107 地方特考三等 土木工程 鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

本題解題以命題當年（民國 107 年）內政部頒布之《結構混凝土設計規範》（民國 100 年版，主要參照 ACI 318-11）為基準；現行法規相關設計原則與計算公式維持一致。

核心觀念

1. 鋼筋最小保護層厚度（規範第 3.14 節）：保護層主要提供鋼筋防蝕、防火保護並確保握裏力傳遞。依構件暴露環境與澆置條件（如直接澆置於土壤、接觸土壤、暴露於天候或嚴苛腐蝕環境），規範定有不同的法定最小厚度。
2. 混凝土極限壓應變（規範第 3.3.3 節）：強度設計法中，受彎構件受壓側最外緣極限可用應變固定採用 $\epsilon_u = 0.003$。
3. 混凝土撓曲開裂拉應變：開裂瞬間混凝土仍處於線彈性階段，開裂應力為破裂模數（Modulus of Rupture）$f_r$。由虎克定律可知開裂拉應變 $\epsilon_{cr} = f_r / E_c$。
4. 對稱雙翼 $T$ 型梁有效翼緣寬度（規範第 13.2 節）：承受正彎矩之 $T$ 型梁，其翼緣應力受剪力遲滯（Shear Lag）影響分佈不均勻，規範採等效矩形應力分佈之有效寬度 $b$，並取跨度、版厚伸出寬度及梁中心距三者之最小值。

解題方法

(一) 現場澆置混凝土（非預力）之鋼筋最小保護層厚度

依規範第 3.14.1 節及第 3.14.4 節規定：

1. 地下室外牆外側：

• 地下室外牆通常採用模板澆置，拆模後外側直接接觸土壤或暴露於天候：
• 主筋為 $\mathrm{D19}$ 至 $\mathrm{D57}$ 鋼筋：最小保護層厚度為 $5.0\ \mathrm{cm}$。
• 主筋為 $\mathrm{D16}$ 及以下鋼筋：最小保護層厚度為 $4.0\ \mathrm{cm}$。
• 若施工條件為「無模板直接於土壤開挖面澆置且終生與土壤接觸者」，則最小保護層厚度為 $7.5\ \mathrm{cm}$。

2. 海港構造物與海水接觸者：

• 屬嚴重腐蝕環境，依規範及港灣構造物設計標準，現場澆置混凝土與海水直接接觸者，其鋼筋最小保護層厚度不得小於 $7.5\ \mathrm{cm}$（若處於浪濺區／飛濺區，實務與規範常要求提高至 $10.0\ \mathrm{cm}$）。

(二) 混凝土最大壓應變與撓曲開裂時之最大拉應變

1. 混凝土最大壓應變： 依規範規定，受彎構件受壓外緣之最大可用極限壓應變應採用： $\epsilon_u = 0.003$

2. 撓曲開裂時對應之混凝土最大拉應變 $\epsilon_{cr}$： 混凝土受撓曲達到破裂邊緣時，受拉最外緣應力達破裂模數 $f_r$。 以常重混凝土與重力單位制（$\mathrm{kgf/cm^2}$）計算：

• 破裂模數公式： $f_r = 2.0\sqrt{f'_c} = 2.0\sqrt{315} \approx 35.50\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 混凝土彈性模數公式： $E_c = 15,000\sqrt{f'_c} = 15,000\sqrt{315} \approx 266,224\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 在開裂臨界點，混凝土拉伸行為符合虎克定律：

核心觀念

本題依命題當年（民國 107 年）適用之「混凝土工程設計規範與解說（土木 401-100）」進行分析與設計（註：內政部現行法已修正為「混凝土結構設計規範（土木 401-110）」，受彎構材拉力控制斷面之強度折減係數 $\phi=0.90$ 維持相同）。本題評量之核心觀念包含：

1. 有效深度 $d$ 與最外層鋼筋深度 $d_t$ 之計算： 受拉鋼筋採雙層排列時，須依規範檢核保護層與鋼筋垂直淨距，準確算出最外層鋼筋重心位置 $d_t$ 及全體受拉鋼筋合力重心之有效深度 $d$。
2. $\mathrm{T}$ 型斷面之受壓行為判定： 比較全翼緣均勻受壓之合力 $C_{cf} = 0.85 f'_c b h_f$ 與全體鋼筋降伏拉力 $T = A_s f_y$：

