113 司法特考三等 檢察事務官類科營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

113 年・司法特考・三等・檢察事務官類科營繕工程組
試題代碼 結構分析（包括材料力學與結構學）

第 一 題25 分

如圖所示桿件，aa 點及 cc 點為固定端，bb 點承受軸向水平載重 P=280 kNP=280\,\mathrm{kN}。

abab 桿件及 bcbc 桿件有相同斷面積 A=2000 mm2A=2000\,\mathrm{mm^2}，abab 桿件及 bcbc 桿件材料之彈性模數分別是 E1=120 GPaE_1=120\,\mathrm{GPa}、E2=200 GPaE_2=200\,\mathrm{GPa}。

求：

(一) bb 點軸向位移。

(二) bcbc 桿件軸力、軸向應力及軸向應變。

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核心觀念

本題為兩段不同材料、不同長度之軸向桿件，兩端 a,ca,c 固定，bb 點受水平力作用。主要考查：

  • 軸向桿件剛度： k=AELk=\frac{AE}{L}
  • bb 點位移相同，兩桿件共同抵抗外力。
  • 節點力平衡： P=Nab+NbcP=N_{ab}+N_{bc}
  • 軸向應力與應變： σ=NA,ε=σE\sigma=\frac{N}{A},\qquad \varepsilon=\frac{\sigma}{E}

取拉力為正，向右位移為正。

解題方法

由圖得：

Lab=3 m=3000 mmL_{ab}=3\,\text{m}=3000\,\text{mm}

Lbc=2 m=2000 mmL_{bc}=2\,\text{m}=2000\,\text{mm}

A=2000 mm2A=2000\,\text{mm}^2

E1=120 GPa=120000 N/mm2E_1=120\,\text{GPa}=120000\,\text{N/mm}^2

E2=200 GPa=200000 N/mm2E_2=200\,\text{GPa}=200000\,\text{N/mm}^2

兩桿件在 bb 點的位移相同，因此可視為兩個軸向彈簧共同承受載重。

1. 兩桿件軸向剛度

對 abab 桿件：

kab=AE1Lab=(2000)(120000)3000=80000 N/mmk_{ab}=\frac{AE_1}{L_{ab}} =\frac{(2000)(120000)}{3000} =80000\,\text{N/mm}

對 bcbc 桿件：

kbc=AE2Lbc=(2000)(200000)2000=200000 N/mmk_{bc}=\frac{AE_2}{L_{bc}} =\frac{(2000)(200000)}{2000} =200000\,\text{N/mm}

2. bb 點軸向位移

bb 點受力向右時，abab 桿件受拉、bcbc 桿件受壓，兩者皆對 bb 點提供向左的抵抗力。

節點平衡為：

P=(kab+kbc)ubP=(k_{ab}+k_{bc})u_b

因此：

ub=Pkab+kbcu_b=\frac{P}{k_{ab}+k_{bc}}

ub=28000080000+200000=1.00 mmu_b=\frac{280000}{80000+200000} =1.00\,\text{mm}

所以 bb 點向右位移 1.00 mm1.00\,\text{mm}。

3. bcbc 桿件軸力

Nbc=kbcubN_{bc}=k_{bc}u_b

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第 二 題25 分

如圖所示矩形斷面簡支梁，斷面寬度 b=12 cmb=12\,\mathrm{cm}，斷面深度 h=40 cmh=40\,\mathrm{cm}，承受垂直載重 P=640 kNP=640\,\mathrm{kN}。

求：

(一) 簡支梁在 ABAB 斷面的彎矩及剪力。

(二) AA 點及 BB 點的正向應力 σx\sigma_x 及剪應力 τxy\tau_{xy}。

提示：

σ=MyI\sigma=\frac{My}{I} τ=VQIb\tau=\frac{VQ}{Ib} I=bh312I=\frac{bh^3}{12} Q=b2(h24−y2)Q=\frac{b}{2}\left(\frac{h^2}{4}-y^2\right)

