107 地方特考三等 土木工程 靜力學與材料力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查靜態定不定度與靜力平衡分析中的經典主題——平面桁架內力分析（Plane Truss Analysis），主要運用之定義與原理如下：

1. 整體外力平衡（Equations of Equilibrium）： 平面力系滿足三獨立平衡方程式： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$ 由於桁架幾何尺寸與外載重具對稱性，可直接求得兩端支承之反力。
2. 節點法（Method of Joints）： 適用於未知桿件數小於或等於 2 的節點，由節點質點平衡方程式 $\sum F_x = 0$ 與 $\sum F_y = 0$ 解出桿件內力。
3. 截面法（Method of Sections）與 K 型桁架（K-Truss）特性： 在切取通過網狀斜桿之截面時，利用兩傾斜對角桿件交會於中間節點之幾何特徵：

• 該中間節點之水平平衡要求兩對角斜桿之水平分量相互抵消（$\sum F_x = 0$），故一桿受拉、另一桿必受等值之壓。
• 截面所承受之外剪力完全由兩斜桿之垂直分量共同承擔（$\sum F_y = 0$）。

4. 拉力與壓力之符號慣例：

• 桿件受拉力（Tension, $\mathrm{T}$）以正值（$+$）表示。
• 桿件受壓力（Compression, $\mathrm{C}$）以負值（$-$）表示。

解題方法

一、幾何座標與整體支承反力分析

以左端鉸支承節點 $A$ 為原點 $(0, 0)$，建立平面直角坐標系（單位：$\mathrm{m}$）：

• 下弦節點：$A(0, 0)$、$B(6, 0)$、$E(9, 0)$、$G(12, 0)$、$J(18, 0)$
• 中間高度節點：$C(6, 4)$、$H(12, 4)$
• 上弦節點：$D(6, 8)$、$F(9, 8)$、$I(12, 8)$

外載重分別為：

• 節點 $B$：$P_B = 2\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$
• 節點 $E$：$P_E = 4\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$
• 節點 $G$：$P_G = 2\ \mathrm{kN}\ (\downarrow)$

外載重總和： $\sum P_y = 2 + 4 + 2 = 8\ \mathrm{kN}$

全結構與載重均對稱於中央垂直線 $x = 9\ \mathrm{m}$，故兩端垂直支承反力相等： $R_{Ay} = R_{Jy} = \frac{8\ \mathrm{kN}}{2} = 4\ \mathrm{kN}\ (\uparrow)$

由水平整體平衡： $\sum F_x = 0 \implies R_{Ax} = 0$

二、求 $AD$ 桿內力（節點法）

取左端節點 $A(0, 0)$ 為隔離體：

• 承受向上反力 $R_{Ay} = 4\ \mathrm{kN}$。
• 連接水平下弦桿 $AB$ 及傾斜端柱桿 $AD$。
• 桿件 $AD$ 連接 $(0, 0)$ 至 $(6, 8)$： $\Delta x = 6\ \mathrm{m}, \quad \Delta y = 8\ \mathrm{m}, \quad L_{AD} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{m}$ $\sin\theta_{AD} = \frac{8}{10} = 0.8, \quad \cos\theta_{AD} = \frac{6}{10} = 0.6$

由節點 $A$ 之垂直平衡條件： $\sum F_y = 0 \implies R_{Ay} + F_{AD}\sin\theta_{AD} = 0$ $4 + F_{AD}\times 0.8 = 0 \implies F_{AD} = -5\ \mathrm{kN} = 5\ \mathrm{kN}\ (\mathrm{C})$

三、求 $BE$ 與 $FI$ 桿內力（截面法）

在第二格間（$6\ \mathrm{m} < x < 9\ \mathrm{m}$）作一垂直截面切開上弦桿 $DF$、斜桿 $CF$ 與 $CE$、下弦桿 $BE$：