• 若 $T \le C_{cf}$，等價矩形應力塊深度 $a \le h_f$，中性軸位於翼緣內，依「寬度為 $b$ 之矩形梁」分析。
• 若 $T > C_{cf}$，等價矩形應力塊深度 $a > h_f$，中性軸深入腹梁，為「真正 $\mathrm{T}$ 型梁行為」，需拆分為「懸伸翼緣」與「腹梁」兩部分計算。

3. 混凝土等價矩形應力塊參數 $\beta_1$： 依規範規定，當 $f'_c > 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，每增加 $70\ \mathrm{kgf/cm^2}$，$\beta_1$ 減小 $0.05$（但 $\beta_1 \ge 0.65$）： $\beta_1 = 0.85 - 0.05 \times \frac{f'_c - 280}{70}$
4. 極限應變與強度折減係數 $\phi$： 中性軸深度 $c = a / \beta_1$。由平面斷面應變線性分佈計算最外層鋼筋拉應變 $\epsilon_t$： $\epsilon_t = 0.003 \left( \frac{d_t - c}{c} \right)$ 當 $\epsilon_t \ge 0.005$ 時，斷面屬於拉力控制斷面，強度折減係數 $\phi = 0.90$，且鋼筋應力達 $f_y$。

解題方法

步驟一：斷面幾何與有效深度 $d$、$d_t$ 計算

1. 鋼筋截面積： $A_s = 8 \times 8.143\ \mathrm{cm^2} = 65.144\ \mathrm{cm^2}$
2. 鋼筋排列與保護層檢核：

• 主筋 $D32$（$d_b = 3.22\ \mathrm{cm}$）、箍筋 $D13$（$d_v = 1.27\ \mathrm{cm}$）、梁淨保護層厚度依規範取 $4.0\ \mathrm{cm}$。
• 梁寬 $b_w = 35\ \mathrm{cm}$，雙層排列每層配置 $4\text{-}D32$。水平淨距為： $s_h = \frac{35 - 2 \times 4.0 - 2 \times 1.27 - 4 \times 3.22}{3} = \frac{11.58}{3} = 3.86\ \mathrm{cm} > d_b\ (3.22\ \mathrm{cm}) \quad (\text{符合規範})$

3. 計算最外層鋼筋深度 $d_t$： 最外層（底層）鋼筋中心至梁底之距離： $y_1 = 4.0 + 1.27 + \frac{3.22}{2} = 6.88\ \mathrm{cm}$ $d_t = h - y_1 = 60 - 6.88 = 53.12\ \mathrm{cm}$
4. 計算鋼筋合力中心之有效深度 $d$： 依規範規定，雙層鋼筋垂直層間淨距不得小於 $2.5\ \mathrm{cm}$。取垂直淨距 $s_v = 2.5\ \mathrm{cm}$： 第二層鋼筋中心至梁底距離： $y_2 = y_1 + d_b + s_v = 6.88 + 3.22 + 2.50 = 12.60\ \mathrm{cm}$ 全體受拉鋼筋合力中心至梁底距離： $y_c = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{6.88 + 12.60}{2} = 9.74\ \mathrm{cm}$ $d = h - y_c = 60 - 9.74 = 50.26\ \mathrm{cm}$ (註：若層間垂直淨距取 $d_b = 3.22\ \mathrm{cm}$，則 $y_c = 10.10\ \mathrm{cm}$，$d = 49.90\ \mathrm{cm} \approx 50.0\ \mathrm{cm}$。以下以規範精確值 $d=50.26\ \mathrm{cm}$ 進行標準計算)。

步驟二：材料參數與 $\mathrm{T}$ 型斷面受壓行為判別

1. 計算應力塊深度折減參數 $\beta_1$： $f'_c = 315\ \mathrm{kgf/cm^2} > 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ $\beta_1 = 0.85 - 0.05 \times \frac{315 - 280}{70} = 0.85 - 0.025 = 0.825 \quad (0.65 \le \beta_1 \le 0.85)$
2. 判別斷面型態： 假定受拉鋼筋降伏，全拉力為： $T = A_s f_y = 65.144 \times 4{,}200 = 273{,}605\ \mathrm{kgf}$ 全翼緣（$b = 100\ \mathrm{cm}$，$h_f = 10\ \mathrm{cm}$）均勻受壓時所能提供之最大壓力合力： $C_{cf} = 0.85 f'_c b h_f = 0.85 \times 315 \times 100 \times 10 = 267{,}750\ \mathrm{kgf}$ 因為 $T = 273{,}605\ \mathrm{kgf} > C_{cf} = 267{,}750\ \mathrm{kgf}$，混凝土等價應力塊深入腹梁（$a > h_f = 10\ \mathrm{cm}$），故此梁為真正 $\mathrm{T}$ 型梁。