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核心觀念

本題考查簡支梁的：

  1. 支承反力。
  2. 指定截面的內力：彎矩 MM 與剪力 VV。
  3. 矩形梁截面的彎曲正應力：

σx=−MyI\sigma_x=-\frac{My}{I}

  1. 矩形梁截面的剪應力：

τxy=VQIb\tau_{xy}=\frac{VQ}{Ib}

圖中梁長為 5 m5\,\mathrm{m}，載重 PP 位於左支承右方 2.5 m2.5\,\mathrm{m} 處；ABAB 截面位於左支承右方 3.0 m3.0\,\mathrm{m} 處。AA 點在底部，BB 點距離頂面 10 cm10\,\mathrm{cm}。

一、支承反力

設左、右支承反力分別為 RLR_L、RRR_R。

由鉛直力平衡：

RL+RR=640R_L+R_R=640

取左支承點力矩：

RR(5)−640(2.5)=0R_R(5)-640(2.5)=0

因此：

RR=320 kNR_R=320\,\mathrm{kN} RL=640−320=320 kNR_L=640-320=320\,\mathrm{kN}

二、ABAB 截面的彎矩與剪力

ABAB 截面位於載重右側 0.5 m0.5\,\mathrm{m} 處。

1. 彎矩

取左側梁段：

MAB=RL(3.0)−P(0.5)M_{AB}=R_L(3.0)-P(0.5) MAB=320(3.0)−640(0.5)M_{AB}=320(3.0)-640(0.5) MAB=640 kN⋅m\boxed{M_{AB}=640\,\mathrm{kN\cdot m}}

此為正彎矩，即下緣受拉、上緣受壓。

2. 剪力

以左截面向上為正：

VAB=RL−PV_{AB}=R_L-P VAB=320−640=−320 kNV_{AB}=320-640=-320\,\mathrm{kN}

因此：

VAB=−320 kN\boxed{V_{AB}=-320\,\mathrm{kN}}

剪力的大小為：

∣VAB∣=320 kN\boxed{|V_{AB}|=320\,\mathrm{kN}}

三、截面慣性矩

採用 SI 單位：

b=12 cm=0.12 mb=12\,\mathrm{cm}=0.12\,\mathrm{m} h=40 cm=0.40 mh=40\,\mathrm{cm}=0.40\,\mathrm{m}

矩形截面對中性軸的慣性矩為：

I=bh312I=\frac{bh^3}{12} I=(0.12)(0.40)312=0.00064 m4I=\frac{(0.12)(0.40)^3}{12} =0.00064\,\mathrm{m^4}

四、AA 點應力

1. AA 點的正向應力

中性軸位於截面中央，因此：

yA=−h2=−0.20 my_A=-\frac{h}{2}=-0.20\,\mathrm{m}

採正彎矩下緣受拉的慣例：

σx,A=−MyAI\sigma_{x,A}=-\frac{M y_A}{I} σx,A=−(640×103)(−0.20)0.00064\sigma_{x,A} =-\frac{(640\times10^3)(-0.20)}{0.00064} σx,A=200 MPa\boxed{\sigma_{x,A}=200\,\mathrm{MPa}}

AA 點為拉應力。

2. AA 點的剪應力

AA 點位於矩形截面的最外下緣，該處剪應力為零：

τxy,A=0\boxed{\tau_{xy,A}=0}
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第 三 題25 分

如圖示靜定結構，除彈簧外，不考慮桿件的軸向變形，aa 點為滾支承，dd 點為鉸支承，cc 點為鉸接。

各桿件都有相同之彈性模數 EE 值與慣性矩 II 值，且 EI=25000 kN⋅m2EI=25000\,\mathrm{kN\cdot m^2}，彈簧係數 k=4800 kN/mk=4800\,\mathrm{kN/m}。

求：

(一) 彈簧內力。

(二) dd 點鉸支承水平方向及垂直方向反力。

(三) bb 點桿件斷面彎矩。

(四) aa 點及 bb 點的水平位移。

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核心觀念

本題為含水平彈簧之靜定剛架，採「力法＋單位荷重法」分析。除彈簧外不計軸向變形，因此：

  • 橫桿 bcbc 兩端的水平位移相同。
  • 左柱 abab 與右柱 cdcd 的中點水平相對位移等於彈簧變形。
  • 彈簧力須滿足胡克定律：

Fs=−kδsF_s=-k\delta_s

其中取向右為正，δs=uL−uR\delta_s=u_L-u_R，uL,uRu_L,u_R 分別為左右柱中點水平位移。

各桿件彎曲變形採用：

δ=∑∫MmEI ds\delta=\sum\int\frac{Mm}{EI}\,ds

題給：

EI=25000 kN⋅m2,k=4800 kN/mEI=25000\ \text{kN}\cdot\text{m}^2,\qquad k=4800\ \text{kN/m}

