115 調查局特考三等 電子科學組 電子學與電路學 考古題詳解

核心觀念

本題考查雙埠網路的阻抗參數 $[Z]$。其定義為

$$\begin{bmatrix} V_1\\ V_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z_{11} & z_{12}\\ z_{21} & z_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_1\\ I_2 \end{bmatrix}.$$

各阻抗參數可由開路條件定義：

$$z_{11}=\left.\frac{V_1}{I_1}\right|_{I_2=0}, \qquad z_{21}=\left.\frac{V_2}{I_1}\right|_{I_2=0},$$ $$z_{12}=\left.\frac{V_1}{I_2}\right|_{I_1=0}, \qquad z_{22}=\left.\frac{V_2}{I_2}\right|_{I_1=0}.$$

圖一（a）為由 $Y_a$、$Y_b$、$Y_c$ 組成的 $\pi$ 型雙埠網路，最直接的方法是先列出導納參數方程式，再將導納矩陣反矩陣化為阻抗矩陣。

解題方法與推導

由節點電壓 $V_1$、$V_2$ 分析端口電流。

端口 $1$ 的流入電流為

$$I_1=Y_aV_1+Y_b(V_1-V_2),$$

整理得

$$I_1=(Y_a+Y_b)V_1-Y_bV_2.$$

端口 $2$ 的流入電流為

$$I_2=Y_cV_2+Y_b(V_2-V_1),$$

整理得

$$I_2=-Y_bV_1+(Y_b+Y_c)V_2.$$

因此

$$\begin{bmatrix} I_1\\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Y_a+Y_b & -Y_b\\ -Y_b & Y_b+Y_c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\ V_2 \end{bmatrix}.$$

令導納矩陣為 $[Y]$，則

$$[Z]=[Y]^{-1}.$$

其行列式為

$$\Delta =(Y_a+Y_b)(Y_b+Y_c)-(-Y_b)(-Y_b).$$

化簡：

$$\Delta =Y_aY_b+Y_aY_c+Y_bY_c+Y_b^2-Y_b^2,$$

故

核心觀念

本題考查具有有限輸入電阻 $R_i$、零輸出電阻 $R_o$ 及有限頻率響應的反相放大器。

已知開路增益定義為

$$A_v=-\frac{v_o}{v_i} =\frac{A_{vo}}{1+j\frac{f}{f_o}}$$

因此

$$v_o=-A_v v_i$$

由於非反相端接地，輸入電阻 $R_i$ 會形成由反相端節點至地的電流路徑，不可忽略。

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解題方法

令反相端節點電壓為 $v_i$，對該節點套用 KCL：

$$\frac{v_s-v_i}{R} = \frac{v_i-v_o}{R_f} + \frac{v_i}{R_i}$$

整理得

$$\frac{v_s}{R}+\frac{v_o}{R_f} = v_i\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{R_f}+\frac{1}{R_i} \right)$$

又因為

$$v_o=-A_vv_i$$

代入後：

$$\frac{v_s}{R} = v_i\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{R_f}+\frac{1}{R_i} +\frac{A_v}{R_f} \right)$$

所以閉路增益為

$$A_{vf}=\frac{v_o}{v_s} = -\frac{\dfrac{A_v}{R}} {\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{R_f}+\dfrac{1}{R_i} +\dfrac{A_v}{R_f}}$$

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求低頻閉路增益 $A_{vfo}$

低頻時 $f=0$，故

$$A_v=A_{vo}=100$$

代入

$$R=1\,\mathrm{k}\Omega,\qquad R_f=11\,\mathrm{k}\Omega,\qquad R_i=22\,\mathrm{k}\Omega$$

先計算：

$$\frac{1}{R}+\frac{1}{R_f}+\frac{1}{R_i} = \frac{1}{1\,\mathrm{k}\Omega} +\frac{1}{11\,\mathrm{k}\Omega} +\frac{1}{22\,\mathrm{k}\Omega} = \frac{25}{22}\frac{1}{\mathrm{k}\Omega}$$