步驟三：求等價應力塊深度 $a$ 與中性軸深度 $c$

將壓力區拆解為「懸伸翼緣」與「腹梁」兩部分：

1. 懸伸翼緣混凝土受壓合力 $C_f$ 及對應之平衡鋼筋面積 $A_{sf}$： $C_f = 0.85 f'_c (b - b_w) h_f = 0.85 \times 315 \times (100 - 35) \times 10 = 174{,}038\ \mathrm{kgf}$ $A_{sf} = \frac{C_f}{f_y} = \frac{174{,}038}{4{,}200} = 41.438\ \mathrm{cm^2}$

核心觀念

本題以命題當年（民國 107 年）之法規《混凝土工程設計規範與解說（土木 401-100）》（等同內政部發布之《混凝土結構設計規範》）為準。（註：現行設計規範載重組合與剪力設計原則精神一致）。

本題核心評量重點為梁構件之受剪行為與剪力筋設計流程：

1. 設計載重組合與外力分析：

• 載重組合：$U = 1.2D + 1.6L$
• 剪力臨界斷面位置：依規範規定，一般受壓支承構件且支承面至距離 $d$ 內無集中載重時，臨界剪力斷面取距支承面 $d$ 處。

2. 混凝土受剪強度（$V_c$）與斷面限制：

• 簡化公式：$V_c = 0.53\sqrt{f'_c} b_w d$（$\text{kgf/cm}^2$、$\text{cm}$ 單位制）。
• 強度折減係數：受剪控制 $\phi = 0.75$。
• 斷面抗剪上限檢核：$V_s \le 2.12\sqrt{f'_c} b_w d = 4V_c$，避免混凝土在鋼筋降伏前過早發生斜壓破碎。

3. 剪力筋間距計算與規範上限（$s_{\max}$）：

• 強度需求間距：$s = \dfrac{A_v f_{yt} d}{V_s}$（雙肢箍筋 $A_v = 2 a_b$）。
• 規範最大間距限制：
• 若 $V_s \le 1.06\sqrt{f'_c} b_w d = 2V_c$，則 $s_{\max} \le \min\left(\dfrac{d}{2},\ 60\ \text{cm}\right)$。
• 若 $V_s > 1.06\sqrt{f'_c} b_w d$，則 $s_{\max} \le \min\left(\dfrac{d}{4},\ 30\ \text{cm}\right)$。
• 最小剪力鋼筋量間距限制：$s \le \dfrac{A_v f_{yt}}{0.2\sqrt{f'_c} b_w}$ 且 $s \le \dfrac{A_v f_{yt}}{3.5 b_w}$。

4. 剪力筋配置範圍判定：

• 需配剪力筋之法定範圍：當 $V_u \ge \dfrac{1}{2}\phi V_c$ 時，即必須配置剪力筋。

解題方法

一、設計載重與剪力力圖分析

1. 極限載重計算：

• 均布因數化載重： $w_u = 1.2 w_D = 1.2 \times 5.0 = 6.0\ \text{tf/m} = 60\ \text{kgf/cm}$
• 中央集中因數化載重： $P_u = 1.6 P_L = 1.6 \times 20 = 32.0\ \text{tf} = 32{,}000\ \text{kgf}$

2. 支承反力與剪力分布：

• 對稱簡支梁兩端支承反力： $R_u = \frac{w_u L_n}{2} + \frac{P_u}{2} = \frac{6.0 \times 6}{2} + \frac{32.0}{2} = 18.0 + 16.0 = 34.0\ \text{tf} = 34{,}000\ \text{kgf}$
• 由支承向跨中（$0 \le x \le 3\ \text{m}$）之剪力函數： $V_u(x) = R_u - w_u x = 34.0 - 6.0 x\ (\text{tf})$

3. 臨界斷面剪力值（$x = d = 0.5\ \text{m}$）： $V_u(d) = 34.0 - 6.0 \times 0.5 = 31.0\ \text{tf} = 31{,}000\ \text{kgf}$

