108 調查局特考三等 電子科學組 工程數學 考古題詳解

核心觀念

1. 平面格林定理（Green's Theorem） 設 $C$ 為平面上一條分段平滑、簡單、封閉的正向路徑，$R$ 為 $C$ 所圍成的平面區域。若向量場 $\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\mathbf{i} + Q(x,y)\mathbf{j}$ 在 $R$ 及其邊界 $C$ 上具備連續的一階偏導數，則：

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$$

2. 保守場與恰當微分（Exact Differential） 若向量場在單連通區域內滿足 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，則該向量場為保守場，存在純量位能函數 $\phi(x,y)$ 滿足：

$$d\phi = P\,dx + Q\,dy$$

此時線積分具有路徑無關性，沿任何封閉路徑 $C$ 的積分值恆為零：

$$\oint_C P\,dx + Q\,dy = \oint_C d\phi = 0$$

3. 函數的定義域與奇異點 被積函數 $P(x,y) = \frac{y}{x^2}$ 與 $Q(x,y) = -\frac{1}{x}$ 在 $x = 0$（即 $y$ 軸）處分母為零，奇異點集合為整條直線 $x = 0$。線積分成立之先決條件為路徑 $C$ 必須完全落在被積函數的定義域內，即不能與奇異線 $x = 0$ 相交。

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解題方法

方法一：恰當微分與位能函數法（最佳解法）

1. 識別被積形式： 設線積分為 $\oint_C P\,dx + Q\,dy$，其中：

$$P(x,y) = \frac{y}{x^2}, \quad Q(x,y) = -\frac{1}{x}$$

2. 驗證恰當條件（Exactness）： 分別對 $y$ 與 $x$ 取偏導數：

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2}$$ $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x^2}$$

由於 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，被積形式在不含 $x = 0$ 的連通區域上為恰當微分。

3. 求純量位能函數 $\phi(x,y)$： 利用商微分法則觀察：

$$P\,dx + Q\,dy = \frac{y}{x^2}\,dx - \frac{1}{x}\,dy = -\left( \frac{x\,dy - y\,dx}{x^2} \right) = -d\left(\frac{y}{x}\right) = d\left(-\frac{y}{x}\right)$$

因此位能函數為：

$$\phi(x,y) = -\frac{y}{x}$$

核心觀念

1. 反矩陣（Inverse Matrix）存在條件： 若 $n \times n$ 方陣 $A$ 為非奇異矩陣（Non-singular Matrix），即行列式值 $\det(A) \neq 0$，則其反矩陣 $A^{-1}$ 存在，且滿足： $A A^{-1} = A^{-1} A = I$ 其中 $I$ 為單位矩陣。

2. 伴隨矩陣法（Adjugate Matrix Method）： 三階方陣求反矩陣最穩健的方法為伴隨矩陣公式： $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{\det(A)} C^T$

• 餘因子（Cofactor）：$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 為劃去第 $i$ 列（row）與第 $j$ 行（column）後所得之二階子行列式（Minor）。
• 伴隨矩陣 $\operatorname{adj}(A)$ 為餘因子矩陣 $C = [C_{ij}]$ 之轉置矩陣（Transpose Matrix），即 $\operatorname{adj}(A) = C^T$。

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解題方法

本題採用「伴隨矩陣法」求解。相較於高斯－喬登消去法（Gauss-Jordan Elimination），伴隨矩陣法在計算過程中皆為整數運算，至最後一步才進行純量除法，能大幅降低考場上因分數通分而產生計算失誤的機率。

步驟一：計算矩陣 $A$ 之行列式值 $\det(A)$

利用第一列展開（Laplace Expansion）：

$$\begin{aligned} \det(A) &= \begin{vmatrix} -2 & 4 & 2\\ 6 & 3 & -3\\ 2 & 9 & -5 \end{vmatrix} \\ &= (-2) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 9 & -5 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} 6 & -3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 9 \end{vmatrix} \\ &= (-2) \cdot [3(-5) - (-3)(9)] - 4 \cdot [6(-5) - (-3)(2)] + 2 \cdot [6(9) - 3(2)] \\ &= (-2) \cdot (-15 + 27) - 4 \cdot (-30 + 6) + 2 \cdot (54 - 6) \\ &= (-2)(12) - 4(-24) + 2(48) \\ &= -24 + 96 + 96 \\ &= 168 \end{aligned}$$

