108 地方特考三等 天文 宇宙學 考古題詳解

核心觀念

早期的「完美宇宙學原理」（perfect cosmological principle）主張，宇宙在大尺度上不僅在各個方向、各個位置相同，也在不同時代相同。換言之，宇宙具有空間均勻性、空間各向同性，且整體上不隨時間演化。

現代宇宙學原理保留的是大尺度上的空間均勻性與各向同性；它並不主張宇宙在時間上不變。宇宙可以隨時間膨脹、冷卻，並形成不同的天體結構。

解題方法

第一小題列舉觀測到的宇宙演化，說明「不同時代的宇宙不相同」，即可否定完美宇宙學原理中的不變假設。第二小題則須先釐清均勻性適用的尺度：它指大尺度統計平均後的性質，不是要求每個局部都具有相同密度。

（一）宇宙並非不變的證據

下列觀測顯示宇宙具有明顯的時間演化：

1. 宇宙膨脹：星系光譜普遍呈現宇宙學紅移，且距離較遠的星系通常具有較大的紅移，符合宇宙膨脹的觀測。尺度因子 $a(t)$ 隨時間改變，表示宇宙的尺度並非固定。
2. 遙遠天體呈現較早時代的狀態：光需要時間才能抵達觀測者，因此觀測遙遠星系時，也是在觀測它們較早期的樣貌。深場觀測可見不同紅移下星系的形態、恆星形成活動與族群分布不同，顯示星系族群隨宇宙年代演化。
3. 類星體與活躍星系核的族群隨紅移改變：類星體數密度與光度分布在不同紅移時期並不相同，顯示宇宙中這類高能活動源的盛行程度曾有明顯變化。
4. 宇宙微波背景輻射：它是早期熱而密的宇宙留下的輻射。今日觀測到的宇宙微波背景溫度約為 $2.7\ \mathrm{K}$；其存在與性質表示宇宙曾處於遠比現在更熱、更密的狀態，並隨膨脹而冷卻。

因此，宇宙在不同時代具有不同的尺度、溫度、天體族群與結構形成狀況，完美宇宙學原理所要求的時間不變性不成立。

（二）為何仍採用大尺度均勻性？

核心觀念

萊曼斷裂星系（Lyman-break galaxy, LBG）是指因星系自身與視線方向上的星際、星系際中性氫吸收，使其光譜在萊曼極限附近出現明顯紫外光通量下降的高紅移星系。

氫原子的萊曼極限波長為 $912\,\text{Å}$。波長短於此值的光子能使中性氫原子游離，因此容易被中性氫吸收。除此之外，萊曼系列吸收線以及星系際介質中的中性氫也會吸收較長波長的紫外光，形成萊曼森林與萊曼連續吸收，使斷裂特徵更明顯。

星系紅移為

$$z=\frac{\lambda_{\mathrm{obs}}-\lambda_{\mathrm{rest}}}{\lambda_{\mathrm{rest}}}, \qquad \lambda_{\mathrm{obs}}=(1+z)\lambda_{\mathrm{rest}}.$$

因此，發生在紫外波段的吸收斷裂會隨宇宙膨脹移到較長的觀測波長。

解題方法

尋找 LBG 的方法，是利用不同濾鏡量測星系在斷裂波長兩側的亮度，辨認「短波端很暗、長波端可見」的顏色特徵，再由斷裂所在波段估計紅移。

以萊曼極限為例，觀測到的斷裂波長約為

$$\lambda_{\mathrm{break,obs}}\simeq 912(1+z)\,\text{Å},$$

故可估算

$$z\simeq \frac{\lambda_{\mathrm{break,obs}}}{912\,\text{Å}}-1.$$

核心觀念

本題考查黑洞史瓦茲半徑與平均密度的質量尺度關係，以及星系團環境如何促成巨橢圓星系形成，並要求辨認高紅移超大質量黑洞的觀測方法。

非旋轉、無電荷黑洞的史瓦茲半徑為

$$R_{\rm S}=\frac{2GM}{c^2},$$

因此史瓦茲半徑與質量成正比。題目已給一太陽質量黑洞的半徑為 $3$ 公里，可直接按質量比例縮放。平均密度則以黑洞質量除以半徑為史瓦茲半徑的球體體積計算：

$$\bar{\rho}=\frac{M}{(4/3)\pi R_{\rm S}^3}.$$

（一）M87 黑洞的史瓦茲半徑

M87 黑洞的質量為

$$M=6.5\times10^9 M_\odot.$$

因 $R_{\rm S}\propto M$，其史瓦茲半徑為

$$R_{\rm S}=3\ {\rm km}\times\frac{6.5\times10^9 M_\odot}{M_\odot} =1.95\times10^{10}\ {\rm km}.$$

換算成光年，取 $1$ 光年 $\simeq9.46\times10^{12}$ 公里：

$$R_{\rm S}\simeq\frac{1.95\times10^{10}}{9.46\times10^{12}}\ {\rm ly} \simeq2.06\times10^{-3}\ {\rm ly}.$$

因此，史瓦茲半徑約為 $1.95\times10^{10}$ 公里，亦即約 $0.0021$ 光年。

（二）黑洞平均密度

先將質量換算為克：

$$M=6.5\times10^9\times2\times10^{33} =1.3\times10^{43}\ {\rm g}.$$

將半徑換成公分：

$$R_{\rm S}=1.95\times10^{10}\ {\rm km} =1.95\times10^{15}\ {\rm cm}.$$

代入平均密度公式：

核心觀念

重力透鏡是指前景天體的質量使時空彎曲，讓背景光源的光路偏折，造成光源影像的位置、形狀、亮度或數量改變。三種現象的主要差異，在於透鏡的質量尺度、影像變化型態，以及觀測時是否能分辨出多重影像。

在薄透鏡近似下，透鏡方程可寫為

$$\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\theta} - \boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{\theta}),$$

其中 $\boldsymbol{\beta}$ 是未受透鏡影響時的光源角位置，$\boldsymbol{\theta}$ 是觀測到的影像角位置，$\boldsymbol{\alpha}$ 是透鏡造成的偏折角。三類透鏡都源自這種光線偏折，差別在於透鏡造成的觀測效果。

解題方法

依序比較各類透鏡的影像特徵、透鏡質量尺度、典型用途，即可完整說明其差異。作答時特別要指出：強、弱重力透鏡主要依影像扭曲程度分類；微重力透鏡則強調恆星等低質量透鏡造成的短暫亮度變化，且通常無法分辨透鏡影像。

三種重力透鏡的差異

強重力透鏡（strong lensing）

透鏡效應明顯，背景光源可形成多個影像、弧狀影像，或近似環形的愛因斯坦環。這些影像通常具有可辨識的幾何結構，適合用來研究前景星系或星系團的質量分布，也可用於測量遙遠光源與透鏡系統的特性