112 調查局特考三等 電子科學組 電子學與電路學 考古題詳解

112 年・調查局特考・三等・電子科學組
試題代碼 電子學與電路學

第 一 題20 分

圖一(a)使用理想運算放大器，輸入訊號 vin(t)v_{in}(t) 如圖一(b)，Ro=50 ΩR_o=50\,\Omega。求 t≥0t\geq 0 時之 vo1(t)v_{o1}(t)、iL(t)i_L(t) 與 vo2(t)v_{o2}(t) 波形數學式。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖一(a)為理想運算放大器及 RoR_o、L=100 nHL=100\,\mathrm{nH}、RL=200 ΩR_L=200\,\Omega 電路；圖一(b)為輸入訊號波形】

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核心觀念

本題考查：

  1. 理想運算放大器的基本特性： v+=v−,i+=i−=0v_+=v_-,\qquad i_+=i_-=0
  2. 電感電流的連續性： iL(0+)=iL(0−)i_L(0^+)=i_L(0^-)
  3. RR-LL 電路的暫態響應： τ=LRo+RL\tau=\frac{L}{R_o+R_L}
  4. 負載端電壓由歐姆定律求得： vo2(t)=RLiL(t)v_{o2}(t)=R_Li_L(t)

解題方法

1. 運算放大器輸出電壓 vo1(t)v_{o1}(t)

運算放大器的反相端接地，因此

v−=0v_-=0

理想運算放大器在線性工作區具有虛短路特性：

v+=v−=0v_+=v_-=0

由於輸入訊號加在非反相端，且圖中電路等效為電壓跟隨器，所以

vo1(t)=vin(t)v_{o1}(t)=v_{in}(t)

由圖一(b)可知，t<0t<0 時 vin=−1 Vv_{in}=-1\ \text{V}，t≥0t\geq0 時跳變為 +1 V+1\ \text{V}。因此

vo1(t)=1 V,t≥0\boxed{v_{o1}(t)=1\ \text{V},\qquad t\geq0}

且在跳變前

vo1(0−)=−1 Vv_{o1}(0^-)=-1\ \text{V}

2. 電感初始電流 iL(0−)i_L(0^-)

在 t<0t<0 時，電路已達直流穩態，電感視為短路，因此串聯總電阻為

Ro+RL=50+200=250 ΩR_o+R_L=50+200=250\ \Omega

故

iL(0−)=−1250 A=−4 mAi_L(0^-)=\frac{-1}{250}\ \text{A}=-4\ \text{mA}

電感電流不可瞬間改變，所以

iL(0+)=iL(0−)=−4 mAi_L(0^+)=i_L(0^-)=-4\ \text{mA}

3. t≥0t\geq0 時的電感電流

t≥0t\geq0 時，vo1=1 Vv_{o1}=1\ \text{V}，電路的最終穩態電流為

iL(∞)=1250 A=4 mAi_L(\infty)=\frac{1}{250}\ \text{A}=4\ \text{mA}

時間常數為

τ=LRo+RL=100 nH250 Ω=0.4 ns\tau=\frac{L}{R_o+R_L} =\frac{100\ \text{nH}}{250\ \Omega} =0.4\ \text{ns}

RR-LL 電路響應公式為

iL(t)=iL(∞)+[iL(0+)−iL(∞)]e−t/τi_L(t)=i_L(\infty)+[i_L(0^+)-i_L(\infty)]e^{-t/\tau}

代入數值：

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第 二 題20 分

圖二(a)與圖二(b)電路，BNBN 端埠接任意阻抗 ZLZ_L，從 ANAN 端埠看進去的阻抗均相等，Cb=Cn=1 μFC_b=C_n=1\,\mu\mathrm{F}，Ca=2 μFC_a=2\,\mu\mathrm{F}。列式求算 C1C_1、C2C_2 與 C3C_3，已知所有容值均為正。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖二(a)為由 C1C_1、C2C_2、C3C_3 組成的電路；圖二(b)為由 CaC_a、CbC_b、CnC_n 組成的電路】