一、彈簧力的計算

令 FsF_s 為彈簧作用在左側桿件上的水平力，向右為正。

由靜力平衡及 cc 點鉸接條件，可得左柱 abab 的彎矩圖：

Mab={(−12+Fs2)y,0≤y≤2.5(−12+Fs2)(5−y)−60+Fs2(5−y),2.5≤y≤5M_{ab}= \begin{cases} \left(-12+\dfrac{F_s}{2}\right)y, &0\le y\le2.5\\[6pt] \left(-12+\dfrac{F_s}{2}\right)(5-y)-60+\dfrac{F_s}{2}(5-y), &2.5\le y\le5 \end{cases}

整理後，彈簧力所造成的單位彎矩圖為：

mab={y2,0≤y≤2.55−y2,2.5≤y≤5m_{ab}= \begin{cases} \dfrac{y}{2},&0\le y\le2.5\\[4pt] \dfrac{5-y}{2},&2.5\le y\le5 \end{cases}

右柱 cdcd 的單位彎矩圖為：

mcd={−y2,0≤y≤2.5y−52,2.5≤y≤5m_{cd}= \begin{cases} -\dfrac{y}{2},&0\le y\le2.5\\[4pt] \dfrac{y-5}{2},&2.5\le y\le5 \end{cases}

其中 yy 自 dd 點向上量測。

先求外力 12 kN12\ \text{kN} 所造成的左右柱中點相對位移。外力只造成左柱彎曲，故：

δP=∫05MPmabEI dy=−93.7525000=−0.00375 m\delta_P = \int_0^5\frac{M_Pm_{ab}}{EI}\,dy = \frac{-93.75}{25000} = -0.00375\ \text{m}

再求單位彈簧力所造成的柔度：

f=∫05mab2EI dy+∫05mcd2EI dyf = \int_0^5\frac{m_{ab}^2}{EI}\,dy + \int_0^5\frac{m_{cd}^2}{EI}\,dy f=1225000=0.00048 m/kNf = \frac{12}{25000} = 0.00048\ \text{m/kN}

因此彈簧變形為：

δs=δP+fFs=−0.00375+0.00048Fs\delta_s=\delta_P+fF_s =-0.00375+0.00048F_s

由胡克定律：

Fs=−4800δsF_s=-4800\delta_s

代入得：

Fs=−4800(−0.00375+0.00048Fs)F_s=-4800(-0.00375+0.00048F_s) 3.304Fs=183.304F_s=18 Fs=5.448 kN\boxed{F_s=5.448\ \text{kN}}

方向為：彈簧作用在左側桿件上向右，作用在右側桿件上向左。

彈簧變形：

δs=−0.001135 m\delta_s=-0.001135\ \text{m}

表示彈簧受壓。

二、dd 點鉸支承反力

整體結構水平平衡：

∑Fx=0\sum F_x=0 Dx−12=0D_x-12=0

所以：

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第 四 題25 分

如圖示剛架結構，除彈簧外，不考慮桿件的軸向變形，aa 點為鉸支承，dd 點及 ee 點為固定端，bb 點為鉸接。

各桿件都有相同之彈性模數 EE 值與慣性矩 II 值，且 EI=9000 kN⋅m2EI=9000\,\mathrm{kN\cdot m^2}，彈簧係數 k=1000 kN/mk=1000\,\mathrm{kN/m}。

