函數定義： $R(\tau) = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t)x(t+\tau) \, dt$ 將 $x(t) = 30\cos(10t)$ 與 $x(t+\tau) = 30\cos(10(t+\tau))$ 代入： $R(\tau) = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} [30\cos(10t)] \cdot [30\cos(10(t+\tau))] \, dt$ $R(\tau) = \frac{900}{T_0} \int_{0}^{T_0} \cos(10t)\cos(10t + 10\tau) \, dt$

3. 利用積化和差公式計算積分： 利用三角恆等式 $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$： $\cos(10t)\cos(10t + 10\tau) = \frac{1}{2}[\cos(20t + 10\tau) + \cos(10\tau)]$ 代回積分式：

核心觀念

本題評量重點為標準振幅調變（Standard AM / AM-DSB-TC）在單音（Single-tone）調變下的數學模型與頻譜特性，以及調變因子（Modulation Index）的定義與計算。

1. 標準單音 AM 訊號時域數學式： 設載波頻率為 $f_c$、振幅為 $A_c$；訊息訊號為單音頻率 $f_m$。標準 AM 訊號定義為： $x(t) = A_c [1 + \mu \cos(2\pi f_m t)] \cos(2\pi f_c t)$ 其中 $\mu$ 為調變因子（Modulation Index），且 $0 < \mu \le 1$ 時不發生過調變（Over-modulation）。

2. 積化和差頻譜分解： 利用三角函數積化和差公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$，展開可得三個頻率成分： $x(t) = \underbrace{A_c \cos(2\pi f_c t)}_{\text{載波 (Carrier)}} + \underbrace{\frac{A_c \mu}{2} \cos[2\pi(f_c - f_m)t]}_{\text{下邊波 (LSB)}} + \underbrace{\frac{A_c \mu}{2} \cos[2\pi(f_c + f_m)t]}_{\text{上邊波 (USB)}}$

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解題方法

將題目給定之調變訊號 $x(t)$ 與標準單音 AM 訊號展開式進行係數與頻率對照。

題目給定： $x(t) = 30\cos[2\pi(200)t] + 4\cos[2\pi(180)t] + 4\cos[2\pi(220)t]$

步驟一：判別各項頻率與載波、訊息頻率

由中心頻率及對稱邊帶結構可判斷：

• 載波頻率 $f_c = 200 \text{ Hz}$
• 下邊波頻率 $f_c - f_m = 180 \text{ Hz} \implies f_m = 200 - 180 = 20 \text{ Hz}$

核心觀念

本題旨在評量數位通信系統中，**符元錯誤率（Symbol Error Probability, $P_E$ 或 $P_s$）與位元錯誤率（Bit Error Probability, $P_b$ 或 BER）**之間的轉換關係。

1. 格雷碼（Gray Code）映射下的 $M$-PSK 系統： 在 $M$ 相位偏移調變（$M$-ary PSK）中，星座圖上的信號點均勻分佈於圓周上。當訊噪比（SNR）足夠高（即錯誤率很低，如本題 $P_E = 10^{-5}$）時，絕大多數的判決錯誤皆發生於將傳送符元誤判為其相鄰的兩個信號點之一。若採用格雷碼映射，相鄰符元之間僅有 $1$ 個位元相異，因此每一次符元錯誤平均僅造成 $1$ 個位元錯誤。 每個符元攜帶的位元數為 $k = \log_2 M$，其位元錯誤率近似關係式為： $P_b \approx \frac{P_E}{\log_2 M} = \frac{P_E}{k}$

2. $M$ 元正交信號系統（$M$-ary Orthogonal FSK）： 在正交頻率偏移調變系統中，所有 $M$ 個信號在幾何空間中彼此互相正交、兩兩之間的歐氏距離均相等。因此，當發生符元錯誤時，接收端等機率地誤判為其餘 $M - 1$ 個錯誤符元中的任一個。 在所有 $M - 1$ 個錯誤符元中，位元錯誤的平均數為 $\frac{k \cdot 2^{k-1}}{2^k - 1} = \frac{k \cdot (M/2)}{M - 1}$。因此，正交信號之符元錯誤率與位元錯誤率具有精確的理論換算關係（且與是否採用格雷碼無關）： $P_b = \frac{M / 2}{M - 1} P_E = \frac{2^{k-1}}{2^k - 1} P_E$