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核心觀念

本題考「兩埠網路等效」與 ABCD 參數。由於 BNBN 端接上任意負載 ZLZ_L，且要求從 ANAN 端看入的阻抗對所有 ZLZ_L 均相等，因此兩個兩埠網路的輸入阻抗函數必須完全相同。

令各電容的阻抗為

zi=1sCi,za=1sCa,zb=1sCb,zn=1sCn.z_i=\frac{1}{sC_i},\qquad z_a=\frac{1}{sC_a},\quad z_b=\frac{1}{sC_b},\quad z_n=\frac{1}{sC_n}.

其中

Cb=Cn=1 μF,Ca=2 μF.C_b=C_n=1\,\mu\mathrm{F},\qquad C_a=2\,\mu\mathrm{F}.

解題方法

採用兩埠網路的 ABCD 矩陣。串聯阻抗與並聯電容的矩陣分別為

串聯 z:[1z01],並聯 Y=1z:[101z1].\text{串聯 }z: \begin{bmatrix} 1&z\\ 0&1 \end{bmatrix}, \qquad \text{並聯 }Y=\frac{1}{z}: \begin{bmatrix} 1&0\\ \dfrac{1}{z}&1 \end{bmatrix}.

一、圖二(a)

圖二(a)為「串聯 z1z_1、並聯 C3C_3、串聯 z2z_2」，故

[ABCD]a=[1z101][101z31][1z201].\begin{bmatrix} A&B\\C&D \end{bmatrix}_{a} = \begin{bmatrix} 1&z_1\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ \dfrac{1}{z_3}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&z_2\\ 0&1 \end{bmatrix}.

相乘得

Aa=1+z1z3,A_a=1+\frac{z_1}{z_3}, Ba=z1+z2+z1z2z3,B_a=z_1+z_2+\frac{z_1z_2}{z_3}, Ca=1z3,C_a=\frac{1}{z_3}, Da=1+z2z3.D_a=1+\frac{z_2}{z_3}.

二、圖二(b)

圖二(b)為「輸入端並聯 CbC_b、串聯 zaz_a、輸出端並聯 CnC_n」，因此

[ABCD]b=[101zb1][1za01][101zn1].\begin{bmatrix} A&B\\C&D \end{bmatrix}_{b} = \begin{bmatrix} 1&0\\ \dfrac{1}{z_b}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&z_a\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ \dfrac{1}{z_n}&1 \end{bmatrix}.

相乘得

Ab=1+zazn,A_b=1+\frac{z_a}{z_n}, Bb=za,B_b=z_a, Cb=1zb+1zn+zazbzn,C_b=\frac{1}{z_b}+\frac{1}{z_n} +\frac{z_a}{z_bz_n}, Db=1+zazb.D_b=1+\frac{z_a}{z_b}.

要使任意 ZLZ_L 下的輸入阻抗均相等，令兩組 ABCD 參數相等。由 AA、DD 得

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第 三 題20 分

圖三 MOSFET 無 body effect，Vtn=1 VV_{tn}=1\,\mathrm{V}、VA=∞V_A=\infty、ro=∞r_o=\infty、RD=5RS=10 kΩR_D=5R_S=10\,\mathrm{k}\Omega、R1=5 MΩR_1=5\,\mathrm{M}\Omega、R2=3 MΩR_2=3\,\mathrm{M}\Omega，偏壓電流 ID=0.5 mAI_D=0.5\,\mathrm{mA}。

先確認電晶體之工作區，再求算小訊號電壓放大倍率 Av1=vo1/viA_{v1}=v_{o1}/v_i 與 Av2=vo2/viA_{v2}=v_{o2}/v_i。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖三 MOSFET 電路】

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核心觀念

本題考查 MOSFET 的：

  • 分壓偏壓與直流工作區判斷
  • 飽和區條件
  • 小訊號跨導 gmg_m
  • 含源極電阻 RSR_S 的共源放大器
  • 漏極輸出與源極輸出的電壓增益

