108 地方特考三等 天文 近代物理 考古題詳解

核心觀念

1. 德布羅意物質波假說與駐波條件：質量為 $m$、以速度 $v$ 運動的微觀粒子具有波動性，其物質波波長為 $\lambda = \frac{h}{p}$。電子在原子核周圍維持穩定圓軌道運行的幾何條件，即為該圓軌道周長必須等於物質波波長的整數倍，形成穩定的「環形駐波」（破壞性干涉相消，建設性干涉相長）。
2. 波爾氫原子模型力平衡與能量量化：

• 電子繞核作等速圓周運動，庫侖靜電力提供向心力。
• 總能量為動能與電位能之和：$E = K + U$。
• 結合波爾角動量量子化條件，消去軌道半徑 $r$ 與運動速率 $v$，求得離散的束縛能級 $E_n$。

3. 三維薛丁格方程式與電子自旋狀態：非相對論量子力學中，在庫侖中心力場下求解三維薛丁格方程式，空間波函數需要三個量子數 $(n, l, m_l)$ 來決定；進一步考慮電子的內稟自旋自由度，需引入自旋量子數 $(s, m_s)$，方能完全確定一個電子的量子態。

解題方法

（一）由德布羅意物質波推導波爾角動量量子化條件

1. 物質波關係式： 質量為 $m_e$、速率為 $v$ 之電子，其物質波波長 $\lambda$ 為： $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m_e v}$
2. 圓軌道駐波條件： 為使電子在半徑為 $r$ 的圓軌道上運動時不因相位干涉抵消而穩定存在，軌道周長必須為物質波波長的整數倍： $2\pi r = n\lambda \quad (n = 1, 2, 3, \dots)$
3. 角動量量子化： 將物質波波長代入駐波條件： $2\pi r = n \left(\frac{h}{m_e v}\right)$ 整理後可得電子之軌道角動量 $L = m_e v r$： $m_e v r = \frac{nh}{2\pi}$ 即得波爾條件： $L = \frac{nh}{2\pi} = n\hbar$

（二）推導氫原子的電子能態公式 $E_n$

1. 向心力與庫侖力平衡： 在 SI 制中，質量為 $m_e$、電量為 $-e$ 的電子受帶電量 $+e$ 之原子核（質子視為無窮重靜止）吸引，圓周運動方程式為： $\frac{m_e v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}$ 由此可得電子動能 $K$ 與電位能 $U$ 的關係： $K = \frac{1}{2}m_e v^2 = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$ 系統的電位能 $U$ 為： $U = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r}$
2. 總能量與軌道半徑之關係： $E = K + U = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r}$
3. 利用波爾條件求軌道半徑 $r_n$： 由力平衡式兩側同乘以 $m_e r^3$： $(m_e v r)^2 = \frac{m_e e^2 r}{4\pi\varepsilon_0}$ 將波爾條件 $L = m_e v r = \frac{nh}{2\pi}$ 代入： $\left(\frac{nh}{2\pi}\right)^2 = \frac{m_e e^2 r}{4\pi\varepsilon_0}$ $\frac{n^2 h^2}{4\pi^2} = \frac{m_e e^2 r}{4\pi\varepsilon_0}$ 解出量化軌道半徑 $r_n$： $r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m_e e^2}$
4. 求總能態能級 $E_n$： 將 $r_n$ 代回總能量表示式： $E_n = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_n} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 \left(\frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m_e e^2}\right)} = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2 n^2}$

（三）完全指定氫原子量子狀態所需的額外量子數及其量化物理量

核心觀念

本題評量一維不含時薛丁格方程式（Time-Independent Schrödinger Equation, TISE）的反求問題（由已知定態波函數反推系統位能與能量），以及量子簡諧振子（Harmonic Oscillator）基態之物理特性。

1. 一維不含時薛丁格方程式： $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$ 其中 $m$ 為粒子質量，$\hbar$ 為約化普朗克常數，$E$ 為能量本徵值，$V(x)$ 為位能函數。
2. 束縛態的物理要求： 波函數 $\psi(x) = e^{-ax^2/2}$ 為高斯型函數，欲使粒子定態可被歸一化（即 $\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2 dx < \infty$），常數必須滿足 $a > 0$。
3. 位能基準點選取： 題目給定 $V(x)$ 在 $x=0$ 處有極小值。物理到位能差才有可觀測意義，慣例取極小值點為位能零點基準，即 $V(0) = 0$。

