109 地方特考三等 土木工程 結構學 考古題詳解

109 年・地方特考・三等・土木工程
試題代碼 結構學

第 一 題25 分

圖 1 所示之梁桿件 ABCDEABCDE 中，CC 點為鉸接點。在圖示載重下，求 AA 點、BB 點及 DD 點的反力，並繪此整支梁的剪力圖與彎矩圖。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：AB=10 mAB=10\ \mathrm{m}、BC=4 mBC=4\ \mathrm{m}、CD=6 mCD=6\ \mathrm{m}、DE=4 mDE=4\ \mathrm{m}；ABAB 段及 DEDE 段承受均佈載重 20 kN/m20\ \mathrm{kN/m}。

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核心觀念

本題考「內鉸梁」的分段平衡，以及剪力圖、彎矩圖的基本關係：

  • 內鉸 CC 可傳遞軸力與剪力，但彎矩為零，因此 MC=0M_C=0。
  • 內鉸可將梁分成 ACAC、CECE 兩個自由體，分別列平衡方程式。
  • 均佈載重 ww 下，剪力沿梁長呈線性變化，彎矩呈二次曲線，且 dMdx=V\dfrac{dM}{dx}=V。

**圖示與題幹文字有一處差異：**掃描圖中的左側 20 kN/m20\ \mathrm{kN/m} 均佈載重由 AA 延伸至 CC，涵蓋 ABAB 與 BCBC；以下依照原圖計算。

解題方法

取向上反力為正，彎矩以正彎矩（下緣受拉）為正。座標 xx 自 AA 向右量，故各點位置為 A=0A=0、B=10B=10、C=14C=14、D=20D=20、E=24 mE=24\ \mathrm{m}。

1. 先分析右側 CECE

DEDE 段均佈載重的合力為 20(4)=80 kN20(4)=80\ \mathrm{kN}，作用於距 DD 向右 2 m2\ \mathrm{m} 處。令 CC 點作用在右段的豎向力為 Cy(右)C_y^{(右)}，則：

∑MD=0:−6Cy(右)−80(2)=0\sum M_D=0:\quad -6C_y^{(右)}-80(2)=0 Cy(右)=−803 kNC_y^{(右)}=-\frac{80}{3}\ \mathrm{kN}

負號代表右段受 CC 點向下作用力。由豎向力平衡：

Dy+Cy(右)−80=0⟹Dy=3203=106.67 kND_y+C_y^{(右)}-80=0 \quad\Longrightarrow\quad D_y=\frac{320}{3}=106.67\ \mathrm{kN}

2. 分析左側 ACAC

左段均佈載重合力為 20(14)=280 kN20(14)=280\ \mathrm{kN}，作用於距 AA 7 m7\ \mathrm{m} 處。作用在左段的鉸力方向與右段相反，為向上 803 kN\frac{80}{3}\ \mathrm{kN}。

對 AA 點取矩：

10By+14(803)−280(7)=0⟹By=4763=158.67 kN10B_y+14\left(\frac{80}{3}\right)-280(7)=0 \quad\Longrightarrow\quad B_y=\frac{476}{3}=158.67\ \mathrm{kN}

再由豎向力平衡：

Ay+By+803−280=0⟹Ay=2843=94.67 kNA_y+B_y+\frac{80}{3}-280=0 \quad\Longrightarrow\quad A_y=\frac{284}{3}=94.67\ \mathrm{kN}

全梁無水平外力，因此 Ax=0A_x=0。

剪力圖與彎矩圖

下列剪力、彎矩以 kN、kN·m 為單位。支承處剪力依反力大小跳升；CC 為內鉸，彎矩為零，剪力則連續。

剪力函數

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第 二 題25 分

如圖 2 所示之桁架結構，所有桿件之彈性模數 E=200 GPaE=200\ \mathrm{GPa} 與斷面積 A=1000 mm2A=1000\ \mathrm{mm}^2，試以單位力法（Unit-load method）求圖示載重下 CC 點之垂直變位及水平變位（以其他方法求解一律不予計分）。

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圖示資料：桁架節點為 AA、BB、CC、DD、EE；AB=4 mAB=4\ \mathrm{m}、BC=4 mBC=4\ \mathrm{m}、AE=3 mAE=3\ \mathrm{m}；CC 點受鉛直向下集中載重 90 kN90\ \mathrm{kN}。

