114 司法特考三等 心理測驗員類科 心理及教育統計學 考古題詳解

核心觀念

假設考驗以樣本資料推論母群體，結論可能和真實情況不一致，這種錯誤稱為「錯誤的決定」。關鍵是區分兩件事：母群體中的虛無假設 $H_0$ 實際為真或為假，以及研究者依樣本資料決定「拒絕」或「不拒絕」$H_0$。

此題考查決策錯誤的來源、第一類型錯誤（Type I error）與第二類型錯誤（Type II error）的定義，以及錯誤機率的意義。

（一）錯誤決定的可能原因

即使計算程序正確，假設考驗仍可能作出錯誤決定，原因在於統計推論是根據樣本推估母群體，樣本資訊不一定能完全呈現母群體的真實狀況。主要原因如下：

1. 抽樣誤差：不同樣本會有不同的抽樣結果；偶然抽到與母群體狀況不一致的樣本，可能導致錯誤結論。
2. 抽樣變異：統計量會隨樣本而改變。即使母群體參數固定，樣本統計量仍可能落在拒絕域或非拒絕域的不同位置。
3. 決策界線的限制：假設考驗以顯著水準與臨界值劃分拒絕域，因此真實狀況與考驗決定之間可能出現不一致。
4. 統計考驗力不足：當效果較小、樣本數不足或資料變異較大時，即使 $H_0$ 為假，樣本結果也可能不足以拒絕 $H_0$。

因此，正確完成計算只代表依照既定程序得到考驗結果，不代表樣本推論必然等於母群體的真實情況。

（二）第一類型錯誤

定義與發生原因

第一類型錯誤是指 $H_0$ 實際為真，卻因樣本結果落入拒絕域而拒絕 $H_0$。也就是把真實的虛無假設錯誤地判定為不成立。

這類錯誤會發生，是因為即使 $H_0$ 為真，抽樣變異仍可能使樣本統計量落入拒絕域。拒絕域是依顯著水準設定的，並不會完全排除樣本偶然落入其中的機會。

發生機率

第一類型錯誤的機率記為 $\alpha$，即顯著水準：

研究者在考驗前設定 $\alpha$，例如 $\alpha=.05$，表示在 $H_0$ 為真的條件下，採用該考驗程序時，約有 $5\%$ 的機率會拒絕真實的 $H_0$。

核心觀念

本題考查迴歸分析中預測變項的數量、標準化迴歸係數與零階相關的差異，以及違反迴歸假設時的後果。令效標變項為 $Y$，預測變項為 $X_1,\ldots,X_p$，多元迴歸模型可寫為：

其中 $b_j$ 是控制其他預測變項後，$X_j$ 對 $Y$ 的迴歸係數。若變項均標準化，截距為 $0$，標準化迴歸係數記為 $\beta_j$。

解題方法與作答

（一）簡單迴歸與多元迴歸的差異

**作答重點：**兩者都以線性模型預測效標變項；主要差異是預測變項數量，以及多元迴歸係數須解讀為控制其他預測變項後的效果。

（二）標準化迴歸係數為何常小於一般相關係數？

一般相關係數 $r_{X_jY}$ 是 $X_j$ 與 $Y$ 的零階相關，沒有控制其他變項；標準化迴歸係數 $\beta_j$ 則反映控制模型中其他預測變項後，$X_j$ 與 $Y$ 的獨特關係。

當預測變項彼此相關時，$X_j$ 與 $Y$ 的總相關中，包含了與其他預測變項重疊的部分。多元迴歸會把這部分共同解釋的變異分配給相關預測變項，故 $\beta_j$ 常比 $r_{X_jY}$ 小。

核心觀念

本題考查以簡單線性迴歸，使用心理師同理心 $X$ 預測病患滿意度 $Y$。最小平方法的迴歸直線為：

其中斜率與截距分別為：

解題方法

先計算兩變項的平均數：

整理各筆資料相對於平均數的偏差及乘積：

核心觀念與解題方法

本題要求說明五個統計名詞，作答時宜先給出精確定義，再補充其用途、常見指標或分析上的注意事項。五者分別涉及分配形狀、極端觀察值、研究設計、差異大小，以及變異數分析中的比較策略。

（一）峰度（kurtosis）

峰度是描述分配形狀的統計量，傳統上以第四階標準化中央動差表示：

其中 $\mu$ 為母平均數、$\sigma$ 為母標準差，$\mu_4$ 為第四階中央動差。常用的「超額峰度」為：

常態分配的超額峰度為 $0$。超額峰度大於 $0$ 稱為高狹峰（leptokurtic），小於 $0$ 稱為低闊峰（platykurtic）。

解讀峰度時，不能只把它理解為「分配中央有多尖」。因為公式中的偏差取四次方，峰度也會受到尾部觀察值影響，通常反映尾部厚薄及極端值的影響程度。不同統計軟體或教科書可能報告峰度 $\beta_2$，也可能報告超額峰度 $\gamma_2$，判讀前須確認採用哪一種定義。

**作答要點：**寫出峰度描述分配形狀，並區分峰度與超額峰度；常態分配的峰度為 $3$、超額峰度為 $0$。

（二）離群值（outliers）

離群值是相對於資料整體型態而言，明顯偏離其他觀察值的資料點。離群值可能來自輸入或測量錯誤，也可能是真實但少見的個案；僅因數值極端，不能直接認定它是錯誤資料或應予刪除。

常見的判別方式包括：

• **箱型圖的四分位距法：**令 $IQR=Q_3-Q_1$。低於 $Q_1-1.5IQR$ 或高於 $Q_3+1.5IQR$ 的觀察值，通常標示為離群值；超出 $3IQR$ 的界限常稱為極端離群值。
• **標準分數法：**以 $z=(x-\bar{x})/s$ 衡量觀察值距離平均數幾個標準差；例如 $|z|>3$ 常作為檢查線索，但不是普遍適用的硬性刪除標準。

離群值會拉動平均數、增加變異，並可能影響相關、迴歸及推論檢定。分析時應先核對資料與測量，再依研究目的評估其影響；可同時報告含離群值與排除離群值的結果，或採用穩健統計方法。

**作答要點：**定義偏離整體型態的觀察值，說明判別方法，並指出離群值不等於錯誤值，處理前須查明原因。

（三）重複量數設計（repeated-measures design）

重複量數設計是指同一受試者在兩個以上的時間點、條件或處理下接受測量。由於各條件下的觀察值來自同一人，分析時須考慮受試者內測量之間的相關性；這不同於各條件由不同受試者組成的獨立樣本設計。

例如，研究者測量同一批受試者接受治療前、治療後及追蹤時的焦慮分數，即為重複量數設計。它可控制個體穩定差異，常能提高檢定力；但須注意時間、順序或攜帶效應，以及受試者流失。若採單因子重複量數變異數分析，還須檢查球形假設；違反時可使用 Greenhouse–Geisser 等校正。

**作答要點：**抓住「同一受試者接受多次測量」及「觀察值彼此相關」兩個特徵，並補充其優點與主要限制。

（四）效果量（effect size）