已知 VA=∞V_A=\infty、ro=∞r_o=\infty，因此忽略通道長度調變與 ror_o 效應。圖中電容標示 ∞\infty，於中頻小訊號分析時視為短路。

一、直流工作點與工作區判斷

1. 閘極電壓

MOSFET 閘極電流近似為零，因此 R1R_1、R2R_2 形成分壓器：

VG=8(R2R1+R2)=8(35+3)=3 VV_G=8\left(\frac{R_2}{R_1+R_2}\right) =8\left(\frac{3}{5+3}\right) =3\ \mathrm{V}

2. 源極電壓

由

RD=10 kΩ,5RS=10 kΩR_D=10\ \mathrm{k}\Omega,\qquad 5R_S=10\ \mathrm{k}\Omega

可得

RS=2 kΩR_S=2\ \mathrm{k}\Omega

因此

VS=IDRS=(0.5 mA)(2 kΩ)=1 VV_S=I_D R_S =(0.5\ \mathrm{mA})(2\ \mathrm{k}\Omega) =1\ \mathrm{V}

3. VGSV_{GS} 與 VDSV_{DS}

VGS=VG−VS=3−1=2 VV_{GS}=V_G-V_S=3-1=2\ \mathrm{V} VDS=8−ID(RD+RS)V_{DS}=8-I_D(R_D+R_S) VDS=8−(0.5 mA)(10+2) kΩ=8−6=2 VV_{DS} =8-(0.5\ \mathrm{mA})(10+2)\ \mathrm{k}\Omega =8-6=2\ \mathrm{V}

4. 判斷工作區

NMOS 進入飽和區的條件為

VDS≥VGS−VtnV_{DS}\ge V_{GS}-V_{tn}

本題

VGS−Vtn=2−1=1 VV_{GS}-V_{tn}=2-1=1\ \mathrm{V}

而

VDS=2 V>1 VV_{DS}=2\ \mathrm{V}>1\ \mathrm{V}

所以電晶體工作於飽和區。

二、小訊號跨導

飽和區 MOSFET 的跨導為

gm=2IDVGS−Vtng_m=\frac{2I_D}{V_{GS}-V_{tn}}

代入數值：

gm=2(0.5 mA)1 V=1 mSg_m =\frac{2(0.5\ \mathrm{mA})}{1\ \mathrm{V}} =1\ \mathrm{mS}

三、求 Av1=vo1/viA_{v1}=v_{o1}/v_i

小訊號等效電路中，電源 +8 V+8\ \mathrm{V} 為交流接地，且 ro=∞r_o=\infty。由於源極電阻未旁路，源極產生退化作用。

閘極電壓為

vg=viv_g=v_i

源極電壓為

vs=idRSv_s=i_dR_S

而

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第 四 題20 分

圖四串並回授放大器之回授網路由 RF=24 kΩR_F=24\,\mathrm{k}\Omega 與 Ra=1 kΩR_a=1\,\mathrm{k}\Omega 構成。

gm1=4 mA/Vg_{m1}=4\,\mathrm{mA/V}，gm3=5.9 mA/Vg_{m3}=5.9\,\mathrm{mA/V}，Av2=−25 V/VA_{v2}=-25\,\mathrm{V/V}，Ri1=6 kΩR_{i1}=6\,\mathrm{k}\Omega，Ri3=10 kΩR_{i3}=10\,\mathrm{k}\Omega，Ro1=300 kΩR_{o1}=300\,\mathrm{k}\Omega，Ro2=40 kΩR_{o2}=40\,\mathrm{k}\Omega，Rb=5 kΩR_b=5\,\mathrm{k}\Omega。

