108 地方特考三等 天文 天文學 考古題詳解

核心觀念

本題考查地球—月球系統的潮汐作用。月球的引力在地球近月側與遠月側大小不同，會使地球海洋及固體地球產生潮汐隆起。由於地球自轉比月球繞地球公轉快，潮汐隆起被地球自轉帶到月球前方；隆起對月球施加向前的引力，同時月球對地球施加反向的潮汐力矩。

這個過程會把地球自轉的角動量轉移到月球軌道，使地球自轉減慢，月球軌道角動量增加、平均軌道半徑增大。潮汐摩擦也會把機械能轉化為熱能。

解題方法

（一）地球自轉越來越慢的主要原因

月球引力造成地球潮汐隆起。海水與固體地球並非完全沒有摩擦或延遲，潮汐隆起因此不會正好對準地月連線，而會因地球自轉而略偏向月球前方。

月球對這個隆起的引力形成反向力矩，阻礙地球自轉；依作用力與反作用力，地球也對月球施加向前的力矩。因此，地球自轉角動量逐漸減少。造成地球自轉長期減慢的主要機制，便是月球引起的潮汐摩擦與角動量轉移。

（二）月球逐漸遠離地球的原因

地球潮汐隆起位於月球前方，對月球施加沿其軌道運動方向的引力，因而對月球作正功，使月球獲得軌道角動量。忽略外界力矩時，地球自轉角動量的減少，對應月球軌道角動量的增加：

核心觀念

本題考查恆星中的熱核融合，重點是：質子如何在低於古典預估的溫度下融合、質子—質子鏈與 CNO 循環的相對重要性、鐵為何是恆星核融合的終點，以及比鐵更重的元素如何形成。

（一）主序星核心為何能在約 $10^7\ \mathrm{K}$ 下維持氫融合？

古典估計把核融合視為質子必須直接具有足以越過庫侖障蔽的動能。兩質子間的庫侖位能近似為

其中 $r$ 約為核力開始作用的距離。若要求質子以熱運動的典型能量直接克服此位能，便會得到約 $10^{10}\ \mathrm{K}$ 的高溫估計。

但量子力學指出，質子也能以量子穿隧效應穿過庫侖障蔽，不必先取得足以越過障蔽頂端的能量。即使單一質子的穿隧機率很小，恆星核心仍有極大量的質子，且不斷發生碰撞，因此每秒仍有足夠多的質子融合。

此外，熱運動的能量不是固定在單一數值，而是遵循 Maxwell–Boltzmann 分布。雖然核心平均熱能低於古典障蔽能，仍有一部分質子能量較高；這些質子穿隧的機率也較大。核反應率因而主要來自「能量較高、又能穿隧」的質子，形成 Gamow peak（伽莫峰）。

作答要點：​主序星的核心溫度遠低於古典估計仍能持續融合，關鍵是質子的能量分布與量子穿隧效應，而非所有質子都必須以熱動能直接越過庫侖障蔽。

（二）為何 CNO 循環在大質量恆星較重要？

質子—質子鏈的反應率對溫度的依賴較弱，約可寫成 $\epsilon_{pp}\propto T^4$；CNO 循環的反應率對溫度更敏感，近似為 $\epsilon_{\mathrm{CNO}}\propto T^{17}$（指典型主序星核心條件下的近似指數）。

大質量恆星核心溫度較高，因此 CNO 循環反應率隨溫度上升得比質子—質子鏈快得多，能很快成為主要能量來源。CNO 循環以碳、氮、氧核種作為催化媒介，淨效果仍是將氫轉為氦；催化核種在循環中再生。

作答要點：​CNO 循環在大質量恆星較重要，主要原因是其反應率對核心溫度的依賴遠強於質子—質子鏈，而大質量恆星核心溫度較高。

（三）為何鐵無法靠熱核融合形成更重核種？

核融合能否釋放能量，可由每核子平均束縛能判斷。由輕元素到鐵附近，每核子束縛能大致增加，融合後的產物較穩定，並釋放能量；鐵附近的核種具有極高的每核子束縛能。

核心觀念

本題考查白矮星的冷卻發光、電子簡併壓如何支撐恆星，以及白矮星質量上限的物理背景。關鍵在於區分熱壓力與簡併壓：白矮星的熱壓力不足以抗衡重力，主要由電子簡併壓支撐；但白矮星仍保有形成時的熱能，因此能繼續輻射。

解題方法

(一) 白矮星為何能持續發光？

恆星停止核融合，表示它不再以核反應持續補充能量；這不表示星體立刻失去所有能量。白矮星形成時仍然非常熱，內部儲存大量熱能，之後逐漸冷卻，將熱能以電磁輻射放出，因此持續發光。

白矮星半徑很小，表面積也小。依史蒂芬－波茲曼定律，其光度為

其中 $R$ 是半徑、$T_{\mathrm{eff}}$ 是有效表面溫度、$\sigma$ 是史蒂芬－波茲曼常數。白矮星雖然表面溫度高，但半徑小、輻射面積有限，總光度仍可偏低。它會隨時間冷卻、變暗。

(二) 電子簡併壓及其支撐機制

白矮星的物質密度極高，電子受到量子力學的包立不相容原理限制：兩個完全相同的電子不能處於相同的量子態。當物質被壓縮時，電子不能全部落入最低能量狀態，必須依序佔據更高動量的量子態。

電子的動量分布因此形成壓力，即電子簡併壓。它源自電子的量子態填佔與動量，不是一般氣體因高溫粒子熱運動產生的熱壓力。即使白矮星冷卻，電子簡併壓仍可存在；在非相對論近似下，它對溫度的依賴很弱。

支撐白矮星的靜力平衡可寫成

核心觀念

黑洞本身不會讓光從事件視界內逃出；天文學家主要藉由黑洞對周遭物質與天體的重力作用間接研究黑洞。物質落入黑洞前可形成吸積盤，因摩擦與重力位能釋放而升溫，並發出強烈輻射；黑洞也會影響附近恆星或氣體的運動。

解題方法

先按黑洞質量分類，辨認各類黑洞最適合觀測的環境，再整理銀河系外超大質量黑洞的間接證據，以及銀河系中心的恆星軌道證據。

（一）主要研究現象與觀測天體

天文學家主要觀測黑洞周圍的吸積現象及其高能輻射，並配合重力造成的軌道運動。

• 恆星級黑洞：​主要研究與普通恆星組成的X 射線雙星。黑洞從伴星吸積氣體，形成高溫吸積盤並發出強烈 X 射線；再由雙星軌道推算不可見伴星的質量，判斷其是否為黑洞。
• 超大質量黑洞：​主要研究星系核，尤其是活動星系核與類星體。黑洞吸積星系中心的氣體，能使星系核在很小的區域內發出極高亮度的輻射，並可能伴隨噴流。

（二）銀河系外超大質量黑洞的間接證據

除 M87 的黑洞剪影外，主要觀測證據包括：

1. 活動星系核與類星體的高亮度：​星系中心在很小的空間範圍內釋出極大能量，吸積到超大質量黑洞的物質可將重力位能轉成輻射，足以解釋其高光度。
2. 快速變光：​活動星系核的亮度可在短時間內明顯改變。變化時間限制了發光區的大小；