解題方法

步驟一：計算波函數的一階與二階空間導數

已知波函數： $\psi(x) = e^{-ax^2/2}$

利用微分鏈鎖律求一階導數： $\frac{d\psi(x)}{dx} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{ax^2}{2}\right) e^{-ax^2/2} = -ax\,e^{-ax^2/2} = -ax\,\psi(x)$

對一階導數再次微分求二階導數： $\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left[-ax\,\psi(x)\right] = -a\,\psi(x) - ax\,\frac{d\psi(x)}{dx}$ 將 $\frac{d\psi}{dx} = -ax\,\psi(x)$ 代入： $\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = -a\,\psi(x) - ax(-ax\,\psi(x)) = \left(a^2 x^2 - a\right)\psi(x)$

步驟二：代入不含時薛丁格方程式

將二階導數代入一維不含時薛丁格方程式： $-\frac{\hbar^2}{2m}\left(a^2 x^2 - a\right)\psi(x) + V(x)\psi(x) = E\psi(x)$

因為對任意實數 $x$，指數波函數 $\psi(x) = e^{-ax^2/2} \neq 0$，等號兩端同除以 $\psi(x)$： $-\frac{\hbar^2}{2m}\left(a^2 x^2 - a\right) + V(x) = E$

整理得位能函數 $V(x)$ 之顯式表達式： $V(x) = \frac{\hbar^2 a^2}{2m}x^2 + \left(E - \frac{\hbar^2 a}{2m}\right)$

步驟三：利用極值條件與位能基準求解

1. 極值檢驗： $V'(x) = \frac{d V(x)}{dx} = \frac{\hbar^2 a^2}{m}x$ 在 $x=0$ 處，$V'(0) = 0$。 又二階導數：

核心觀念

本題評量高能光子（$\gamma$ 射線）與物質（靶材原子）相互作用的三大主要機制，以及能量守恆定律在微觀粒子碰撞中的應用：

1. 光電效應（Photoelectric Effect）： 入射光子能量完全被原子中的束縛電子吸收，並將該電子打出。電子獲得的動能為： $K_e = h\nu - E_B$ 其中 $h\nu$ 為入射光子能量，$E_B$ 為電子在該原子殼層的束縛能（Binding Energy）。

2. 康普頓散射（Compton Scattering）： 入射光子與靶材中的外層電子（可視為近似自由、靜止電子）發生非彈性碰撞，光子損失部分能量並散射，反衝電子獲得動能。依據能量與動量守恆，散射光子能量為： $E' = \frac{h\nu}{1 + \frac{h\nu}{m_e c^2}(1 - \cos\theta)}$ 反衝電子的動能為： $K_e = h\nu - E' = \frac{h\nu \cdot \frac{h\nu}{m_e c^2}(1 - \cos\theta)}{1 + \frac{h\nu}{m_e c^2}(1 - \cos\theta)}$ 其中電子靜止能量 $m_e c^2 \approx 0.511\ \mathrm{MeV}$，$\theta$ 為光子散射角。

3. 成對生產（Pair Production）： 高能光子在庫侖場（原子核旁）作用下轉化為正負電子對（$e^- + e^+$）。能量守恆關係式為： $h\nu = 2m_e c^2 + K_{e^-} + K_{e^+} + K_{\mathrm{nucleus}}$ 由於原子核質量遠大於電子質量（$M_{\mathrm{Ta}} \gg m_e$），原子核反衝動能 $K_{\mathrm{nucleus}} \approx 0$，產生之電子最大可能動能受限於總動能上限： $K_{e,\max} \le h\nu - 2m_e c^2$

解題方法

已知入射光子能量 $h\nu = 1.5\ \mathrm{MeV}$，觀察到出射電子動能 $K_e = 0.7\ \mathrm{MeV}$。題目假設電子未進行二次相互作用，即該動能完全由最初的單次交互作用決定。