且

核心觀念

本題考查：

1. BJT 混合 $\pi$ 小信號模型。
2. 由

$$g_m=\frac{\beta}{r_\pi}$$

求跨導。 3. 利用交流小信號等效電路分析兩個集極節點。 4. 串聯 $C$ 與 $R$ 的阻抗：

$$Z_{CR}=R+\frac{1}{sC}$$

以及其導納：

$$Y_{CR}=\frac{1}{Z_{CR}}=\frac{sC}{1+sRC}.$$

由圖可知，左側 BJT 的射極接至右側 BJT 的基極；輸入電壓加在左側 BJT 基極與右側 BJT 射極之間；輸出為兩集極電壓差：

$$v_o=v_{c1}-v_{c2}.$$

忽略 $C_\pi$、$C_\mu$，且 $r_o\to\infty$。

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解題方法

1. 求 BJT 小信號參數

由題目給定：

$$\beta=24,\qquad r_\pi=1\,\text{k}\Omega$$

因此

$$g_m=\frac{\beta}{r_\pi} =\frac{24}{1\,\text{k}\Omega} =24\,\text{mS}.$$

令左側 BJT 射極、右側 BJT 基極的交流電壓為 $v_x$，並令輸入負端及右側 BJT 射極為交流接地。

左側 BJT 的

$$v_{\pi 1}=v_i-v_x,$$

右側 BJT 的

$$v_{\pi 2}=v_x.$$

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2. 求中間節點電壓 $v_x$

在節點 $v_x$ 寫 KCL。

流經 $R_E$ 的電流為

$$\frac{v_x}{R_E}.$$

流入右側 BJT 基極的電流為

$$\frac{v_x}{r_\pi}.$$

左側 BJT 射極所提供的電流為

$$(\beta+1)\frac{v_i-v_x}{r_\pi}.$$

因此：

$$\frac{v_x}{R_E} +\frac{v_x}{r_\pi} =(\beta+1)\frac{v_i-v_x}{r_\pi}.$$

整理得：

$$\left(\frac{r_\pi}{R_E}+\beta+2\right)v_x =(\beta+1)v_i.$$

故

$$\frac{v_x}{v_i} = \frac{\beta+1} {\dfrac{r_\pi}{R_E}+\beta+2}.$$

令

$$k\equiv \frac{v_x}{v_i} = \frac{\beta+1} {\dfrac{r_\pi}{R_E}+\beta+2}.$$

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3. 寫出兩個集極節點方程式

串聯 $C$、$R$ 支路的導納為

$$Y(s)=\frac{sC}{1+sRC}.$$

左側集極 KCL：

$$\frac{v_{c1}}{R_C} +Y(s)(v_{c1}-v_{c2}) +g_m(v_i-v_x)=0.$$

右側集極 KCL：

$$\frac{v_{c2}}{R_C} +Y(s)(v_{c2}-v_{c1}) +g_m v_x=0.$$

兩式相減，並利用

$$v_o=v_{c1}-v_{c2},$$

可得

$$\left(\frac{1}{R_C}+2Y(s)\right)v_o +g_m(v_i-2v_x)=0.$$

因此

$$A_v(s)=\frac{v_o(s)}{v_i(s)} = -\frac{g_m\left(1-2\dfrac{v_x}{v_i}\right)} {\dfrac{1}{R_C}+2Y(s)}.$$