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解題方法

已知條件：

• 符元數 $M = 16$
• 每個符元所包含之位元數 $k = \log_2 16 = 4 \text{ bits/symbol}$
• 系統符元錯誤率 $P_E = 10^{-5}$

(一) 16-PSK 系統採用格雷碼之位元錯誤率

1. 原理推導： 16-PSK 星座點以角度 $\frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8}$ 等間距排列。在低錯誤率條件下（$P_E = 10^{-5} \ll 1$），符元錯誤主要由鄰近信號點（Nearest Neighbors）造成。格雷碼確保了相鄰信號點僅有 $1$ 位元之差，故每次符元錯誤平均對應 $1$ 個錯誤位元。

2. 計算步驟： $P_b \approx \frac{P_E}{k} = \frac{P_E}{\log_2 16} = \frac{P_E}{4}$ 將 $P_E = 10^{-5}$ 代入： $P_b \approx \frac{10^{-5}}{4} = 0.25 \times 10^{-5} = 2.5 \times 10^{-6}$

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(二) 16-ary 正交 FSK 系統之位元錯誤率

核心觀念

1. 同調差分二相位偏移調變（DE-BPSK, Differentially Encoded BPSK with Coherent Detection）：

• 差分編碼目的：在同調解調中，載波還原電路常存在 $180^\circ$ 的相位模糊（Phase Ambiguity）。為了解決此問題，傳送端先將原始資料進行差分編碼，接收端完成同調偵測後再進行差分譯碼。
• 錯誤傳播效應：接收端解碼是透過比對「相鄰兩個符元的判決結果」來還原原始位元，因此單一符元的通道判決錯誤會牽連相鄰兩個解碼位元，造成錯誤率約為傳統 BPSK 的兩倍。

2. 同調四相位偏移調變（QPSK, Quadrature Phase Shift Keying）：

• 正交分解特性：QPSK 信號可完全拆解為兩路在空間上彼此正交的載波——同相分量（In-phase, $I$ 支路）與正交分量（Quadrature, $Q$ 支路）。
• 獨立統計特性：在加成性高斯白雜訊（AWGN）通道下，$I$ 支路與 $Q$ 支路的雜訊樣本互為統計獨立。因此，一個 QPSK 符元能正確接收的充要條件是「$I$ 支路與 $Q$ 支路皆正確判決」。

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解題方法

(一) 同調差分二相位偏移調變之位元錯誤率

1. 信號編碼與譯碼關係： 設原始輸入位元序列為 $d_k \in \{0, 1\}$，差分編碼後的發送符元序列為 $c_k \in \{0, 1\}$，編碼規則為： $c_k = c_{k-1} \oplus d_k$ 其中 $\oplus$ 代表模二加法（XOR）。 接收端進行同調偵測，得到各符元的硬決策（Hard-decision）結果 $\hat{c}_k$。接著進行差分譯碼以還原位元： $\hat{d}_k = \hat{c}_{k-1} \oplus \hat{c}_k$

2. 通道判決錯誤機率： 由於系統採用同調偵測，單一符元 $\hat{c}_k$ 的判決錯誤機率即為題目給定的同調 BPSK 錯誤率： $p = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$ 符元正確判決的機率為 $1 - p$。

3. 差分譯碼錯誤機率推導： 譯碼位元 $\hat{d}_k$ 發生錯誤（即 $\hat{d}_k \neq d_k$），代表 $\hat{c}_{k-1} \oplus \hat{c}_k \neq c_{k-1} \oplus c_k$。此狀況發生的充要條件為：相鄰兩符元中恰好只有一個發生判決錯誤。

• 若 $\hat{c}_{k-1}$ 判決正確，而 $\hat{c}_k$ 判決錯誤，機率為 $(1 - p)p$。
• 若 $\hat{c}_{k-1}$ 判決錯誤，而 $\hat{c}_k$ 判決正確，機率為 $p(1 - p)$。
• 若相鄰兩符元同時發生錯誤，兩次反轉互消（$\bar{c}_{k-1} \oplus \bar{c}_k = c_{k-1} \oplus c_k$），差分譯碼反而能得到正確的 $\hat{d}_k$。

因此，同調差分 BPSK 的位元錯誤率 $P_b$ 為： $P_b = p(1 - p) + (1 - p)p = 2p(1 - p)$ 將 $p = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$ 代入： $P_b = 2Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\left[1 - Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)\right]$