因 $\det(A) = 168 \neq 0$，故反矩陣 $A^{-1}$ 存在。

步驟二：計算各元素之餘因子 $C_{ij}$

依序計算餘因子矩陣 $C$ 的 9 個元素：

• 第一列元素之餘因子： $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ 9 & -5 \end{vmatrix} = + [(-15) - (-27)] = 12$ $C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 6 & -3 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = - [(-30) - (-6)] = -(-24) = 24$ $C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 9 \end{vmatrix} = + (54 - 6) = 48$

• 第二列元素之餘因子： $C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 9 & -5 \end{vmatrix} = - [(-20) - 18] = -(-38) = 38$ $C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -5 \end{vmatrix} = + (10 - 4) = 6$ $C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ 2 & 9 \end{vmatrix} = - [(-18) - 8] = -(-26) = 26$

• 第三列元素之餘因子：

核心觀念

本題考查複變分析（Complex Analysis）中利用柯西留數定理（Cauchy's Residue Theorem）​計算複數封閉路徑積分，涉及的核心觀念與定理包含：

1. 孤立奇異點之分類與判定（Classification of Singularities）：

• 可去奇異點（Removable Singularity）：若 $\lim_{z\to z_0} f(z)$ 存在且有限，則 $z_0$ 為可去奇異點，其留數為零（$\operatorname{Res}(f, z_0) = 0$）。
• 極點（Poles）：若分母在該點為零但分子不為零（或分母零點階數大於分子），該點為極點。一階極點（Simple Pole）之留數可由極限定義快速求得：

$$\operatorname{Res}(f, z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$$

2. 複數三角函數與雙曲函數之轉換：

• 尤拉公式推導之純虛數正弦公式：$\sin(iy) = i\sinh(y)$。
• 其平方關係：$\sin^2(iy) = [i\sinh(y)]^2 = -\sinh^2(y)$。

3. 柯西留數定理（Cauchy's Residue Theorem）：

• 若 $f(z)$ 在正向（逆時針）單純封閉路徑 $\Gamma$ 上及其內部除有限個孤立奇異點 $z_k$ 外皆解析，則：

$$\oint_{\Gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{z_k \in \operatorname{int}(\Gamma)} \operatorname{Res}(f(z), z_k)$$

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解題方法

步驟一：分析函數之潛在奇異點

給定被積函數為：

$$f(z) = \frac{\sin^2(z)}{z^2(z^2+4)} = \frac{\sin^2(z)}{z^2(z-2i)(z+2i)}$$

令分母為零，得方程式 $z^2(z^2+4) = 0$，解得候選奇異點為：

$$z = 0, \quad z = 2i, \quad z = -2i$$

步驟二：判別奇異點類型並計算各點留數

1. 奇異點 $z = 0$：

• 利用泰勒級數（Taylor Series）展開分子：

$$\sin(z) = z - \frac{z^3}{3!} + \mathcal{O}(z^5) \implies \sin^2(z) = z^2 - \frac{z^4}{3} + \mathcal{O}(z^6)$$

• 檢驗 $z \to 0$ 之極限：

$$\lim_{z\to 0} f(z) = \lim_{z\to 0} \frac{\sin^2(z)}{z^2} \cdot \frac{1}{z^2+4} = (1)^2 \cdot \frac{1}{0+4} = \frac{1}{4}$$

• 由於極限存在且為有限值，故 $z = 0$ 為可去奇異點（Removable Singularity）。
• 可去奇異點的洛朗級數（Laurent Series）不含負冪次項，因此：

$$\operatorname{Res}(f(z), 0) = 0$$

2. 奇異點 $z = 2i$：

• 檢驗分子於 $z = 2i$ 處的值：

$$\sin(2i) = i\sinh(2) \implies \sin^2(2i) = [i\sinh(2)]^2 = -\sinh^2(2) \neq 0$$

• 分母在 $z = 2i$ 處為一階零點，因此 $z = 2i$ 為一階極點（Simple Pole）。
• 計算該點留數：

核心觀念

本題旨在考驗高斯函數（Gaussian Function）的傅立葉轉換（Fourier Transform），涉及以下關鍵定義與公式：

1. 傅立葉轉換定義： 在工程數學與訊號分析中，函數 $f(t)$ 的傅立葉轉換標準定義為： $F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$
2. 高斯積分（Gaussian Integral）公式： 對任意常數 $a > 0$，有： $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-au^2}\,du = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$
3. 複數積分與配方法： 將指數項中的二次多項式進行配方，並利用柯西積分定理（Cauchy's Integral Theorem）確認複數平移路徑積分的值與實數軸相同。