以回授理論分析此電路，先建立沒有回授的基本放大器，其電壓增益為 Av=vo/viA_v=v_o/v_i，此 AvA_v 包含回授網路的負載效應。畫出基本放大器 AvA_v 在輸入端與輸出端所看到的回路，並據以求算 AvA_v 與完整串並回授放大器之增益 Avf=vo/viA_{vf}=v_o/v_i。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖四串並回授放大器電路】

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核心觀念

本題考查串聯–並聯回授放大器：

  • 輸入端為串聯混合，故 vi1=vi−vfv_{i1}=v_i-v_f
  • 輸出端為並聯取樣，回授電壓由輸出端經 RF、RaR_F、R_a 回送。
  • 基本放大器增益須包含回授網路對輸入、輸出端造成的負載效應。
  • 回授後增益可用 Avf=Av1+AvβA_{vf}=\frac{A_v}{1+A_v\beta} 或直接列節點方程式求得。

一、基本放大器的輸入端與輸出端負載

令 xx 為 Ri1R_{i1}、RaR_a、RFR_F 的交點。

在求基本放大器時，回授網路仍保留其負載效應。

輸入端由 Ri1R_{i1} 與 RaR_a 所形成負載，輸出端則看到

RL=Rb∥(RF+Ra)R_L=R_b\parallel(R_F+R_a)

因此

RL=5 kΩ∥25 kΩ=4.1667 kΩR_L=5\,\text{k}\Omega\parallel25\,\text{k}\Omega =4.1667\,\text{k}\Omega

二、基本放大器增益

第一級為跨導級：

vi2vi1=−gm1Ro1=−(4 mA/V)(300 kΩ)=−1200\frac{v_{i2}}{v_{i1}} =-g_{m1}R_{o1} =-(4\,\text{mA/V})(300\,\text{k}\Omega) =-1200

第二級為電壓放大器，因 Ro2R_{o2} 與 Ri3R_{i3} 形成分壓：

vi3vi2=Av2Ri3Ro2+Ri3\frac{v_{i3}}{v_{i2}} =A_{v2}\frac{R_{i3}}{R_{o2}+R_{i3}} =(−25)1040+10=−5=(-25)\frac{10}{40+10} =-5

第三級為跨導輸出級：

vovi3=−gm3RL=−(5.9 mA/V)(4.1667 kΩ)=−24.583\frac{v_o}{v_{i3}} =-g_{m3}R_L =-(5.9\,\text{mA/V})(4.1667\,\text{k}\Omega) =-24.583

所以由誤差電壓 vi1v_{i1} 至輸出端的基本放大器增益為

Av(0)=vovi1=(−1200)(−5)(−24.583)=−1.475×105A_v^{(0)} =\frac{v_o}{v_{i1}} =(-1200)(-5)(-24.583) =-1.475\times10^5

三、回授因子與輸入負載

求回授因子時，輸入端的電壓源設為零，因此 Ri1R_{i1} 與 RaR_a 並聯：

Ri1∥Ra=6 kΩ∥1 kΩ=0.8571 kΩR_{i1}\parallel R_a =6\,\text{k}\Omega\parallel1\,\text{k}\Omega =0.8571\,\text{k}\Omega

輸出端經 RFR_F 回授至節點 xx，故

β=vfvo=Ri1∥RaRF+(Ri1∥Ra)\beta =\frac{v_f}{v_o} =\frac{R_{i1}\parallel R_a} {R_F+(R_{i1}\parallel R_a)} β=0.857124+0.8571=129=0.03448\beta =\frac{0.8571}{24+0.8571} =\frac1{29} =0.03448