4. 高訊噪比近似： 在高訊噪比（High SNR）條件下，$Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) \ll 1$，因此 $1 - p \approx 1$，可近似為： $P_b \approx 2Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$

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(二) 同調四相位偏移調變之符元錯誤率

1. 能量關係設定： 設 QPSK 的符元能量為 $E_s$。每個 QPSK 符元包含 2 個位元（$k = 2$），故符元能量與位元能量之關係為： $E_s = 2E_b$ QPSK 信號正交分解為 $I$ 軸與 $Q$ 軸，兩正交軸上的分量能量各分配一半： $E_I = E_Q = \frac{E_s}{2} = E_b$

2. 單軸判決錯誤率： $I$ 軸與 $Q$ 軸各自等效於一個傳送能量為 $E_b$ 的獨立 BPSK 系統。

核心觀念

本題考查資訊理論（Information Theory）中離散無記憶通道（Discrete Memoryless Channel, DMC）之通道容量（Channel Capacity）推導。此題通道為經典的二元擦失通道（Binary Erasure Channel, BEC）。

所涉及之核心定義與公式如下：

1. 轉移機率矩陣（Channel Transition Matrix）： 矩陣元素定義為條件機率 $P(y_j|x_i)$，其中輸入集合 $\mathcal{X} = \{0, 1\}$、輸出集合 $\mathcal{Y} = \{0, e, 1\}$：

$$P_{Y|X} = \begin{bmatrix} P(Y=0|X=0) & P(Y=e|X=0) & P(Y=1|X=0) \\ P(Y=0|X=1) & P(Y=e|X=1) & P(Y=1|X=1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-p & p & 0 \\ 0 & p & 1-p \end{bmatrix}$$

2. 互資訊（Mutual Information, $I(X; Y)$）：

$$I(X; Y) = H(Y) - H(Y|X) = H(X) - H(X|Y)$$

其中 $H(\cdot)$ 為夏農熵（Entropy），$H(\cdot|\cdot)$ 為條件熵（Conditional Entropy）。 3. 通道容量（Channel Capacity, $C$）： 通道容量定義為對所有可能的輸入機率分佈 $P(X)$，互資訊的最大值：

$$C = \max_{P(X)} I(X; Y) \quad (\text{bits/channel use})$$

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解題方法

本題切入點採用 $I(X; Y) = H(Y) - H(Y|X)$ 展開法。

步驟一：設定輸入先驗機率分佈

令輸入符號 $X$ 的機率質量函數（PMF）為：

$$P(X=0) = 1-\alpha, \quad P(X=1) = \alpha \quad (0 \le \alpha \le 1)$$

輸入熵為二元熵函數（Binary Entropy Function）：

$$H(X) = -(1-\alpha)\log_2(1-\alpha) - \alpha\log_2\alpha$$

步驟二：計算條件熵 $H(Y|X)$

給定輸入 $X=0$ 時，輸出 $Y$ 的分佈為 $(1-p, p, 0)$：

$$H(Y|X=0) = -(1-p)\log_2(1-p) - p\log_2 p - 0 = H_b(p)$$

給定輸入 $X=1$ 時，輸出 $Y$ 的分佈為 $(0, p, 1-p)$：

$$H(Y|X=1) = -0 - p\log_2 p - (1-p)\log_2(1-p) = H_b(p)$$

其中 $H_b(p) = -p\log_2 p - (1-p)\log_2(1-p)$ 為參數 $p$ 的二元熵。因此條件熵為：

$$H(Y|X) = \sum_{x \in \{0,1\}} P(X=x) H(Y|X=x) = (1-\alpha)H_b(p) + \alpha H_b(p) = H_b(p)$$

步驟三：求輸出邊際機率與輸出熵 $H(Y)$

利用全機率公式計算輸出符號的邊際機率分佈：

$$P(Y=0) = P(X=0)P(Y=0|X=0) + P(X=1)P(Y=0|X=1) = (1-\alpha)(1-p)$$ $$P(Y=e) = P(X=0)P(Y=e|X=0) + P(X=1)P(Y=e|X=1) = (1-\alpha)p + \alpha p = p$$ $$P(Y=1) = P(X=0)P(Y=1|X=0) + P(X=1)P(Y=1|X=1) = \alpha(1-p)$$