109 地方特考三等 土木工程 鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

109 年・地方特考・三等・土木工程
試題代碼 鋼筋混凝土學與設計

第 一 題25 分

已知一鋼筋混凝土簡支梁如下圖一、二所示，支承跨度 L=2.8 mL=2.8\ \text{m}，跨度中央受集中載重 PP。依靜力學得知，梁跨度中央斷面彎矩為：

M=PL4M=\frac{PL}{4}

混凝土矩形斷面寬度 30 cm30\ \text{cm}，有效深度 53 cm53\ \text{cm}，採用 D32 鋼筋（db=3.22 cmd_b=3.22\ \text{cm}、Ab=8.14 cm2A_b=8.14\ \text{cm}^2）共 3 支置於梁底層，每支鋼筋全長 3 m3\ \text{m}。

假設混凝土規定抗壓強度 fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\ \text{kgf/cm}^2，鋼筋規定降伏強度 fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\ \text{kgf/cm}^2，試求滿足規範撓曲強度要求 ϕMn≥Mu\phi M_n\geq M_u 的條件下，此梁可承受之設計載重 PuP_u 為若干？

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核心觀念

本題考查單筋矩形梁的名義撓曲強度 MnM_n、強度折減係數 ϕ\phi，以及由梁中央彎矩反算可承受的設計集中載重。依命題當年（民國 109 年）混凝土結構設計規範，先以等值矩形壓力塊求梁的強度，再依受拉鋼筋應變判定 ϕ\phi。

解題方法

鋼筋總面積為

As=3Ab=3(8.14)=24.42 cm2A_s=3A_b=3(8.14)=24.42\ \text{cm}^2

假設受拉鋼筋降伏，內力平衡可得壓力塊深度 aa：

a=Asfy0.85fc′b=24.42(4200)0.85(280)(30)=14.36 cma=\frac{A_s f_y}{0.85f'_c b} =\frac{24.42(4200)}{0.85(280)(30)} =14.36\ \text{cm}

取 β1=0.85\beta_1=0.85，中性軸深度為

c=aβ1=14.360.85=16.90 cmc=\frac{a}{\beta_1} =\frac{14.36}{0.85} =16.90\ \text{cm}

以鋼筋彈性模數 Es=2.04×106 kgf/cm2E_s=2.04\times10^6\ \text{kgf/cm}^2 計算時，受拉鋼筋應變為

εt=0.003d−cc=0.00353−16.9016.90=0.00641\varepsilon_t=0.003\frac{d-c}{c} =0.003\frac{53-16.90}{16.90} =0.00641
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第 二 題25 分

承上題，試以下列公式檢核 D32 鋼筋採用直線伸展，如圖一所示鋼筋全長 3 m3\ \text{m} 是否足夠？若否，應說明如何改善。

參考公式：

ℓd=0.19fyψtψefc′db\ell_d=\frac{0.19f_y\psi_t\psi_e}{\sqrt{f'_c}}d_b

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核心觀念

本題檢核受拉鋼筋的直線伸展長度。依題示公式，所需伸展長度為

ℓd=0.19fyψtψefc′db\ell_d=\frac{0.19f_y\psi_t\psi_e}{\sqrt{f'_c}}d_b

梁底鋼筋屬一般受拉鋼筋，採 ψt=1.0\psi_t=1.0；圖示未標示環氧樹脂塗層，採 ψe=1.0\psi_e=1.0。題目給定 fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\ \text{kgf/cm}^2、fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\ \text{kgf/cm}^2、db=3.22 cmd_b=3.22\ \text{cm}。

解題方法

先依公式算出所需伸展長度，再與鋼筋從跨中最大彎矩斷面延伸至鋼筋端部的可用長度比較。跨中是受拉鋼筋應力最大的斷面；圖示鋼筋全長為 3.0 m3.0\ \text{m}，跨中至任一端的可用長度為 3.0/2=1.5 m3.0/2=1.5\ \text{m}。

ℓd=0.19(4200)(1.0)(1.0)280(3.22)=153.5 cm≈1.54 m\ell_d =\frac{0.19(4200)(1.0)(1.0)}{\sqrt{280}}(3.22) =153.5\ \text{cm} \approx1.54\ \text{m}

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第 三 題25 分

已知一鋼筋混凝土 T 型斷面如下圖所示，混凝土規定抗壓強度 fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\ \text{kgf/cm}^2。假設斷面設計剪力 Vu=30 tfV_u=30\ \text{tf}，試依我國規範設計剪力鋼筋間距（取 5 cm5\ \text{cm} 的公倍數）。

參考資料：

  • D19 鋼筋：db=1.91 cmd_b=1.91\ \text{cm}、Ab=2.87 cm2A_b=2.87\ \text{cm}^2、fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\ \text{kgf/cm}^2
  • D13 鋼筋：db=1.27 cmd_b=1.27\ \text{cm}、Ab=1.27 cm2A_b=1.27\ \text{cm}^2、fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\ \text{kgf/cm}^2

圖示資料：翼板寬 70 cm70\ \text{cm}、翼板厚 15 cm15\ \text{cm}、腹板寬 20 cm20\ \text{cm}、底部寬 40 cm40\ \text{cm}，圖示垂直尺寸為 43 cm43\ \text{cm} 及 48 cm48\ \text{cm}；箍筋為 D13 hoops，縱向鋼筋為 10-D19。

