108 地方特考三等 土木工程 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題考查含內鉸之平面結構靜力平衡。內鉸可傳遞水平力與垂直力，但不能傳遞彎矩；因此可將結構在 $C$ 點分成兩部分，利用各部分的力與力矩平衡求支承反力。

三角形分布載重的合力為載重圖形面積，作用位置在三角形較大端起算的 $1/3$ 跨度處。

解題方法

取 $A=(0,0)$，則 $B=(0,8\text{ m})$、$C=(6,8\text{ m})$、$D=(12,0)$。令向右、向上及逆時針為正。已知 $A_y=0$。

1. 求水平均布載重 $q$

$BC$ 上的三角形垂直載重，其合力為

合力作用於距 $B$ 點 $6/3=2\text{ m}$ 處。另有 $C$ 點向下集中力 $20\text{ kN}$。

對整體取 $A$ 點力矩：

整體垂直力平衡為

代入 $A_y=0$，得 $D_y=40\text{ kN}$。因此

2. 求支承 $D$ 水平反力

對右側 $CD$ 構件取 $C$ 點力矩。$C$ 點的內鉸力及集中力都通過 $C$，不產生力矩。

核心觀念

本題考查平面桁架的節點法、零力桿判斷，以及由已知最大桿件張力反求荷載。桁架各桿件視為二力構件，拉力取正、壓力取負；每個節點均滿足：

圖中斜桿的水平、垂直投影分別為 $4\ \text{m}$、$3\ \text{m}$，故斜桿長為 $5\ \text{m}$，方向餘弦為 $4/5$、$3/5$。

解題方法

利用結構左右對稱，五個向下荷載總和為 $5P$，兩支承反力相同，因此：

由未受外力的端點節點 $F$、$L$，各自只有兩支不共線桿件，可判定：

在節點 $G$，因 $FG=0$，水平方向平衡得 $GH=0$；垂直方向平衡得 $GA=-P$，表示 $GA$ 受壓 $P$。

在節點 $A$，利用 $A_y=5P/2$ 與 $GA=-P$：

所以 $AH$ 受壓 $5P/2$，$AB$ 受拉 $2P$。在節點 $B$，由 $AB=2P$ 得 $BC=2P$，垂直方向平衡則得 $HB=0$。

接著在節點 $H$，利用 $HA=-5P/2$、$GH=HB=0$：

核心觀念

本題以**傾角變位法（斜率變位法）**求構架桿端彎矩。桿端彎矩以順時針為正；A 點固定，C 點為鉸支承，因此 $\theta_A=0$、$M_{CB}=0$。B 點為剛接，須滿足接點彎矩平衡。

採一般傾角變位法假設，忽略桿件軸向變形。A、C 兩端均無位移，AB 與 BC 的軸向不變形條件共同限制 B 點平移，因此無側移，只需求 $\theta_B$、$\theta_C$。

解題方法

取 AB 的方向為 A 至 B，BC 的方向為 B 至 C。圖中 $P=80\text{ kN}$ 垂直於 BC，方向為該桿件的局部正橫向，因此其固定端彎矩依順時針為正取號。

1. 固定端彎矩

AB 受全跨均佈載重 $w=20\text{ kN/m}$，長度 $6\text{ m}$：

BC 受跨中集中力，長度 $9\text{ m}$：

2. 列傾角變位方程式

A 點固定，故 $\theta_A=0$。各桿端彎矩為：

核心觀念

本題利用已知變位求出構件的等效勁度，再把圖四(c)中梁與兩支軸力桿視為共同抵抗垂直力的彈簧。各構件在 $H$ 點的垂直變位相同，總勁度為各構件勁度之和：

解題方法

圖四(a)的梁與圖四(c)的梁具有相同的支承形式、跨度配置及彎曲剛度：固定端至中間滾支承為 $L$，滾支承至端點為 $L$，全梁 $EI$ 相同。因此可用圖四(a)的變位資料求圖四(c)梁在端點的等效勁度：

圖四(b)的軸力桿長度為 $2L$，受 $10\ \text{kN}$ 時伸長 $0.5\ \text{mm}$，其軸向勁度為：