• 斜桿 $CF$ 連接 $(6, 4)$ 至 $(9, 8)$，$\Delta x = 3\ \mathrm{m}, \Delta y = 4\ \mathrm{m}, L = 5\ \mathrm{m}$。
• 斜桿 $CE$ 連接 $(6, 4)$ 至 $(9, 0)$，$\Delta x = 3\ \mathrm{m}, \Delta y = -4\ \mathrm{m}, L = 5\ \mathrm{m}$。
• 其方向三角比均為 $\cos\theta = 0.6,\ \sin\theta = 0.8$。

1. 節點 $C(6, 4)$ 之水平平衡： 節點 $C$ 左側無水平桿件，因此兩斜桿在節點 $C$ 之水平平衡式為： $\sum F_x = 0 \implies (F_{CF} + F_{CE})\cos\theta = 0 \implies F_{CE} = -F_{CF}$

2. 截面水平平衡： 取截面左半段自由體，其水平力總和為： $\sum F_x = 0 \implies F_{DF} + F_{BE} + (F_{CF} + F_{CE})\cos\theta = 0$ 代入 $F_{CF} + F_{CE} = 0$，得： $F_{DF} + F_{BE} = 0 \implies F_{DF} = -F_{BE}$

3. 對節點 $C(6, 4)$ 取力矩： 左側受反力 $R_{Ay} = 4\ \mathrm{kN}$（力臂 $6\ \mathrm{m}$），載重 $P_B = 2\ \mathrm{kN}$ 之作用線通過節點 $C$（力臂為 $0$）。 兩斜桿 $CF$ 與 $CE$ 均通過節點 $C$（力矩為 $0$）。 上弦桿 $DF$ 與下弦桿 $BE$ 至節點 $C$ 之垂直力臂均為 $4\ \mathrm{m}$： $\sum M_C = 0 \implies R_{Ay}(6) + F_{DF}(4) - F_{BE}(4) = 0$

核心觀念

本題考查三維多軸應力狀態（3D State of Stress）、主應力（Principal Stresses）求解與**絕對最大剪應力（Absolute Maximum Shear Stress）**的觀念與計算。

1. 主應力與主平面定義：剪應力為零的截面稱為主平面，其上承受之正應力即為主應力。若應力張量中某一座標面之剪應力皆為零，則該軸即為一主軸。
2. 三維主應力求法：

• 若某座標軸（如 1 軸）與其他兩軸無剪應力偶合（$\tau_{12} = \tau_{13} = 0$），則該軸正應力即為其中一個主應力：$\sigma_a = \sigma_{11}$。
• 另兩主應力則由 2-3 平面的平面應力公式求得： $\sigma_{b, c} = \frac{\sigma_{22} + \sigma_{33}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_{22} - \sigma_{33}}{2}\right)^2 + \tau_{23}^2}$

3. 三維最大剪應力公式： 將三主應力由大至小排列（$\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$），材料所承受之絕對最大剪應力必發生在主應力 $\sigma_1$ 與 $\sigma_3$ 所夾之 45 度面上： $\tau_{\max} = \frac{\sigma_{\max} - \sigma_{\min}}{2} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$

解題方法

步驟一：列出應力張量並判定已知主軸

依題意，材料之三維應力張量可寫為：

由矩陣可直接看出，在 1 方向上之剪應力 $\tau_{12} = \tau_{13} = 0$。因此，1 軸本身即為一主應力方向，其對應的主應力為： $\sigma_a = \sigma_{11} = 11\ \mathrm{MPa}$

步驟二：求解 2-3 平面之主應力

在 2-3 平面中，已知正應力與剪應力為 $\sigma_{22} = 4\ \mathrm{MPa}$、$\sigma_{33} = 4\ \mathrm{MPa}$、$\tau_{23} = 5\ \mathrm{MPa}$。 利用平面主應力轉換公式：

