108 年地方特考三等土木工程考古題與詳解

Question 1

如圖 1 所示之二分之一圓弧形桿件，$O$ 點為圓心，半徑 $R=4\ \mathrm{m}$，$a$ 點及 $c$ 點為鉸支承，$b$ 點為鉸接，角度 $	heta=45^\circ$，載重 $P=10\ \mathrm{kN}$、$F=10\ \mathrm{kN}$。 分別求 $a$、$c$ 點鉸支承反力的水平與垂直分量，以及桿件在 $e$ 點的彎矩、剪力與軸力。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查含內鉸之平面構架平衡，以及曲桿截面內力的分解。內鉸不傳遞彎矩；無中間載重的兩力構件，其兩端作用力必沿兩端連線。截面軸力沿桿件切線，剪力垂直於切線，彎矩則由力矩平衡求得。 解題方法 取 $O$ 為原點，則 $a=(-4,0)$、$b=(0,4)$、$c=(4,0)$。點 $e$ 的位置為 $$ e=(R\cos45^\circ,R\sin45^\circ)=(2\sqrt2,2\sqrt2) $$ 先將桿件在內鉸 $b$ 處分成左右兩段。 左段 $ab$ 沒有其他外力，是兩力構件，所以 $a$ 點反力沿 $ab$ 弦線，水平與垂直分量相等。令 $$ Ax=Ay=Q $$ 則左段在 $b$ 點受到的力為 $(-Q,-Q)$，因此右段在 $b$ 點受到的內鉸力為 $(Q,Q)$。 對右段 $bc$，令 $c$ 點反力為 $(Cx,Cy)$。水平、垂直力平衡式為 $$ Cx+Q+10=0,\qquad Cy+Q+10=0 $$ 以 $b$ 點取矩，$c$ 點反力的力臂為 $(4,-4)$。兩個集中力對 $b$ 點的合力矩為 $$ Mb(P)+Mb(F) =10(4-2\sqrt2)+10(2\sqrt2) =40\ \mathrm{kN\cdot m} $$ 因此 $$ 4Cx+4Cy+40=0 $$ 由此得 $Cx+Cy=-10$。代入力平衡式可得 $$ Q=-5,\qquad Cx=Cy=-5 $$ 所以 $a$ 點反力為 $(-5,-5)$，$c$ 點反力為 $(-5,-5)$，亦即兩處反力的水平分量均向左、垂直分量均向下。 $e$ 點截面內力 令桿件由 $a$ 朝 $c$ 的切線方向為正軸力方向，並以徑向向外為正剪力方向。$e$ 點的單位切線與徑向向外向量分別為

Question 2

如圖 2 所示構架，桿 $ab$、桿 $bc$ 及桿 $cd$ 為剛性桿件，$a$ 點及 $d$ 點為鉸支承，$b$ 點及 $c$ 點為鉸接；彈簧係數 $k=125\ \mathrm{kN/m}$，長度 $\ell=2\ \mathrm{m}$，$h=3\ \mathrm{m}$。 求臨界挫屈負載 $P{cr}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查剛性桿件構成的機構在彈簧支承下的彈性挫屈。臨界負載時，系統的總位能沿機構可能的微小位移方向，其二次項係數為零。 以圖示幾何表示，$ab=2h$、$cd=h$、$bc=2\ell$。令桿 $ab$ 與鉛直方向的轉角為 $\alpha$，桿 $cd$ 的轉角為 $\gamma$。彈簧的變形來自 $b$ 點的水平位移；外力 $P$ 的位能變化則由 $bc$ 桿中點的垂直位移決定。 解題方法 取 $a$ 點為原點，初始位置為 $b=(0,2h)$、$c=(2\ell,2h)$、$d=(2\ell,h)$。轉動後， $$ b=(2h\sin\alpha,\;2h\cos\alpha), \qquad c=(2\ell+h\sin\gamma,\;h+h\cos\gamma). $$ 由 $bc$ 桿長固定為 $2\ell$，對長度約束在初始位置作一階微分，可得 $$ h\gamma'-2h\alpha'=0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma'=2\alpha'. $$ 因此取 $\alpha$ 為機構位移參數時，初始瞬間有 $\gamma=2\alpha$ 的一階轉角關係。 彈簧固定端在左側，$b$ 點水平位移為 $xb=2h\sin\alpha$，故彈簧位能為 $$ Us=\frac12 k(2h\sin\alpha)^2 \approx 2kh^2\alpha^2. $$