二、混凝土剪力強度與斷面檢核

1. 混凝土所能承受之剪力強度 $V_c$： $V_c = 0.53\sqrt{f'_c} b_w d = 0.53 \times \sqrt{315} \times 35 \times 50 \approx 0.53 \times 17.748 \times 1750 = 16{,}462\ \text{kgf} \approx 16.46\ \text{tf}$ $\phi V_c = 0.75 \times 16{,}462 = 12{,}346\ \text{kgf} \approx 12.35\ \text{tf}$ $\frac{1}{2}\phi V_c = \frac{1}{2} \times 12{,}346 = 6{,}173\ \text{kgf} \approx 6.17\ \text{tf}$

2. 斷面尺寸適核性：

• 臨界斷面所需鋼筋抗剪強度： $V_s = \frac{V_u}{\phi} - V_c = \frac{31{,}000}{0.75} - 16{,}462 = 41{,}333 - 16{,}462 = 24{,}871\ \text{kgf} \approx 24.87\ \text{tf}$
• 斷面極限上限值： $V_{s,\max} = 2.12\sqrt{f'_c} b_w d = 4 V_c = 4 \times 16{,}462 = 65{,}848\ \text{kgf} = 65.85\ \text{tf}$
• $V_s = 24.87\ \text{tf} < V_{s,\max} = 65.85\ \text{tf}$，梁斷面尺寸符合規定。

三、子題 (一) 計算：剪力筋之最小間距

全梁外力剪力最大之處位於臨界斷面（$x = d$），此處所需之鋼筋抗剪強度 $V_s$ 最大，故計算所得之剪力筋間距為全梁配置之最小（最密）間距。

• 採用 D13 雙肢閉合箍筋： $A_v = 2 \times a_b = 2 \times 1.267 = 2.534\ \text{cm}^2$
• 依強度需求計算間距： $s_{\text{req}} = \frac{A_v f_{yt} d}{V_s} = \frac{2.534 \times 2{,}800 \times 50}{24{,}871} = \frac{354{,}760}{24{,}871} \approx 14.26\ \text{cm}$
• 鋼筋施工最小淨距檢核： 梁剪力筋淨距需滿足大於鋼筋直徑 $d_b = 1.27\ \text{cm}$、粗骨材最大粒徑之 $4/3$ 及 $2.5\ \text{cm}$。本題間距約 $14\ \text{cm}$，遠大於施工淨距下限。
• 實務工程取整數配置時，取不超過理論計算值之間距：$s = 14\ \text{cm}$（理論精確值為 $14.26\ \text{cm}$）。

四、子題 (二) 計算：剪力筋之最大間距與配置範圍

核心觀念

本題以民國 107 年考題當時適用之規範（內政部頒布《結構混凝土設計規範》第 2.3 節、第 3.3 節，即規範依據 ACI 318 精神）為準。現行規範在章節編號上已重新編排調整，但基本力學原理與強度計算公式維持一致。本題核心考點如下：

1. 斷面平截面假定與應變相容條件：混凝土極限壓應變取 $\epsilon_{cu} = 0.003$。應變隨離中性軸之距離呈線性分佈： $\epsilon_s = \epsilon_{cu} \frac{c - d_i}{c}$
2. 惠特尼等效矩形應力塊（Whitney Stress Block）：

• 應力塊深度 $a = \beta_1 c$。
• 依規範規定，當 $f'_c > 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時： $\beta_1 = 0.85 - \frac{0.05 \times (f'_c - 280)}{70} \quad (\text{且 } 0.65 \le \beta_1 \le 0.85)$
• 混凝土受壓合力 $C_c = 0.85 f'_c a b$。

3. 鋼筋之應力與降伏判斷：

• 鋼筋彈性模數取 $E_s = 2.04 \times 10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$（或 $2.0 \times 10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$），降伏應變 $\epsilon_y = f_y / E_s \approx 0.00206$。
• 若 $|\epsilon_s| \ge \epsilon_y$，鋼筋降伏，應力 $|f_s| = f_y = 4{,}200\ \mathrm{kgf/cm^2}$；若未降伏，則 $f_s = E_s \epsilon_s$。

4. 偏心柱斷面力平衡與強度計算：

• 軸力標稱強度：$P_n = \sum C - \sum T$。
• 彎矩標稱強度：對斷面塑性中心（本題對稱斷面即為幾何中心）取矩，$M_n = \sum M$。

5. 強度折減係數 $\phi$ 之過渡區判定：

• 檢核最外層受拉鋼筋之淨拉應變 $\epsilon_t$。橫箍筋構件於 $\epsilon_y \le \epsilon_t < 0.005$ 區間屬於過渡斷面： $\phi = 0.65 + (\epsilon_t - 0.002) \times \frac{0.25}{0.003}$