核心觀念

1. 平截面保持平面假定（Euler-Bernoulli 梁理論）：梁在純撓曲變形下，斷面之正應變 $\epsilon$ 沿梁深呈線性分佈，即 $\epsilon(y) = \kappa y$（其中 $y$ 為至中性軸之垂直距離，$\kappa$ 為梁之曲率）。
2. 線彈性完美塑性（Elastic-Perfectly Plastic）本構行為：

• 材料之降伏應變為 $\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E}$。
• 當斷面纖維應變 $|\epsilon| \le \epsilon_y$ 時，處於線彈性階段，應力 $\sigma = E\epsilon$。
• 當斷面纖維應變 $|\epsilon| > \epsilon_y$ 時，材料進入塑性流動，應力維持為常數 $\sigma = \sigma_y$。

3. 部分塑性（彈塑性）斷面之抵抗彎矩： 斷面應力由中央的「彈性核心區（Elastic core）」與外緣的「塑性區（Plastic zones）」共同組成，斷面內部抵抗彎矩為應力對中性軸之面積矩： $M = \int_A \sigma y \, dA = M_e + M_p'$
4. 梁之靜力平衡：斷面處之內力抗彎矩 $M$ 必須平衡外載重所產生的外力彎矩 $M_{\text{ext}} = F \cdot x$（$x$ 為集中力至該斷面之間之力臂長度）。

解題方法

本題原卷圖三中，斷面 $a$-$a$ 位於懸臂梁固定端（最大彎矩斷面，距自由端力臂 $x = \ell = 10\ \mathrm{m}$）；圖五顯示斷面 $a$-$a$ 之外緣最大應變為 $\epsilon_{\max} = 0.002$。

步驟一：計算材料之降伏應變 $\epsilon_y$

由圖四之線彈性完美塑性應力-應變關係，彈性模數 $E = 200\ \mathrm{GPa} = 200 \times 10^3\ \mathrm{MPa}$，降伏強度 $\sigma_y = 200\ \mathrm{MPa}$： $\epsilon_y = \frac{\sigma_y}{E} = \frac{200\ \mathrm{MPa}}{200 \times 10^3\ \mathrm{MPa}} = 0.001$

步驟二：確定斷面 $a$-$a$ 之彈性核心邊界與塑性區分佈

梁為正方形對稱斷面，寬 $b = 12\ \mathrm{cm} = 0.12\ \mathrm{m}$，高 $h = 12\ \mathrm{cm} = 0.12\ \mathrm{m}$。中性軸通過形心，上、下最外緣距離中性軸為： $c = \frac{h}{2} = 6\ \mathrm{cm} = 0.06\ \mathrm{m}$

依平截面假定，應變沿高度呈線性分佈： $\epsilon(y) = \epsilon_{\max} \frac{y}{c}$ 已知最外緣應變 $\epsilon_{\max} = 0.002$。令應變達到降伏應變 $\epsilon_y = 0.001$ 之交界位置距離中性軸為 $y_y$： $\frac{y_y}{c} = \frac{\epsilon_y}{\epsilon_{\max}} = \frac{0.001}{0.002} = \frac{1}{2} \implies y_y = \frac{1}{2} c = 3\ \mathrm{cm} = 0.03\ \mathrm{m}$

斷面應力分佈分為兩個區域：

• 彈性核心區（$-3\ \mathrm{cm} \le y \le 3\ \mathrm{cm}$，厚度 $2y_y = 6\ \mathrm{cm}$）：應力隨高度線性變化，$\sigma(y) = \sigma_y \frac{y}{y_y}$。
• 上、下塑性區（$3\ \mathrm{cm} \le |y| \le 6\ \mathrm{cm}$，厚度各為 $c - y_y = 3\ \mathrm{cm}$）：應力達到降伏極限，保持為常數 $|\sigma(y)| = \sigma_y = 200\ \mathrm{MPa}$。

