111 調查局特考三等 電子科學組 電子學與電路學 考古題詳解

核心觀念

此題考理想運算放大器的「虛短」與「輸入端不取電流」，以及由電阻組成的 T 型回授網路。

正端接地，因此在線性負回授下，反相端電壓為 $0\ \mathrm{V}$。反相端沒有電流流入運算放大器，故流經輸入電阻的電流必須流入回授電阻。

解題方法

令反相端電壓為 $V_-=0$，並令 T 型網路中間節點電壓為 $V_x$。

在反相端套用 KCL。輸入電阻與反相端到中間節點的電阻均為 $1\ \mathrm{M\Omega}$：

代入 $V_i=0.2\ \mathrm{V}$、$V_-=0$：

再於中間節點套用 KCL。該節點分別經 $1\ \mathrm{M\Omega}$ 接至反相端、經 $1\ \mathrm{M\Omega}$ 接至輸出端，並經 $10.2\ \mathrm{k\Omega}$ 接地：

核心觀念

本題考查電流增益的定義，以及如何用電壓增益、輸入阻抗與負載電阻求得電流增益：

圖中兩個電晶體構成達靈頓射極隨耦器，電壓增益近似為 $1$。小信號分析時，耦合電容視為短路，因此輸出端的負載為 $R_L=4\,\mathrm{k\Omega}$。

解題方法

核心觀念

本題考查數位邏輯中「布林代數（Boolean Algebra）」之化簡，核心為**共識定理（Consensus Theorem）**及其對偶形式（Dual Form / Product-of-Sums, POS）。

解題所依據之基本定理與公理如下：

1. 共識定理（和之積 POS 形式）： $(A+B)(\overline{A}+C)(B+C) = (A+B)(\overline{A}+C)$ 其中 $(B+C)$ 稱為共識項（Consensus Term），為多餘項（Redundant Term），可予剔除。
2. 互補律（Complement Law）： $x \cdot \overline{x} = 0$
3. 分配律（Distributive Law）： $A + BC = (A+B)(A+C)$
4. 吸收律（Absorption Law）： $A(A+B) = A$

解題方法

此題為經典之布林代數化簡題。考試時建議以「代數推導法」完整寫出推導流程，並輔以「共識定理」說明化簡依據。

方法一：代數嚴密推導法（考卷標準寫法）

利用布林公理將第三項 $(y+z)$ 展開後，再以吸收律消去：

1. 利用互補律與分配律改寫 $(y+z)$： 因為 $x\overline{x} = 0$，故可將 $(y+z)$ 表示為： $y+z = (y+z) + 0 = (y+z) + x\overline{x}$ 由分配律 $A + BC = (A+B)(A+C)$，將 $(y+z)$ 視為 $A$： $(y+z) + x\overline{x} = (x+y+z)(\overline{x}+y+z)$

2. 代回原布林函數式： $F = (x+y)(\overline{x}+z)(y+z)$ $F = (x+y)(\overline{x}+z)(x+y+z)(\overline{x}+y+z)$

3. 重新組合並應用吸收律： 將含有同變數的項配對： $F = \big[(x+y)(x+y+z)\big] \cdot \big[(\overline{x}+z)(\overline{x}+y+z)\big]$ 根據吸收律 $A(A+B) = A$：

• 令 $A = (x+y)$，則 $(x+y)(x+y+z) = x+y$
• 令 $A = (\overline{x}+z)$，則 $(\overline{x}+z)(\overline{x}+z+y) = \overline{x}+z$

4. 化簡結果： 得最簡和之積（Product-of-Sums, POS）形式： $F = (x+y)(\overline{x}+z)$

核心觀念

本題考節點電壓法中的超節點。理想電壓源連接兩個非參考節點時，將這兩個節點視為一個超節點，對超節點套用 KCL，並另外使用電壓源的電壓關係。

以下端公共導線為參考地，設 $3\,\Omega$ 電阻上端電壓為 $v$，$2\,\Omega$ 與 $6\,\Omega$ 電阻上端的節點電壓為 $V_b$。

解題方法

由左側 $7\,\text{V}$ 電壓源的極性，$4\,\Omega$ 電阻左端電壓為 $7\,\text{V}$。中間 $3\,\text{V}$ 電壓源左端為負、右端為正，因此：

將 $v$ 與 $V_b$ 包成超節點，對超節點套用 KCL。流出超節點的電流總和為零：

代入 $V_b=v+3$：

核心觀念

本題考查電容的初始電壓連續性與一階 RC 電路的暫態響應。

電容電壓不能瞬間改變，因此開關切換前的穩態電壓就是切換後的初始電壓。切換後，電容透過等效電阻朝新的穩態電壓變化，其響應為

其中 $V_f$ 是切換後的穩態電壓，$\tau$ 是時間常數。

解題方法

1. 求切換前的電容電壓

開關在 A 時，電路已達穩態，電容等效為開路。左側的 $3\,\text{k}\Omega$ 與 $5\,\text{k}\Omega$ 電阻形成分壓，電容上端電壓為

依電容電壓連續性，

2. 求切換後的穩態電壓與時間常數

核心觀念

重疊定理適用於線性電路：各獨立電源分別作用時所造成的響應相加，即為總響應。停用理想電壓源時，以短路取代；停用理想電流源時，以開路取代。

解題方法

分別計算兩個電壓源對 $v_o(t)$ 的貢獻。

**只保留左側電壓源 $30\sin 5t$：**將右側理想電壓源停用，以短路取代。此短路直接跨接輸出端與下方參考節點，因此

**只保留右側電壓源 $2\cos 10t$：**將左側理想電壓源停用，以短路取代。右側理想電壓源直接跨接輸出端，其上端為正，因此

核心觀念

導納參數以兩埠電壓表示流入網路的埠電流：

因此，$y_{11}=I_1/V_1$（令 $V_2=0$），$y_{21}=I_2/V_1$（令 $V_2=0$）。圖中的受控電流源大小為 $0.2V_1$，方向由左往右。

解題方法

以圖中的下方共用導線為參考地，依照「流入雙埠網路」的方向列出各埠電流。

左側 $5\,\Omega$ 電阻的電流為 $V_1/5$，受控電流源則有 $0.2V_1$ 從埠 1 流向埠 2。因此：

所以：