111 地方特考三等 土木工程 靜力學與材料力學 考古題詳解

如圖一所示，桿件 $AC$ 與 $BC$ 在 $A$ 點與 $B$ 點均以插銷（pin）連結於支承上。$\angle CAB=\angle CBA=60^\circ$。在節點 $C$ 上受到水平力 $P$ 作用（$P>0$）。

桿件 $AC$ 彈性係數為 $68.9\ \mathrm{GPa}$，拉伸與壓縮的降伏強度為 $255\ \mathrm{MPa}$。桿件 $BC$ 彈性係數為 $200\ \mathrm{GPa}$，拉伸與壓縮的降伏強度為 $250\ \mathrm{MPa}$。

桿件 $AC$ 與桿件 $BC$ 的截面均為 $40\ \mathrm{mm}\times40\ \mathrm{mm}$ 的方形截面，兩桿件的長度均為 $0.1\ \mathrm{m}$。本題忽略桿件自重所帶來的影響。

注意，以下數據解題可能需要：$\sqrt{3}=1.732$，$\pi=3.14159$。

(一) 請求出桿件 $AC$ 與 $BC$ 所受到的軸力大小（以 $P$ 表示），並標明其為張力或是壓力。（12 分）

(二) 若桿件受壓時的挫曲狀況之安全因子設為 $2$，而受軸力的降伏狀況之安全因子為 $1.5$，而且不論哪根桿件挫曲或降伏，即視為失敗。據此，請問水平力 $P$ 的最大值為多少？（13 分）

圖一：桿件 $AC$、$BC$ 及節點 $C$ 受水平力 $P$ 作用之示意圖。

如圖二所示，有一軸力構件 $AB$，兩端為固定支承（Fix end）。構件的長度 $L=2\ \mathrm{m}$，構件由 A36 鋼材所製作，其彈性模數為 $E=200\ \mathrm{GPa}$，構件的截面為圓形，其半徑為 $0.1\ \mathrm{m}$。構件中央處為 $C$ 點。

已知在 $AC$ 段受到分布軸力

施加，$x=0$ 處為 $A$ 點，$x$ 軸向右為正。圓周率 $\pi=3.14159$。

據此，請求出 $A$ 端與 $B$ 端的反力各自為何。（25 分）

圖二：軸力構件 $AB$、中央點 $C$、分布軸力 $p(x)$ 及截面示意圖。

如圖三所示，有一機構由一個 $1/4$ 圓弧曲桿 $ABC$ 以及一直桿 $BD$ 所構成。

在曲桿的 $A$ 端為鉸支承（以三角形表示），在 $C$ 端為滾支承（以圓形表示），曲桿與直桿的聯結在 $B$ 點為插銷。直桿 $BD$ 與水平軸夾角為 $45^\circ$。

在曲桿上的 $E$ 點受到外力 $F=10\ \mathrm{kN}$ 作用，$E$ 點受力之力線延伸可以交於 $1/4$ 圓弧曲桿的圓心處。

現在假設在 $D$ 點的接觸有靜摩擦係數 $\mu_s=0.25$。本題解題可能用到以下數據：$\sqrt{3}=1.732$，$\sqrt{2}=1.4142$。

請問系統能夠保持靜力平衡嗎？若是可以，請問在 $D$ 點的摩擦力大小最大為多少，$A$ 支承反力多少，$C$ 支承反力又為多少？（25 分）

圖三：由 $1/4$ 圓弧曲桿 $ABC$ 與直桿 $BD$ 所構成之機構示意圖，圖中標示外力 $F$、$D$ 點摩擦力 $F_D$、各支承及桿件位置。

如圖四所示，圖中尺寸為 $\mathrm{mm}$。陰影區域為一高度 $12\ \mathrm{mm}$、寬度為 $8\ \mathrm{mm}$ 的矩形區域，其中挖去一直徑為 $4\ \mathrm{mm}$ 的半圓形區域，該半圓形區域的圓心座落在矩形區域的幾何中心處。

請求出該陰影區域之幾何中心點之座標為何？請以圖中所標示的 $X$-$Y$ 座標系統表示。

過此幾何中心點平行 $X$ 軸之二次面積矩為何？注意，解題可能需要圓周率 $\pi=3.14159$。（25 分）

圖四：陰影矩形區域及其內挖去之半圓形區域，圖中標示 $X$、$Y$ 座標軸與尺寸。