步驟三：計算斷面 $a$-$a$ 之內部抵抗彎矩 $M$

總抗彎矩為彈性核心貢獻 $M_e$ 與塑性區貢獻 $M_p'$ 之和：

1. 彈性核心提供之彎矩 $M_e$： $M_e = \int_{-y_y}^{y_y} \sigma(y) \cdot y \cdot b \, dy = \frac{\sigma_y}{y_y} b \int_{-y_y}^{y_y} y^2 \, dy = \frac{2}{3} b y_y^2 \sigma_y$ 代入數值：

核心觀念

本題評量軸向桿件在「外力」與「溫度效應」共同作用下的應力與變形分析，屬於一維靜不定（兩端固定）與熱應力綜合題型。涵蓋的核心公式如下：

1. 軸向機械變形（虎克定律，Hooke's Law）： $\delta_\sigma = \frac{\sigma \ell}{E}$ 其中 $\sigma$ 為軸向拉應力，$\ell$ 為桿件原長，$E$ 為材料彈性模數（Elastic Modulus）。

2. 自由熱膨脹變形： $\delta_T = \alpha (\Delta T) \ell$ 其中 $\alpha$ 為材料之線熱膨脹係數（Coefficient of Thermal Expansion），$\Delta T = T - T_0$ 為溫度變化量。

3. 重疊原理（Principle of Superposition）： 在線彈性範圍內，總伸長量為機械變形與熱變形之代數和： $\delta = \delta_\sigma + \delta_T = \frac{\sigma \ell}{E} + \alpha (\Delta T) \ell$

4. 兩端固定之熱應力拘束條件： 桿件兩端固定時，總變形量必為零（$\delta_{\text{total}} = 0$）。當溫度下降（$\Delta T < 0$）時，桿件受固定端拉扯拘束，將在內部誘發軸向拉應力： $\sigma_t = E \alpha |\Delta T|$ 當誘發之拉應力達到材料之極限抗拉能力時，材料即產生拉力開裂破壞，故此時之 $\sigma_t$ 即為材料之抗拉強度（Tensile strength, $f_t$）。

解題方法

步驟一：由前兩階段受力與升溫條件，聯立求解材料參數 $\alpha$ 與 $E$

已知桿件原始長度 $\ell = 10\ \mathrm{m} = 1000\ \mathrm{cm} = 10000\ \mathrm{mm}$，外加均勻拉應力 $\sigma = 10\ \mathrm{MPa} = 10\ \mathrm{N/mm^2}$。

1. 第一階段（溫度由 $20^\circ\mathrm{C}$ 升至 $30^\circ\mathrm{C}$）：

• 溫差 $\Delta T_1 = 30^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 10^\circ\mathrm{C}$
• 總伸長量 $\delta_1 = 0.6\ \mathrm{cm} = 6\ \mathrm{mm}$

建立變形方程式： $\delta_1 = \frac{\sigma \ell}{E} + \alpha \Delta T_1 \ell$ $\frac{10 \times 10000}{E} + \alpha \times 10 \times 10000 = 6$ $\frac{10^5}{E} + 10^5 \alpha = 6 \quad \text{--- (式 1)}$

2. 第二階段（溫度再升至 $50^\circ\mathrm{C}$）：

• 相對於基準溫度 $20^\circ\mathrm{C}$，溫差 $\Delta T_2 = 50^\circ\mathrm{C} - 20^\circ\mathrm{C} = 30^\circ\mathrm{C}$
• 總伸長量 $\delta_2 = 0.8\ \mathrm{cm} = 8\ \mathrm{mm}$

建立變形方程式： $\delta_2 = \frac{\sigma \ell}{E} + \alpha \Delta T_2 \ell$ $\frac{10 \times 10000}{E} + \alpha \times 30 \times 10000 = 8$ $\frac{10^5}{E} + 3 \times 10^5 \alpha = 8 \quad \text{--- (式 2)}$

3. 解聯立方程式： 以 (式 2) 減去 (式 1)：