114 司法特考三等 檢察事務官類科營繕工程組 結構分析（包括材料力學與結構學） 考古題詳解

圖一為一個柱結構。$a$ 點為滾支承，$c$ 點為鉸支承；$b$ 點以剛接連結桿件 $ab$ 及桿件 $bc$，且 $b$ 點下方連結一個勁度為 $k_s=\dfrac{3EI}{L^3}$ 的線性彈簧。

此柱結構之 $ab$ 段具 $EI$ 值，$bc$ 段則為剛性（$EI=\infty$）。相關尺寸配置如圖一所示。今於柱的 $a$、$c$ 端施加一軸向載重 $P$，載重通過柱結構的中心線。

試求此柱結構於挫屈時，柱 $ab$ 段挫屈載重 $P_{cr}$ 相應之有效長度係數 $K_{ab}$ 之特徵方程式（Characteristic Equation）。

$K_{ab}$ 之特徵方程式如下，請列出 $A$、$B$、$C$ 數值：

$\frac{kL}{\tan(kL)}+A+\frac{B}{kL}+C=0$

其中：

$k^2=\frac{P}{EI}$

圖一所示配置包括：$ab$ 段長度為 $L$、$bc$ 段長度為 $L$，$bc$ 段為剛性（$EI=\infty$），$b$ 點下方設置勁度為 $k_s=\dfrac{3EI}{L^3}$ 之線性彈簧。

圖二為一鋼軸，兩端放置在軸承 $A$ 及 $B$ 上，且 $C$ 處有一皮帶輪。馬力自 $A$ 端由轉矩 $T$ 輸入而傳遞至皮帶輪 $C$。

設此時皮帶輪 $C$ 的兩邊皮帶之拉力各為 $120\ \mathrm{kgf}$ 及 $20\ \mathrm{kgf}$。皮帶輪直徑為 $80\ \mathrm{cm}$。

鋼軸之容許應力及容許剪應力分別為：

$\sigma_w=840\ \mathrm{kgf/cm^2}$

$\tau_w=420\ \mathrm{kgf/cm^2}$

試求在此受力情況下，鋼軸所需要之最小直徑 $d$。

圖二所示幾何配置如下：軸承 $A$ 至皮帶輪 $C$ 的距離為 $100\ \mathrm{cm}$，皮帶輪 $C$ 至軸承 $B$ 的距離為 $150\ \mathrm{cm}$；皮帶輪直徑為 $80\ \mathrm{cm}$，兩側皮帶拉力分別為 $120\ \mathrm{kgf}$ 及 $20\ \mathrm{kgf}$。

圖三為一個剛架結構，其水平梁 $CFI$ 及梁 $BEH$ 具剛性（$EI=\infty$），六根柱的勁度如圖三所示。

已知位移自由度為 $r_1$ 及 $r_2$，相應之外力分別為 $R_1$ 及 $R_2$。依據圖中所示之自由度 $r_1$ 及 $r_2$，試以勁度法求解此結構之勁度矩陣 $[K]_{2\times2}$。

若此時 $R_2=0$、$R_1=P$，試求解僅有水平外力 $P$ 作用下之勁度矩陣 $[K]_{1\times1}$；再請依據此 $[K]_{1\times1}$ 求解 $C$ 點之水平位移 $\Delta_C$。

圖三結構及勁度配置如下：

• 上層水平梁 $CFI$：$EI=\infty$。
• 下層水平梁 $BEH$：$EI=\infty$。
• 左側柱 $AB$ 與 $BC$：上段及下段勁度依圖示分別為 $EI$ 與 $EI$；其中 $AB$ 與 $BC$ 之間的節點為 $B$。
• 中央柱 $DE$ 與 $EF$：上段及下段勁度依圖示分別為 $EI$ 與 $2EI$；其中 $DE$ 與 $EF$ 之間的節點為 $E$。
• 右側柱 $GH$ 與 $HI$：上段及下段勁度依圖示分別為 $EI$ 與 $EI$；其中 $GH$ 與 $HI$ 之間的節點為 $H$。
• 各柱層高均為 $L$，各柱跨距均為 $L$。
• $R_1$ 作用於 $C$ 點，對應水平位移自由度 $r_1$；$R_2$ 作用於 $B$ 點，對應水平位移自由度 $r_2$。

圖四為一個剛架結構。$A$ 點為固定端，桿件 $AB$ 與桿件 $BC$ 於 $B$ 點使用鉸接連結；桿件 $CD$ 於 $C$ 點及 $D$ 點下方分別使用滾支承。

剛架尺寸及各桿件 $EI$ 值如圖四所示。今於桿件 $CD$ 中點施加垂直載重 $P$，忽略各桿件軸向變形，試用彎矩分配法求解 $A$ 點及 $C$ 點的端彎矩 $M_{AB}$、$M_{CD}$ 之大小及方向，以及 $D$ 點水平位移 $\Delta_D$ 之大小及方向。

圖四所示配置如下：

• 桿件 $AB$ 及桿件 $BC$ 的彎曲剛度均為 $\sqrt{2}EI$。
• 桿件 $CD$ 的彎曲剛度為 $EI$。
• 圖示桿件 $AB$ 長度為 $L$，桿件 $BC$ 長度為 $L$。
• 桿件 $CD$ 之尺寸依圖示標示為 $L$、$L/2$、$L/2$。
• 垂直載重 $P$ 施加於桿件 $CD$ 的中點。