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核心觀念

本題依民國 109 年我國《混凝土結構設計規範》的剪力設計規定，以剪力強度需求求出箍筋間距，再檢核箍筋間距上限及斷面最大剪力強度。

採用公式如下，正常重混凝土取 λ=1.0\lambda=1.0：

Vc=0.53fc′ bwd,ϕ=0.75,Vs=AvfytdsV_c=0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd,\qquad \phi=0.75,\qquad V_s=\frac{A_vf_{yt}d}{s}

其中 bwb_w 是腹板寬度；本題 D13 箍筋有兩個有效垂直肢，因此 Av=2AD13A_v=2A_{D13}。

解題方法

先由圖示縱向鋼筋位置求有效深度。10 支 D19 分為上下兩排、每排 5 支；從翼板底面量至兩排鋼筋中心的距離分別為 4343 cm、4848 cm，故鋼筋群中心距翼板底面為

yˉ=5(43)+5(48)10=45.5 cm\bar y=\frac{5(43)+5(48)}{10}=45.5\text{ cm}

由斷面頂面至鋼筋群中心的有效深度為

d=15+45.5=60.5 cmd=15+45.5=60.5\text{ cm}

腹板寬度 bw=20b_w=20 cm，D13 箍筋面積為

Av=2(1.27)=2.54 cm2A_v=2(1.27)=2.54\text{ cm}^2

先計算混凝土剪力強度：

Vc=0.53280(20)(60.5)=10,731 kgf=10.73 tfV_c=0.53\sqrt{280}(20)(60.5) =10{,}731\text{ kgf} =10.73\text{ tf}

所需剪力鋼筋名義強度為

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第 四 題25 分

已知一鋼筋混凝土方形柱斷面配筋如下圖所示，混凝土規定抗壓強度 fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\ \text{kgf/cm}^2，D25 鋼筋規定降伏強度 fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\ \text{kgf/cm}^2。其斷面分析軸力與彎矩強度互制曲線如下圖所示（外互制曲線未考慮強度折減因子，內互制曲線為考慮強度折減因子）。試依我國規範分別計算圖中 A 點的軸力，以及 B 點的軸力和彎矩值。答案必須包含單位。

參考資料：D25 鋼筋 db=2.54 cmd_b=2.54\ \text{cm}、Ab=5.07 cm2A_b=5.07\ \text{cm}^2、fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\ \text{kgf/cm}^2。

圖示資料：方形柱斷面為 40 cm×40 cm40\ \text{cm}\times40\ \text{cm}，配置 4-D25 鋼筋，鋼筋位置距各側邊 7 cm7\ \text{cm}，鋼筋間距為 26 cm26\ \text{cm}。

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核心觀念

本題考查柱斷面的軸力－彎矩互制曲線，以及柱的強度折減與最大軸壓強度限制。以下依命題當年（民國 109 年）《混凝土結構設計規範》計算。

圖中外曲線是名目強度互制曲線，內曲線是乘上強度折減因子 ϕ\phi 後的設計強度曲線。A 點為純軸壓方向的最大設計軸力；B 點為平衡破壞點，亦即拉力側最外層鋼筋剛好降伏。

解題方法

柱為橫箍筋柱，斷面尺寸為 40 cm×40 cm40\text{ cm}\times40\text{ cm}，配置 44 支 D25 鋼筋。截面總面積及鋼筋面積為

Ag=40(40)=1600 cm2,Ast=4(5.07)=20.28 cm2A_g=40(40)=1600\text{ cm}^2,\qquad A_{st}=4(5.07)=20.28\text{ cm}^2

取 β1=0.85\beta_1=0.85，鋼筋彈性模數 Es=2.04×106 kgf/cm2E_s=2.04\times10^6\text{ kgf/cm}^2。平衡點計算採考題慣用的 εy≈0.002\varepsilon_y\approx0.002。

A 點：最大設計軸力

全斷面受壓時的名目軸壓強度為

P0=0.85fc′(Ag−Ast)+fyAstP_0=0.85f'_c(A_g-A_{st})+f_yA_{st} P0=0.85(280)(1600−20.28)+4200(20.28)=461149 kgf=461.149 tfP_0=0.85(280)(1600-20.28)+4200(20.28) =461149\text{ kgf}=461.149\text{ tf}

橫箍筋柱的最大設計軸力須乘上 0.800.80 的軸力上限係數，且壓力控制時 ϕ=0.65\phi=0.65：

ϕPn,max⁡=0.65(0.80)P0=239.797 tf\phi P_{n,\max}=0.65(0.80)P_0 =239.797\text{ tf}

B 點：平衡點的設計軸力與彎矩

由截面圖，最外側受拉鋼筋距受壓側 d=40−7=33 cmd=40-7=33\text{ cm}，受壓鋼筋距受壓側 d′=7 cmd'=7\text{ cm}。平衡狀態下，混凝土最外緣壓應變為 0.0030.003，最外側拉力鋼筋應變為 εy≈0.002\varepsilon_y\approx0.002，因此

cb=0.0030.003+0.002d=0.6(33)=19.8 cmc_b=\frac{0.003}{0.003+0.002}d =0.6(33)=19.8\text{ cm} a=β1cb=0.85(19.8)=16.83 cma=\beta_1c_b=0.85(19.8)=16.83\text{ cm}

受壓鋼筋應變及應力為

εs′=0.003cb−d′cb=0.00319.8−719.8=0.001939\varepsilon'_s=0.003\frac{c_b-d'}{c_b} =0.003\frac{19.8-7}{19.8}=0.001939
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