分別針對三種物理過程進行能量計算與檢驗：

各途徑可行性分析

一、光電效應（Photoelectric effect）：不可能

1. 能量守恆檢驗： 若此電子來自光電效應，其動能滿足： $K_e = h\nu - E_B \implies E_B = h\nu - K_e = 1.5\ \mathrm{MeV} - 0.7\ \mathrm{MeV} = 0.8\ \mathrm{MeV} = 800\ \mathrm{keV}$
2. 物理合理性判定： 鉭（$\mathrm{Ta}$）的原子序為 $Z = 73$，其最內層（K 殼層）電子的結合能約為 $67.4\ \mathrm{keV}$（$\approx 0.0674\ \mathrm{MeV}$），外層（L、M 殼層等）結合能更小。若要釋出動能僅 $0.7\ \mathrm{MeV}$ 的光電子，該電子的束縛能必須高達 $800\ \mathrm{keV}$，這遠超過鉭原子中任何軌域電子的結合能（週期表中即使是天然最重的鈾 $Z=92$，其 K 層結合能亦僅約 $115.6\ \mathrm{keV}$）。
3. 結論：光電效應所釋出之電子動能應落在 $1.43\ \mathrm{MeV} \sim 1.50\ \mathrm{MeV}$ 之間，絕不可能為 $0.7\ \mathrm{MeV}$，故不可能為光電效應。

二、成對生產（Pair production）：不可能

1. 閾能與可用動能檢驗： 成對生產的閾能（Threshold Energy）為： $E_{\mathrm{th}} = 2m_e c^2 \approx 2 \times 0.511\ \mathrm{MeV} = 1.022\ \mathrm{MeV}$ 入射光子能量 $1.5\ \mathrm{MeV} > 1.022\ \mathrm{MeV}$，雖然滿足產生正負電子對的能量門檻，但剩餘能分配給正、負電子的總動能為：

核心觀念

本題結合了「放射性衰變定律」與「狹義相對論運動學」，屬於近代物理非常經典的微觀粒子壽命量測題型。命題核心包含以下三項觀念與公式：

1. 指數衰變定律（Exponential Decay Law）： 粒子未衰變的數量隨時間呈指數遞減： $N(t) = N_0 e^{-t/\tau_{\text{lab}}}$ 其中 $N_0$ 為初始粒子數，$\tau_{\text{lab}}$ 為實驗室座標系下測得的粒子平均壽命。 當粒子以等速 $v$ 行進距離 $x$ 時，行經時間 $t = x/v$，故未衰變數亦為距離的指數衰減函數： $N(x) = N_0 e^{-x/(v\tau_{\text{lab}})}$

2. 相對論能量與羅倫茲因子（Lorentz Factor $\gamma$）： 粒子的總能量 $E$ 為動能 $K$ 與靜止能量 $E_0 = m_0 c^2$ 之和，且與羅倫茲因子滿足： $E = K + m_0 c^2 = \gamma m_0 c^2$ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} \quad \left(\beta = \frac{v}{c}\right)$

3. 時間膨脹（Time Dilation）： 粒子的固有平均壽命（proper lifetime）定義於粒子靜止座標系中，記為 $\tau_0$。在實驗室觀察者看來，高速運動的粒子時鐘變慢，平均壽命膨脹為： $\tau_{\text{lab}} = \gamma \tau_0$

解題方法

（一）預計在 C 中記錄的 $\pi^+$ 介子數量

由於介子束在均勻介質中運動且不受加速，速率 $v$ 視為定值。從計數器 A 到 B 的距離 $d = 10\ \mathrm{m}$，從 B 到 C 的距離亦為 $d = 10\ \mathrm{m}$。

粒子在相同距離 $d$ 內未衰變的「存活率（比值）」$f$ 為定值： $f = \frac{N_B}{N_A} = \frac{470}{1{,}000} = 0.47$

因此，自計數器 B 飛行相同距離 $d$ 到達計數器 C 時，存活的粒子數為： $N_C = N_B \times f = N_B \times \left(\frac{N_B}{N_A}\right) = \frac{N_B^2}{N_A}$

代入已知數值： $N_C = 470 \times 0.47 = 220.9$

粒子數計數以整數計，四捨五入後約為 $221$ 個（或記為 $220.9$ 個）。

（二）計算 $\pi^+$ 介子的平均壽命 $\tau_0$

物理學中所稱微觀粒子的「平均壽命」，若無特別說明，均指粒子自身的固有平均壽命 $\tau_0$。

步驟 1：求解相對論參數 $\gamma$ 與速度比 $\beta$ 已知 $\pi^+$ 介子的動能 $K = 140\ \mathrm{MeV}$，靜止質量能量 $m_0 c^2 = 140\ \mathrm{MeV}$。 總能量為： $E = K + m_0 c^2 = 140\ \mathrm{MeV} + 140\ \mathrm{MeV} = 280\ \mathrm{MeV}$

計算羅倫茲因子 $\gamma$： $\gamma = \frac{E}{m_0 c^2} = \frac{280\ \mathrm{MeV}}{140\ \mathrm{MeV}} = 2$