求：

(一) bb 點的垂直位移。

(二) 彈簧內力。

(三) cc 點轉角。

(四) dd 點固定端彎矩。

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核心觀念

本題採用「剛架彎曲剛度法」分析，並利用下列條件：

  1. 除彈簧外不考慮桿件軸向變形，因此：
  • a,b,ca,b,c 的水平位移均為零；
  • cc 點垂直位移為零。
  1. bb 點為鉸接，故 bb 點彎矩為零。
  2. aa 點為鉸支承，d,ed,e 點為固定端。
  3. cc 點為剛接，故兩側柱構件及水平桿在 cc 點具有相同轉角。
  4. 彈簧力為 Fs=kvbF_s=kv_b。

令 vbv_b 為 bb 點垂直位移，向上為正；令桿件轉角逆時針為正。

解題方法

一、建立水平桿 bcbc 的端部方程

bcbc 桿長為

L=3 mL=3\ \mathrm{m}

其兩端垂直位移為

vb=v,vc=0v_b=v,\qquad v_c=0

設 b,cb,c 點轉角分別為 θb,θc\theta_b,\theta_c。

由梁端彎矩公式：

Mb=6EIL2v+4EILθb+2EILθcM_b=\frac{6EI}{L^2}v+\frac{4EI}{L}\theta_b+ \frac{2EI}{L}\theta_c

因為 bb 點為鉸接：

Mb=0M_b=0

代入 L=3L=3：

2EI3v+4EI3θb+2EI3θc=0\frac{2EI}{3}v+\frac{4EI}{3}\theta_b+ \frac{2EI}{3}\theta_c=0

整理得

v+2θb+θc=0(1)v+2\theta_b+\theta_c=0 \tag{1}

bcbc 桿在 cc 點的彎矩為

Mc(bc)=−6EIL2v−2EILθb−4EILθcM_c^{(bc)} =-\frac{6EI}{L^2}v-\frac{2EI}{L}\theta_b -\frac{4EI}{L}\theta_c

即

Mc(bc)=−2EI3v−2EI3θb−4EI3θc(2)M_c^{(bc)} =-\frac{2EI}{3}v-\frac{2EI}{3}\theta_b -\frac{4EI}{3}\theta_c \tag{2}

二、建立柱構件對 cc 點的轉動剛度

c−dc-d 與 c−ec-e 兩柱長度皆為

h=2 mh=2\ \mathrm{m}

d,ed,e 均為固定端，且柱兩端水平位移為零。因此每一柱在 cc 點所提供的轉動剛度為

4EIh=4EI2=2EI\frac{4EI}{h}=\frac{4EI}{2}=2EI

兩柱合計：

Kc=4EIK_c=4EI

故柱構件在 cc 點所產生的彎矩為

Mc(柱)=4EIθcM_c^{(\text{柱})}=4EI\theta_c

在 cc 點作彎矩平衡：

Mc(bc)+4EIθc=0M_c^{(bc)}+4EI\theta_c=0

代入式 (2)(2)：

−2EI3v−2EI3θb−4EI3θc+4EIθc=0-\frac{2EI}{3}v-\frac{2EI}{3}\theta_b -\frac{4EI}{3}\theta_c+4EI\theta_c=0

整理得

−v−θb+4θc=0-v-\theta_b+4\theta_c=0

因此

θc=v+θb4(3)\theta_c=\frac{v+\theta_b}{4} \tag{3}

將式 (3)(3) 代入式 (1)(1)：

v+2θb+v+θb4=0v+2\theta_b+\frac{v+\theta_b}{4}=0

乘以 44：

5v+9θb=05v+9\theta_b=0

所以

θb=−59v\theta_b=-\frac{5}{9}v

再由式 (3)(3)：

θc=v9(4)\theta_c=\frac{v}{9} \tag{4}

三、求 bb 點等效彎曲剛度

bcbc 桿在 bb 點的垂直端力為

Vb=12EIL3v+6EIL2(θb+θc)V_b=\frac{12EI}{L^3}v+ \frac{6EI}{L^2}(\theta_b+\theta_c)

由

θb+θc=−59v+19v=−49v\theta_b+\theta_c =-\frac{5}{9}v+\frac{1}{9}v =-\frac{4}{9}v

且 L=3L=3，得

Vb=12EI27v+6EI9(−49v)V_b=\frac{12EI}{27}v+ \frac{6EI}{9}\left(-\frac{4}{9}v\right)
🔒

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