115 司法特考三等 心理測驗員類科 心理及教育統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）的內容，以及其在推論統計中的理論基礎與實際功能。本題不涉及法條，故無「以命題當年（民國 115 年）法規為準」之適用問題。

中央極限定理的核心不是說「母體本身呈常態分配」，而是說：當樣本數充分大時，樣本平均數的抽樣分配會趨近於常態分配，即使原始母體分配不是常態分配。

設 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 為來自同一母體的隨機樣本，且各觀察值彼此獨立，滿足：

$$E(X_i)=\mu,\qquad Var(X_i)=\sigma^2<\infty,\qquad \sigma^2>0$$

樣本平均數為：

$$\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$$

則當 $n$ 逐漸增大時，

$$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \overset{d}{\longrightarrow}N(0,1)$$

其中 $\overset{d}{\longrightarrow}$ 表示「依分配收斂」。因此，當樣本數夠大時，可近似寫成：

$$\bar X\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

這表示：

• 樣本平均數的期望值為

$$E(\bar X)=\mu$$

• 樣本平均數的變異數為

$$Var(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}$$

• 樣本平均數的標準誤為

$$SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

若母體標準差 $\sigma$ 未知，則以樣本標準差 $s$ 估計，樣本平均數的標準誤估計為：

$$\widehat{SE}(\bar X)=\frac{s}{\sqrt n}$$

中央極限定理也可用總和的形式表示。令：

$$S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$$

則：

$$\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt n} \overset{d}{\longrightarrow}N(0,1)$$

因為：

$$E(S_n)=n\mu,\qquad Var(S_n)=n\sigma^2$$

所以當 $n$ 夠大時：

$$S_n\approx N(n\mu,n\sigma^2)$$

解題方法

本題適合採取「定理內容—成立條件—統計意義—推論應用」的架構作答。

一、先寫出定理的成立條件

完整答案應交代：

1. 觀察值來自同一母體。
2. 各觀察值彼此獨立，或至少符合足以套用中央極限定理的弱相依條件。
3. 母體平均數 $\mu$ 存在。
4. 母體變異數 $\sigma^2$ 為有限且大於零。
5. 樣本數 $n$ 充分大。

在基礎統計課程中，最標準的表述是「獨立同分配且具有有限平均數與有限變異數」。

二、說明標準化後的結果

中央極限定理的標準化公式為：

$$Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}$$

當 $n$ 充分大時：

$$Z\approx N(0,1)$$

這個公式說明樣本平均數與母體平均數的差距，經由標準誤 $\sigma/\sqrt n$ 標準化後，可以利用標準常態分配計算機率。

三、指出它描述的是「抽樣分配」

中央極限定理討論的是在同一母體中反覆抽取許多組樣本後，這些樣本平均數所形成的分配，而不是單一樣本內各個觀察值的分配。

若原始母體高度偏斜、具有厚尾，甚至呈離散分配，只要條件適當且樣本數足夠大，樣本平均數的分配仍會逐漸接近常態分配。

（一）中央極限定理的詳細內容

中央極限定理可完整表述如下：

若 $X_1,X_2,\ldots,X_n$ 為來自平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$ 的母體之獨立同分配隨機樣本，且 $\sigma^2$ 有限，則當 $n\to\infty$ 時，樣本平均數的標準化形式滿足：

$$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n} \overset{d}{\longrightarrow}N(0,1)$$