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核心觀念

桁架桿件只承受軸力，使用單位力法計算節點變位：

δ=∑iNiniLiEA\delta=\sum_i\frac{N_i n_i L_i}{EA}

其中 NiN_i 為原載重下第 ii 桿件的軸力，nin_i 為沿欲求變位方向施加單位力時的桿件軸力，LiL_i 為桿長。本題各桿件的 EAEA 相同：

EA=(200 GPa)(1000 mm2)=200,000 kNEA=(200\,\text{GPa})(1000\,\text{mm}^2) =200{,}000\,\text{kN}

解題方法

取 A(0,0)A(0,0)、B(4,0)B(4,0)、C(8,0)C(8,0)、D(4,3)D(4,3)、E(0,3)E(0,3)。支承為 AA 點鉸支承、BB 點滾支承。EE 點無外力，且連接的 AEAE、EDED 兩桿不共線，因此兩者均為零力桿。

先求原載重下的支承反力。整體平衡得：

Ax=0,By(4)−90(8)=0A_x=0,\qquad B_y(4)-90(8)=0 By=180 kN,Ay=90−180=−90 kNB_y=180\,\text{kN},\qquad A_y=90-180=-90\,\text{kN}

由 CC 點平衡，DCDC 長度為 5 m5\,\text{m}，故：

35NDC=90⟹NDC=150 kN\frac{3}{5}N_{DC}=90 \quad\Longrightarrow\quad N_{DC}=150\,\text{kN} NBC=−45(150)=−120 kNN_{BC}=-\frac{4}{5}(150)=-120\,\text{kN}

再由 BB、DD 點平衡，可得 AB=−120 kNAB=-120\,\text{kN}、BD=−180 kNBD=-180\,\text{kN}、AD=150 kNAD=150\,\text{kN}。以下以拉力為正、壓力為負：

桿件桿長 LiL_i（m）原載重軸力 NiN_i（kN）
ABAB4−120-120
BCBC4−120-120
ADAD5150150
DCDC5150150
BDBD3−180-180
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第 三 題25 分

假設圖 3 之構架中各桿件之 EIEI 均相同，試以傾角變位法（Slope Deflection Method）求解各桿件之桿端彎矩及 DD 點的反力（以其他方法求解一律不予計分）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：AB=12 mAB=12\ \mathrm{m}、BC=6 mBC=6\ \mathrm{m}、BD=6 mBD=6\ \mathrm{m}；ABAB 桿件承受水平向右均佈載重 20 kN/m20\ \mathrm{kN/m}。

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核心觀念

本題以傾角變位法分析構架。各桿件的端彎矩由固定端彎矩、兩端轉角及弦轉角組成；有側移時，弦轉角也必須列入。取逆時針為正，桿端彎矩與轉角亦以逆時針為正：

Mij=MijF+2EIL(2θi+θj−3ψij),Mji=MjiF+2EIL(θi+2θj−3ψij)M_{ij}=M_{ij}^{F}+\frac{2EI}{L}\left(2\theta_i+\theta_j-3\psi_{ij}\right), \qquad M_{ji}=M_{ji}^{F}+\frac{2EI}{L}\left(\theta_i+2\theta_j-3\psi_{ij}\right)

圖中 A、CA、C 為固定端，DD 為鉸支承，因此 θA=θC=0\theta_A=\theta_C=0、MDB=0M_{DB}=0。均佈載重作用於 ABAB，其固定端彎矩大小為 wL2/12=240 kN⋅mwL^2/12=240\ \mathrm{kN\cdot m}。

解題方法

令 BB 點水平、鉛直位移分別為 Δx、Δy\Delta_x、\Delta_y，轉角為 θB\theta_B；DD 點轉角為 θD\theta_D。ABAB、BCBC、BDBD 的弦轉角均依各桿件方向計算。聯立桿端轉角關係、BB 點力矩平衡，以及水平與鉛直位移方向的平衡式，可得：

EIΔx=288007,EIΔy=460807,EIθB=EIθD=−76807EI\Delta_x=\frac{28800}{7},\qquad EI\Delta_y=\frac{46080}{7},\qquad EI\theta_B=EI\theta_D=-\frac{7680}{7}