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解題方法

方法一：直接積分法（配方法）

1. 代入傅立葉轉換定義式： $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2t^2} e^{-i\omega t}\,dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(2t^2 + i\omega t)}\,dt$

2. 對指數中的次方項進行配方： $2t^2 + i\omega t = 2\left(t^2 + \frac{i\omega}{2}t\right) = 2\left[\left(t + \frac{i\omega}{4}\right)^2 - \left(\frac{i\omega}{4}\right)^2\right] = 2\left(t + \frac{i\omega}{4}\right)^2 + \frac{\omega^2}{8}$ 因此： $-(2t^2 + i\omega t) = -2\left(t + \frac{i\omega}{4}\right)^2 - \frac{\omega^2}{8}$

3. 提出與積分變數 $t$ 無關的項： $F(\omega) = e^{-\omega^2/8} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\left(t + \frac{i\omega}{4}\right)^2}\,dt$

4. 計算高斯積分： 令 $u = t + \frac{i\omega}{4}$，則 $du = dt$。由複變分析中的柯西積分定理，沿矩形閉路徑積分且兩端縱向路徑在邊界趨近無限大時積分值收斂為 0，可得：

核心觀念

本題考查單一連續型隨機變數的函數變換（Functions of a Single Continuous Random Variable）。涉及的核心數學與機率觀念包括：

1. 均勻分配（Uniform Distribution）： 隨機變數 $X \sim U[-\pi, \pi]$，其機率密度函數（PDF）在區間 $[-\pi, \pi]$ 內為常數 $f_X(x) = \frac{1}{2\pi}$，其餘範圍為 $0$。
2. 多對一函數變換（Many-to-One Transformation）： 函數 $y = g(x) = \cos(x)$ 在定義域 $[-\pi, \pi]$ 上不是單調函數（嚴格遞增或嚴格遞減），而是一個二對一（Two-to-one）的對稱映射。處理此類問題有兩種標準切入途徑：

• 累積分布函數法（CDF Method）：先求出 $F_Y(y) = P(Y \le y)$，再對 $y$ 微分求得 PDF $f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y)$。
• 分段變數變換公式法（Jacobian Formula）：找出每個 $y$ 所對應的多個實根 $x_i$，利用公式 $f_Y(y) = \sum_{i} \frac{f_X(x_i)}{|g'(x_i)|}$ 求解。

3. 反三角函數微分公式：

$$\frac{d}{dy}\arccos(y) = -\frac{1}{\sqrt{1-y^2}},\qquad -1 < y < 1$$

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解題方法

方法一：累積分布函數法（CDF Method，最嚴謹且不易出錯）

第一步：確定隨機變數 $Y$ 的值域（Support） 因為 $X \in [-\pi, \pi]$，且 $Y = \cos(X)$，所以 $Y$ 的取值範圍為：

$$-1 \le y \le 1$$

• 當 $y < -1$ 時，$F_Y(y) = P(\cos(X) \le y) = 0$。
• 當 $y \ge 1$ 時，$F_Y(y) = P(\cos(X) \le y) = 1$。

第二步：求 $-1 \le y < 1$ 時的累積分布函數 $F_Y(y)$ 考慮事件 $\{\cos(X) \le y\}$ 在 $X \in [-\pi, \pi]$ 上的對應區間： 由餘弦函數的幾何圖形可知，在 $[0, \pi]$ 區間內，$\cos(x) \le y \iff x \ge \arccos(y)$。 利用餘弦函數的偶函數對稱性 $\cos(-x) = \cos(x)$，在 $[-\pi, 0]$ 區間內，$\cos(x) \le y \iff x \le -\arccos(y)$。 因此：

$$\{\cos(X) \le y\} \iff X \in [-\pi, -\arccos(y)] \cup [\arccos(y), \pi]$$

計算其機率：

$$\begin{aligned} F_Y(y) &= P(-\pi \le X \le -\arccos(y)) + P(\arccos(y) \le X \le \pi) \\ &= \int_{-\pi}^{-\arccos(y)} \frac{1}{2\pi}\, dx + \int_{\arccos(y)}^{\pi} \frac{1}{2\pi}\, dx \\ &= \frac{-\arccos(y) - (-\pi)}{2\pi} + \frac{\pi - \arccos(y)}{2\pi} \\ &= \frac{2\pi - 2\arccos(y)}{2\pi} \\ &= 1 - \frac{1}{\pi}\arccos(y) \end{aligned}$$

第三步：微分求機率密度函數 $f_Y(y)$ 對 $F_Y(y)$ 關於 $y$ 微分（針對開區間 $-1 < y < 1$）：