由 $\gamma$ 推導粒子速度比 $\beta = v/c$： $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = 2 \implies 1 - \beta^2 = \frac{1}{4} \implies \beta^2 = \frac{3}{4} \implies \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ 因此，粒子的速度乘上羅倫茲因子為：

核心觀念

1. 黑體腔體輻射能量密度與孔洞輻射通量之關係： 處於熱平衡之空腔，內部輻射場為均勻且等向（isotropic）。孔洞半徑極小，可視為一理想黑體發射面。單位面積、單位波長向外半球面發出的頻譜輻射通量（頻譜發射本領，spectral emissive power）$R_\lambda$ 與腔內能量密度 $u_\lambda$ 的關係為： $R_\lambda = \frac{c}{4} u_\lambda$ 因此，面積為 $A$ 的圓形孔洞在波長區間 $[\lambda_1, \lambda_2]$ 內所發出的總輻射功率為： $P = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} dP = A \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} R_\lambda d\lambda = A \frac{c}{4} \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} u_\lambda d\lambda$

2. 普朗克黑體輻射公式（Planck's Radiation Formula）： 腔體內波長形式的頻譜能量密度為： $u_\lambda d\lambda = \left[ \frac{8\pi hc/\lambda^5}{e^{hc/\lambda kT} - 1} \right] d\lambda$

3. 頻譜光子發射率（Photon Emission Rate）： 波長為 $\lambda$ 的單顆光子能量為 $E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$。由功率與單光子能量之比，孔洞每秒於波長區間 $[\lambda_1, \lambda_2]$ 內發出的總光子數為： $N = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} dN = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \frac{dP}{hc/\lambda} = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \frac{A \frac{c}{4} u_\lambda}{hc/\lambda} d\lambda$

4. 平均波長估算法（中點近似積分）： 在波長範圍 $\Delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1$ 內，依題意以平均波長 $\bar{\lambda} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{2}$ 近似估算定積分： $\int_{\lambda_1}^{\lambda_2} f(\lambda) d\lambda \approx f(\bar{\lambda}) \Delta\lambda$

解題方法

一、基本參數與條件整理

• 腔體溫度：$T = 4{,}000\ \mathrm{K}$
• 孔洞半徑：$r = 1.0\ \mathrm{mm} = 1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$
• 孔洞面積：$A = \pi r^2 = \pi \times (1.0 \times 10^{-3}\ \mathrm{m})^2 = \pi \times 10^{-6}\ \mathrm{m}^2$
• 可見光波長區間：$\lambda_1 = 0.4\ \mu\mathrm{m} = 4.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$ 至 $\lambda_2 = 0.7\ \mu\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$
• 波長區間寬度：$\Delta\lambda = 0.7\ \mu\mathrm{m} - 0.4\ \mu\mathrm{m} = 0.3\ \mu\mathrm{m} = 3.0 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$
• 平均波長：$\bar{\lambda} = \frac{0.4 + 0.7}{2}\ \mu\mathrm{m} = 0.55\ \mu\mathrm{m} = 5.5 \times 10^{-7}\ \mathrm{m}$
• 基本物理常數：
• 光速 $c = 3.0 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$
• 普朗克常數 $h = 6.626 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$
• 波茲曼常數 $k = 1.38 \times 10^{-23}\ \mathrm{J/K}$
• 題目給定近似值：
• 指數項：$e^{hc/\bar{\lambda}kT} \approx e^{6.43} = 620 \implies e^{6.43} - 1 = 620 - 1 = 619 \approx 620$
• 波長項：題幹列示「$5.5^{-3} = 2 \times 10^{-4}$」，考量 $5.5^5 \approx 5{,}033 \implies 5.5^{-5} \approx 1.99 \times 10^{-4} \approx 2 \times 10^{-4}$，實為普朗克公式分母 $\lambda^5$ 運算所需之數值（即 $5.5^{-5} = 2 \times 10^{-4}$ 之印刷誤植），故： $\bar{\lambda}^{-5} = (5.5 \times 10^{-7})^{-5} = 5.5^{-5} \times 10^{35} = (2 \times 10^{-4}) \times 10^{35} = 2.0 \times 10^{31}\ \mathrm{m}^{-5}$

（一）計算可見光區域內由孔洞發出的輻射功率

依定義建立孔洞輻射功率之積分式： $P = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} A \frac{c}{4} u_\lambda d\lambda = A \frac{c}{4} \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \left[ \frac{8\pi hc/\lambda^5}{e^{hc/\lambda kT} - 1} \right] d\lambda$