其統計意義包括以下四點。

1. 樣本平均數以母體平均數為中心

因為：

$$E(\bar X)=\mu$$

所以樣本平均數是母體平均數的無偏估計量。重複抽樣時，樣本平均數會以 $\mu$ 為中心分布。

2. 樣本數增加時，樣本平均數更加集中

由：

$$Var(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}$$

可知樣本數越大，樣本平均數的變異數越小，標準誤為：

$$SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

樣本數增加四倍，標準誤只會減少為原來的一半。因此增加樣本數可以提高估計精確度，但精確度的提升並非與樣本數呈線性增加。

3. 樣本平均數的形狀趨近常態

無論原始母體分配是否為常態，只要符合中央極限定理的條件，樣本平均數的抽樣分配在樣本數充分大時會接近常態分配：

$$\bar X\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

若母體本身就是常態分配，則不論 $n$ 大小，樣本平均數都精確服從常態分配：

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

這種情形是常態母體的性質，不是中央極限定理本身所要求的條件。

4. 可將不同母體的平均數問題轉換為標準常態問題

透過標準化：

$$Z=\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}$$

便能利用標準常態分配的臨界值與機率表，進行機率估計、信賴區間與假設檢定。

（二）中央極限定理在推論統計中的重要性與角色

1. 提供抽樣分配的理論基礎

推論統計的目的是根據樣本資料推論母體特徵，例如母體平均數、母體比例與母體差異。要進行推論，必須知道統計量在重複抽樣下的分配。

中央極限定理說明樣本平均數在大樣本下近似常態分配，因此可以建立其抽樣分配：

$$\bar X\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$

這使得研究者能夠量化樣本統計量的抽樣誤差。

核心觀念

本題考查 Pearson 積差相關係數 $r$ 的意義與限制。

Pearson 相關係數為：

$$r=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{s_Xs_Y}$$

其中，$\operatorname{Cov}(X,Y)$ 為共變異數，$s_X$、$s_Y$ 為兩變項的標準差。只要兩變項的標準差不為 $0$，則：

• $r=0$：表示兩變項沒有「線性相關」。
• $r>0$：表示具有正線性相關。
• $r<0$：表示具有負線性相關。
• $|r|$ 越接近 $1$：線性關聯越強。
• $|r|$ 越接近 $0$：線性關聯越弱。

最重要的區別是：

「沒有線性相關」不等於「完全沒有任何關係」； 「有相關」也不等於「具有因果關係」。

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解題方法

判斷本題時，應先確認「相關」的精確意義。Pearson 的 $r$ 只衡量兩變項之間的線性關聯，因此：

1. $r=0$ 只能確定沒有線性關聯，不能直接推論兩變項彼此獨立或完全無關。
2. $r\ne 0$ 表示資料中存在正向或負向的線性統計關聯，但不能推論其中一變項造成另一變項。

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（一）兩變項的相關 $r=0$，代表兩個變項一定無關。

判斷：錯

$r=0$ 只表示兩變項的線性共變異為零：

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$$

因此只能說兩變項「沒有線性相關」，不能說兩變項一定完全無關。

反例

令：

$$Y=X^2$$

且假設 $X$ 的分布以 $0$ 為中心，例如 $X$ 服從平均數為 $0$ 的對稱分布。

此時，$Y$ 完全由 $X$ 決定，因此兩者顯然存在明確關係；但是：

$$\operatorname{Cov}(X,Y) =\operatorname{Cov}(X,X^2) =E(X^3)-E(X)E(X^2)$$

由於 $X$ 為對稱分布：

$$E(X)=0,\qquad E(X^3)=0$$

所以：

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$$

進而：

$$r=0$$

然而，$Y=X^2$ 呈現的是一條 U 形的曲線關係。當 $X$ 越遠離 $0$ 時，$Y$ 越大，兩變項並非毫無關係，只是這種關係不是直線形式。

延伸說明

若兩變項彼此獨立，且相關係數存在，則一定有：

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$$

但是反過來不成立：

$$\operatorname{Cov}(X,Y)=0 \not\Rightarrow X,Y\text{ 獨立}$$

因此，「獨立」可以推出「不相關」，但「不相關」不能推出「獨立」。

核心觀念

本題考查含截距項之多元迴歸分析中的自由度、均方、估計標準誤，以及最小平方法殘差的基本性質。

已知：

• 樣本數：$n=100$
• 預測變項數：$k=5$
• 預測變項為 $X_1,\dots,X_5$
• 多元迴歸模型包含截距項

多元迴歸的自由度分配如下：

$$df_{\text{total}}=n-1$$ $$df_{\text{regression}}=k$$ $$df_{\text{error}}=n-k-1$$

且：

$$MSE=\frac{SSE}{df_{\text{error}}}$$

估計標準誤為：

$$s_e=\sqrt{MSE}$$

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解題方法與計算

（一）SSR 相對應的自由度

迴歸平方和 SSR 的自由度等於預測變項的個數：

$$df_{\text{regression}}=k=5$$

因此：

$$\boxed{df_{\text{SSR}}=5}$$

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（二）SSE 相對應的自由度

在含截距項的多元迴歸中，誤差自由度為：

$$df_{\text{error}}=n-k-1$$

代入題目資料：

$$df_{\text{error}}=100-5-1=94$$

因此：

$$\boxed{df_{\text{SSE}}=94}$$

其中扣除的 $1$ 是迴歸模型中的截距項。

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（三）MSE $=100$ 時，估計標準誤是多少？

估計標準誤的定義為：

$$s_e=\sqrt{MSE}$$

已知：

$$MSE=100$$

所以：

$$s_e=\sqrt{100}=10$$

因此：

$$\boxed{10}$$

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核心觀念

本題考查推論統計中的「估計」與「假設檢定」，核心包括：

1. 母群參數與樣本統計量的區別。
2. 點估計與區間估計的定義及關係。
3. 母群平均數信賴區間的建構要素。
4. 95% 信賴區間的正確解釋。
5. 信賴區間與雙尾假設檢定的對應關係。