此外，輸入源 viv_i 至誤差電壓的比例為

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第 五 題20 分

2×12\times 1 多工器（multiplexer）邏輯閘電路如圖五(a)，系統方塊圖如圖五(b)。

(一) 寫出圖五(a)電路輸出 YY 布林代數式，以 A0A_0、A1A_1 與 S0S_0 表示。

(二) 以導線連結數個圖五(b)方塊，輸入訊號分別為輸入訊號 1 及輸入訊號 2，選擇線之訊號為選擇訊號 1，設計並畫出一個 4×14\times 1 多工器，輸入訊號為 A0A_0、A1A_1、A2A_2、A3A_3，選擇訊號為 S0S_0、S1S_1，輸出為 YY。當 S0S1=00、01、10、11S_0S_1=00、01、10、11 時，YY 分別為 A0A_0、A1A_1、A2A_2、A3A_3，並以 4×14\times 1 多工器輸出 YY 之布林代數式驗證所設計電路的正確性。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷：圖五(a)為 2×12\times 1 多工器邏輯閘電路；圖五(b)為 2×12\times 1 MUX 系統方塊圖】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

2×12\times1 多工器的功能是由選擇訊號 S0S_0 決定兩個輸入中哪一個送至輸出：

  • S0=0S_0=0：輸出輸入訊號 1
  • S0=1S_0=1：輸出輸入訊號 2

因此，2×12\times1 MUX 的一般布林式為

Y=I1S0‾+I2S0Y=I_1\overline{S_0}+I_2S_0

本題圖五(a)利用反相器、兩個 AND 閘及一個 OR 閘完成此功能。

解題方法

（一）圖五(a）的輸出布林式

由圖可知：

  • 上方 AND 閘的輸入為 A0A_0 與 S0‾\overline{S_0}
  • 下方 AND 閘的輸入為 A1A_1 與 S0S_0
  • 兩個 AND 閘輸出再經 OR 閘相加

因此：

Y=A0S0‾+A1S0Y=A_0\overline{S_0}+A_1S_0

驗證選擇功能：

當 S0=0S_0=0 時，

Y=A0(1)+A1(0)=A0Y=A_0(1)+A_1(0)=A_0

當 S0=1S_0=1 時，

Y=A0(0)+A1(1)=A1Y=A_0(0)+A_1(1)=A_1

所以圖五(a)確實是以 S0S_0 作為選擇線的 2×12\times1 多工器。

（二）以 2×12\times1 MUX 組成 4×14\times1 MUX

1. 第一層連接

使用兩個 2×12\times1 MUX：

  • 第 1 個 MUX：輸入訊號 1 接 A0A_0，輸入訊號 2 接 A1A_1，選擇訊號 1 接 S0S_0，輸出設為 X0X_0
  • 第 2 個 MUX：輸入訊號 1 接 A2A_2，輸入訊號 2 接 A3A_3，選擇訊號 1 接 S0S_0，輸出設為 X1X_1

故：

X0=A0S0‾+A1S0X_0=A_0\overline{S_0}+A_1S_0 X1=A2S0‾+A3S0X_1=A_2\overline{S_0}+A_3S_0

2. 第二層連接

再使用第 3 個 2×12\times1 MUX：

  • 輸入訊號 1 接 X0X_0
  • 輸入訊號 2 接 X1X_1
  • 選擇訊號 1 接 S1S_1
  • 輸出為 YY

連接示意如下：

A0,A1→ S0 X0A2,A3→ S0 X1X0,X1→ S1 Y\begin{array}{ccc} A_0,A_1 & \xrightarrow{\ S_0\ } & X_0\\ A_2,A_3 & \xrightarrow{\ S_0\ } & X_1\\ X_0,X_1 & \xrightarrow{\ S_1\ } & Y \end{array}

亦可表示為：

X0=MUX(A0,A1;S0)X1=MUX(A2,A3;S0)Y=MUX(X0,X1;S1)\boxed{ \begin{aligned} X_0&=\text{MUX}(A_0,A_1;S_0)\\ X_1&=\text{MUX}(A_2,A_3;S_0)\\ Y&=\text{MUX}(X_0,X_1;S_1) \end{aligned} }

3. 輸出布林式

由最後一級 2×12\times1 MUX：

Y=X0S1‾+X1S1Y=X_0\overline{S_1}+X_1S_1
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電子科學組《電子學與電路學》其他年度

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