Question 3

如圖 3 所示工型斷面之直樑，材料之彈性模數 $E=240\ \mathrm{GPa}$ 。當工型斷面承受 $M_z=24\ \mathrm{kN\cdot m}$ 彎矩及 $V_y=12.5\ \mathrm{kN}$ 剪力作用，求此時樑中性軸曲率半徑、 $a$ 點正向應力 $\sigma_x$ 及 $b$ 點剪應力 $\tau_{xy}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考梁的彎曲正應力、彎曲曲率，以及橫剪公式。對通過形心的 $z$ 軸，所需截面二次矩為 $Iz$；彎矩造成的曲率半徑與正應力分別為 $$ \frac{1}{ho}=\frac{Mz}{EIz}, \qquad \sigmax=-\frac{Mz y}{Iz}. $$ 腹板處的剪應力由 $$ 	au{xy}=\frac{VyQ}{Izt} $$ 求得，其中 $Q$ 是待求位置一側截面面積對中性軸的面積一次矩，$t$ 是該處截面厚度。 解題方法 截面上下對稱，中性軸通過截面中央。總高為 $20+300+20=340\ \mathrm{mm}$，因此中性軸距上緣 $170\ \mathrm{mm}$。 對中性軸取截面二次矩。每片翼板的形心距中性軸 $160\ \mathrm{mm}$： $$ \begin{aligned} Iz &=2\left(\frac{200(20)^3}{12}+200(20)(160)^2ight) +\frac{20(300)^3}{12}\ &=250.067	imes 10^6\ \mathrm{mm^4}. \end{aligned} $$ 彎矩換算為 $Mz=24	imes10^6\ \mathrm{N\cdot mm}$，彈性模數為 $E=240{,}000\ \mathrm{N/mm^2}$。所以 $$ ho=\frac{EIz}{Mz} =\frac{240{,}000(250.067	imes10^6)}{24	imes10^6} =2.501	imes10^6\ \mathrm{mm} \approx 2500.7\ \mathrm{m}. $$ 圖中 $a$ 點位於腹板上端，即距中性軸 $ya=150\ \mathrm{mm}$。採正彎矩使上側受壓的符號慣例：

Question 4

某點平面應力狀態如圖 4 所示，求其主應力、最大剪應力，及當 $	heta=60^\circ$ 作用在 $AB$ 斜面的應力分量 $\sigma{x'}$ 與 $	au{x'y'}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考平面應力轉換、主應力與最大剪應力。由圖 4 讀取應力分量，以拉應力為正、壓應力為負： $$ \sigmax=-30\ 	ext{MPa},\qquad \sigmay=90\ 	ext{MPa},\qquad 	au{xy}=80\ 	ext{MPa} $$ 其中右側面上的剪應力向上，頂面上的剪應力向右，符合 $	au{xy}=+80\ 	ext{MPa}$ 的正號慣例。 解題方法 先由平面應力莫爾圓求主應力與最大剪應力： $$ \sigma{	ext{avg}}=\frac{\sigmax+\sigmay}{2} =\frac{-30+90}{2}=30\ 	ext{MPa} $$ $$ R=\sqrt{\left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^2} =\sqrt{(-60)^2+80^2}=100\ 	ext{MPa} $$ 因此： $$ \sigma1=\sigma{	ext{avg}}+R=130\ 	ext{MPa},\qquad \sigma2=\sigma{	ext{avg}}-R=-70\ 	ext{MPa} $$ 面內最大剪應力為莫爾圓半徑： $$ 	au{\max}=R=100\ 	ext{MPa} $$ 圖中 $x'$ 軸垂直於斜面 $AB$，且由 $x$ 軸逆時針轉至 $x'$ 軸的角度為 $	heta=60^\circ$。應力轉換式為：

108 地方特考三等土木工程靜力學與材料力學考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

核心觀念

解題方法

第三題25 分

第四題25 分

其他考古題

108 年土木工程的其他科目

土木工程《靜力學與材料力學》其他年度

108 地方特考三等 土木工程 靜力學與材料力學 考古題詳解

第 一 題25 分

第 二 題25 分