本題屬統計原理題，無涉及法條；若涉及法規題，應以命題當年（民國 115 年）法規為準。

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（一）請說明點估計與區間估計

1. 點估計

點估計是以樣本資料計算出一個單一數值，作為母群參數的估計值。

例如：

• 以樣本平均數 $\bar X$ 估計母群平均數 $\mu$；
• 以樣本變異數 $S^2$ 估計母群變異數 $\sigma^2$；
• 以樣本比例 $\hat p$ 估計母群比例 $p$。

其中，用來估計母群參數的樣本統計量稱為「估計量」，估計量實際算出的數值稱為「估計值」。

例如，若抽取樣本後得到 $\bar X=72$，則：

• $\bar X$ 是估計 $\mu$ 的估計量；
• $72$ 是本次樣本所得的點估計值。

點估計的優點是簡潔，缺點是只提供單一數值，無法直接表達抽樣誤差與估計的不確定性。

2. 區間估計

區間估計是根據樣本資料，建立一個包含母群參數的數值範圍，並附上信賴程度。

一般形式為：

$$\text{點估計值}\pm\text{誤差界限}$$

以母群平均數為例，95% 信賴區間通常寫作：

$$\bar X\pm \text{臨界值}\times \text{標準誤}$$

區間估計不只提供一個估計中心，也提供估計值的可能範圍，因此能反映抽樣誤差與估計精確度。

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（二）點估計跟區間估計有什麼關係？

點估計是區間估計的中心，區間估計則是在點估計的基礎上，加入抽樣誤差所形成的範圍。

以母群平均數為例：

$$\text{信賴區間} = \bar X\pm\text{誤差界限}$$

其中：

• $\bar X$ 是母群平均數 $\mu$ 的點估計；
• 誤差界限反映抽樣誤差；
• 信賴區間以 $\bar X$ 為中心，向左右延伸。

若母群標準差已知，95% 信賴區間為：

$$\bar X\pm z_{.025}\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

因為 $z_{.025}=1.96$，所以：

$$\bar X\pm 1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

若母群標準差未知，通常以樣本標準差 $S$ 估計，使用 $t$ 分配：

$$\bar X\pm t_{.025,n-1}\frac{S}{\sqrt n}$$

因此，點估計回答「最佳的單一估計值是多少」，區間估計回答「考量抽樣誤差後，母群參數大致落在哪個範圍」。

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（三）計算母群平均數的 95% 信賴區間，需要哪些資訊？

建構母群平均數的 95% 信賴區間，主要需要下列資訊：

1. 樣本平均數 $\bar X$

樣本平均數是母群平均數 $\mu$ 的點估計，也是信賴區間的中心。

$$\bar X=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}$$

2. 樣本數 $n$

樣本數會影響標準誤：

$$SE=\frac{\sigma}{\sqrt n} \quad\text{或}\quad SE=\frac{S}{\sqrt n}$$

樣本數越大，標準誤越小，信賴區間通常越窄。

3. 母群標準差或樣本標準差

須知道母群標準差 $\sigma$ 是否已知：

• $\sigma$ 已知：使用標準常態分配；
• $\sigma$ 未知：通常使用樣本標準差 $S$，並使用 $t$ 分配。

4. 臨界值

95% 信賴區間表示：

$$1-\alpha=0.95$$

因此：

$$\alpha=0.05$$

雙尾信賴區間將 $\alpha$ 分配在左右兩端：

$$\frac{\alpha}{2}=0.025$$

若使用標準常態分配，臨界值為：

$$z_{.025}=1.96$$

若使用 $t$ 分配，臨界值為：

$$t_{.025,n-1}$$

其數值須依自由度 $n-1$ 查表。

5. 適用的抽樣與分配條件

通常還需具備下列條件：

• 樣本具隨機性；
• 各觀察值彼此獨立；
• 母群為常態分配，或在大樣本下依中央極限定理近似常態；
• 使用的標準誤與臨界值符合母群標準差是否已知的情形。

6. 信賴區間公式

母群標準差 $\sigma$ 已知

$$CI_{95\%} = \bar X\pm 1.96\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

母群標準差 $\sigma$ 未知

$$CI_{95\%} = \bar X\pm t_{.025,n-1}\frac{S}{\sqrt n}$$

因此，完整建構信賴區間所需的核心資訊是：

$$\bar X,\quad n,\quad \sigma\text{ 或 }S,\quad \text{臨界值及其分配}$$

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