以逆時針為正，代回傾角變位式所得桿端彎矩如下：

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第 四 題25 分

圖 4 之梁桿件 AA 點為固定支承（Fixed Support），在圖示載重下（ABAB 桿件的中點有集中載重 1000 kN1000\ \mathrm{kN} 及 CDCD 桿件的端點 DD 有集中彎矩 200 kN⋅m200\ \mathrm{kN\mathord{\cdot}m}），試以彎矩分配法（Moment Distribution Method）求解各桿件之桿端彎矩及繪此整支梁的剪力圖與彎矩圖，其中 ABAB 桿件斷面性質為 EIEI，BCBC 桿及 CDCD 桿件斷面性質為 2EI2EI（以其他方法求解一律不予計分）。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：AA 點至集中載重位置為 5 m5\ \mathrm{m}，集中載重位置至 BB 點為 5 m5\ \mathrm{m}，BC=10 mBC=10\ \mathrm{m}，CD=10 mCD=10\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題以彎矩分配法處理連續梁。各節點的桿端彎矩須符合節點力矩平衡；未平衡彎矩依各桿件的分配因數分配，再將可傳遞的彎矩傳至遠端。

全題採「桿端順時針為正」；剪力圖取 V=dM/dxV=dM/dx，彎矩圖以正值表示正彎矩。依圖示，DD 點外加順時針彎矩為 200 kN⋅m200\ \mathrm{kN\cdot m}。

解題方法

AB=10 mAB=10\ \mathrm m、BC=10 mBC=10\ \mathrm m、CD=10 mCD=10\ \mathrm m。ABAB 跨中集中力的固定端彎矩為

MABF=−PL8=−1000(10)8=−1250 kN⋅m,MBAF=+1250 kN⋅m.M_{AB}^{F}=-\frac{PL}{8}=-\frac{1000(10)}{8}=-1250\ \mathrm{kN\cdot m}, \qquad M_{BA}^{F}=+1250\ \mathrm{kN\cdot m}.

BCBC 無跨間荷載，固定端彎矩為零。CDCD 端點施加順時針彎矩，故自由端桿端彎矩為 MDC=−200 kN⋅mM_{DC}=-200\ \mathrm{kN\cdot m}；CDCD 在 CC 端的初始桿端彎矩為 MCD=+200 kN⋅mM_{CD}=+200\ \mathrm{kN\cdot m}。

分配因數與傳遞

在 BB 點，ABAB 遠端固定，BCBC 遠端視為固定：

KBA=4EI10=0.4EI,KBC=4(2EI)10=0.8EI.K_{BA}=\frac{4EI}{10}=0.4EI,\qquad K_{BC}=\frac{4(2EI)}{10}=0.8EI.

因此 BB 點分配因數為 DFBA=1/3DF_{BA}=1/3、DFBC=2/3DF_{BC}=2/3。

在 CC 點，BCBC 的端部轉動勁度為 0.8EI0.8EI；CDCD 遠端受外加端彎矩且無剪力，對 CC 點的有效轉動勁度為 3(2EI)/10=0.6EI3(2EI)/10=0.6EI。因此 CC 點分配因數為 DFCB=4/7DF_{CB}=4/7、DFCD=3/7DF_{CD}=3/7。BCBC 向遠端的傳遞係數為 1/21/2；CDCD 的 DD 端彎矩由外加彎矩決定，不傳遞至 DD 端。

先在 CC 點分配初始不平衡彎矩 +200+200：分配至 BCBC 為 −114.286-114.286，至 CDCD 為 −85.714 kN⋅m-85.714\ \mathrm{kN\cdot m}；傳遞至 BB 點的 BCBC 彎矩為 −57.143 kN⋅m-57.143\ \mathrm{kN\cdot m}。接著在 BB、CC 兩點依上述分配因數反覆分配與傳遞，至收斂後得到：

桿件端點桿端彎矩（順時針為正，kN⋅m\mathrm{kN\cdot m}）
MABM_{AB}−1512.5-1512.5
MBAM_{BA}+725+725
MBCM_{BC}−725-725
MCBM_{CB}−200-200
MCDM_{CD}+200+200
MDCM_{DC}−200-200
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