解題方法

一、 幾何尺寸與鋼筋排列配置

1. 斷面與彎矩作用方向：

• 題目指定中性軸為鉛直方向，右側受壓、左側受拉，故受彎方向深度 $h = 60\ \mathrm{cm}$，受壓面柱寬 $b = 40\ \mathrm{cm}$。
• 斷面塑性中心位於對稱幾何中心，距最外側受壓纖維（右邊緣）距離 $\bar{y} = h/2 = 30\ \mathrm{cm}$。

2. 鋼筋排數與面積分配：

• 配置 $12\text{-}D25$ 鋼筋（單根面積 $a_b = 5.067\ \mathrm{cm^2}$），依橫箍筋柱之標準外圍配置（4 個角筋 + 4 個邊面上各 2 根中間筋）：
• 第 1 排（最右側受壓鋼筋，4 根）：$A_{s1} = 4 \times 5.067 = 20.268\ \mathrm{cm^2}$
• 第 2 排（由右至左第二排，2 根）：$A_{s2} = 2 \times 5.067 = 10.134\ \mathrm{cm^2}$
• 第 3 排（由右至左第三排，2 根）：$A_{s3} = 2 \times 5.067 = 10.134\ \mathrm{cm^2}$
• 第 4 排（最左側受拉鋼筋，4 根）：$A_{s4} = 4 \times 5.067 = 20.268\ \mathrm{cm^2}$

3. 各排鋼筋距右側受壓邊緣距離 $d_i$：

• 保護層中心距離標示為 $6.5\ \mathrm{cm}$，第一排距右緣 $d_1 = 6.5\ \mathrm{cm}$。
• 鋼筋排間距標示為 $15\ \mathrm{cm}$，第二排距右緣 $d_2 = 6.5 + 15 = 21.5\ \mathrm{cm}$。
• 對稱配筋下，最外側受拉排（第 4 排）距右緣 $d_4 = 60 - 6.5 = 53.5\ \mathrm{cm}$。
• 第 3 排距右緣 $d_3 = 53.5 - 15 = 38.5\ \mathrm{cm}$。

二、 中性軸深度與混凝土等效受壓塊

1. 中性軸位置：題目指定中性軸恰位於右側第二排鋼筋位置，故： $c = d_2 = 21.5\ \mathrm{cm}$
2. 計算係數 $\beta_1$： $\beta_1 = 0.85 - \frac{0.05 \times (315 - 280)}{70} = 0.85 - 0.025 = 0.825$
3. 等效應力塊深度 $a$： $a = \beta_1 c = 0.825 \times 21.5 = 17.7375\ \mathrm{cm}$
4. 混凝土受壓合力 $C_c$ 及其作用位置： $C_c = 0.85 f'_c a b = 0.85 \times 315 \times 17.7375 \times 40 = 189{,}968.6\ \mathrm{kgf} \approx 189.97\ \mathrm{tf}$

• $C_c$ 作用點距右側受壓緣距離 $\bar{x}_c = a / 2 = 17.7375 / 2 = 8.86875\ \mathrm{cm}$。
• 對塑性中心之力臂： $y_{Cc} = 30 - 8.86875 = 21.13125\ \mathrm{cm}$

三、 各排鋼筋應變、應力與合力檢核

鋼筋降伏應變 $\epsilon_y = 4{,}200 / (2.04 \times 10^6) = 0.00206$。

1. 第 1 排鋼筋（受壓）： $\epsilon_{s1} = 0.003 \times \frac{c - d_1}{c} = 0.003 \times \frac{21.5 - 6.5}{21.5} = 0.002093 > \epsilon_y \implies \text{已降伏}$ $f'_{s1} = 4{,}200\ \mathrm{kgf/cm^2}$ $C_{s1} = A_{s1} f'_{s1} = 20.268 \times 4{,}200 = 85{,}125.6\ \mathrm{kgf} \approx 85.13\ \mathrm{tf}$

• 對塑性中心力臂：$y_1 = 30 - 6.5 = 23.5\ \mathrm{cm}$。

2. 第 2 排鋼筋（位於中性軸上）： $\epsilon_{s2} = 0.003 \times \frac{c - d_2}{c} = 0 \implies f_{s2} = 0,\quad F_{s2} = 0$

3. 第 3 排鋼筋（受拉）：