代入 $Y(s)$：

$$A_v(s)= -\frac{g_m(1-2k)} {\dfrac{1}{R_C}+\dfrac{2sC}{1+sRC}}.$$

整理為標準形式：

$$\boxed{ A_v(s)= -g_m(1-2k)R_C \frac{1+sRC} {1+sC(R+2R_C)} }$$

其中

$$\boxed{ k= \frac{\beta+1} {\dfrac{r_\pi}{R_E}+\beta+2} }.$$

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數值計算

1. 計算 $k$

$$\frac{r_\pi}{R_E} = \frac{1000}{700} =1.4286$$

所以

$$k= \frac{25}{1.4286+24+2} = \frac{25}{27.4286} \approx 0.9115.$$

核心觀念

本題考查半加法器的邏輯功能，以及只使用雙輸入 NAND 閘實現邏輯電路。

半加法器有兩個輸入 $A、B$：

• 和位 $S$：兩輸入不同時為 $1$
• 進位 $C$：兩輸入同時為 $1$ 時為 $1$

NAND 閘的基本定義為：

$$X \operatorname{NAND} Y=\overline{XY}$$

利用 NAND 閘可組合出 NOT、AND、OR 及 XOR 等邏輯功能。

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解題方法：由真值表寫出布林式

由真值表可知，進位 $C$ 只有在 $A=B=1$ 時為 $1$，因此：

$$C=AB$$

和位 $S$ 在 $A、B$ 不同時為 $1$，因此：

$$S=A\oplus B$$

其和項表示為：

$$S=\overline{A}B+A\overline{B}$$

所以半加法器的布林數學式為：

$$\boxed{C=AB}$$ $$\boxed{S=A\oplus B=\overline{A}B+A\overline{B}}$$

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只用 NAND 閘實現進位 $C$

先以一個 NAND 閘產生：

$$N_1=\overline{AB}$$

再將 $N_1$ 同時接至另一個 NAND 閘的兩個輸入端，作為反相器：

$$C=N_1\operatorname{NAND}N_1 =\overline{N_1N_1} =\overline{N_1} =AB$$

因此：

$$\boxed{C=(A\operatorname{NAND}B)\operatorname{NAND}(A\operatorname{NAND}B)}$$

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只用 NAND 閘實現和位 $S$

先定義第一個 NAND 閘輸出：

$$N_1=A\operatorname{NAND}B=\overline{AB}$$

接著分別產生：

$$N_2=A\operatorname{NAND}N_1 =\overline{A\overline{AB}}$$ $$N_3=B\operatorname{NAND}N_1 =\overline{B\overline{AB}}$$

最後將 $N_2、N_3$ 輸入第四個 NAND 閘：

$$S=N_2\operatorname{NAND}N_3 =\overline{N_2N_3}$$

代入 $N_2、N_3$：

$$S= \overline{ \overline{A\overline{AB}}\, \overline{B\overline{AB}} }$$

依德摩根定律：

$$S=A\overline{AB}+B\overline{AB}$$

核心觀念

本題考查一階、二階暫態電路的分析，重點包括：

• 電感電流不能突變：$i_L(0^+)=i_L(0^-)$。
• 電容電壓不能突變：$v_C(0^+)=v_C(0^-)$。
• $s$ 域阻抗： $Z_L=sL,\qquad Z_C=\frac{1}{sC}$
• 以阻抗分壓求傳遞函數，再配合初始條件求完整響應。

圖中左側為 $R$ 與 $L$ 並聯，右側為 $R$ 與 $C$ 並聯。

解題方法

令輸入電壓為 $v_s(t)$，輸出為電容電壓 $v_C(t)$。

一、求初始條件

在 $t<0$，開關接於 $1\ \mathrm{V}$ 直流電源且已久：

• 電感於直流穩態視為短路。
• 電容於直流穩態視為開路。

因此

$$v_C(0^-)=1\ \mathrm{V}$$

左側並聯的電感短路，負載電阻為 $R=40\ \Omega$，故電感電流為

$$i_L(0^-)=\frac{1}{40}=0.025\ \mathrm{A}$$

由連續性條件：

$$v_C(0^+)=1\ \mathrm{V}$$ $$i_L(0^+)=0.025\ \mathrm{A}$$

在 $t=0^+$，交流源電壓為

$$v_s(0^+)=\sin 0=0$$

左側節點電壓為 $0$，故流入右側並聯 $RC$ 網路的電流為

$$i(0^+)=i_L(0^+)+\frac{0-v_C(0^+)}{R}$$ $$i(0^+)=0.025-\frac{1}{40}=0$$

對右側節點套用 KCL：

$$i(t)=\frac{v_C(t)}{R}+C\frac{dv_C(t)}{dt}$$

代入 $t=0^+$：

$$0=\frac{1}{40}+2\times 10^{-6}\frac{dv_C(0^+)}{dt}$$

因此

$$\boxed{\frac{dv_C(0^+)}{dt}=-12500\ \mathrm{V/s}}$$

二、求傳遞函數

左側並聯 $RL$ 網路阻抗為

$$Z_1=R\parallel sL=\frac{RsL}{R+sL}$$

右側並聯 $RC$ 網路阻抗為

$$Z_2=R\parallel \frac{1}{sC} =\frac{R}{1+sRC}$$

由分壓關係：

$$H(s)=\frac{V_C(s)}{V_s(s)} =\frac{Z_2}{Z_1+Z_2}$$

整理得

$$H(s)=\frac{R+sL}{R+2sL+s^2LRC}$$

代入

$$R=40\ \Omega,\qquad L=5\times10^{-3}\ \mathrm{H}, \qquad C=2\times10^{-6}\ \mathrm{F}$$

其中

$$LRC=(5\times10^{-3})(40)(2\times10^{-6}) =4\times10^{-7}$$

所以

$$H(s)=\frac{0.005s+40}{4\times10^{-7}s^2+0.01s+40}$$

分母除以 $4\times10^{-7}$：