111 地方特考三等 土木工程 結構學 考古題詳解

111 年・地方特考・三等・土木工程
試題代碼 結構學

第 一 題25 分

如圖一所示梁結構及受外力下之剪力圖，試求對應該剪力圖下梁所受到之外力，並畫於該梁上。此外，試畫出對應之彎矩圖。

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核心觀念

剪力圖的斜率代表分布荷載的大小與方向；剪力圖的跳躍量代表該處集中力的大小與方向。彎矩圖則由剪力圖積分得到：

dVdx=−w,dMdx=V\frac{dV}{dx}=-w,\qquad \frac{dM}{dx}=V

以下採剪力圖上方為正、彎矩圖以正彎矩為正的慣例。梁上 AA 至 EE 每段長 3 m3\,\text{m}，BB 為內鉸，因此 MB=0M_B=0；EE 為滾支承，因此 ME=0M_E=0。

解題方法

由剪力圖還原外力

  • **AA 至 BB：**剪力由 1212 線性降至 6 kN6\,\text{kN}，長度為 3 m3\,\text{m}。因此有向下均布荷載
w=12−63=2 kN/m.w=\frac{12-6}{3}=2\,\text{kN/m}.

  • **BB 點：**剪力由 66 跳至 2 kN2\,\text{kN}，跳躍量為 −4 kN-4\,\text{kN}，故有向下集中力 4 kN4\,\text{kN}。

  • **CC 點：**剪力由 +2+2 跳至 −4 kN-4\,\text{kN}，跳躍量為 −6 kN-6\,\text{kN}，故有向下集中力 6 kN6\,\text{kN}。

  • **DD 點：**剪力由 −4-4 跳至 +2 kN+2\,\text{kN}，跳躍量為 +6 kN+6\,\text{kN}，故有向上集中力 6 kN6\,\text{kN}。

  • **EE 點：**圖示剪力由 +2+2 降至 0 kN0\,\text{kN}，故剪力圖所反映的端點合力為向下 2 kN2\,\text{kN}。

  • **AA 點：**剪力圖起始值為 +12 kN+12\,\text{kN}，表示 AA 處有向上反力 12 kN12\,\text{kN}。

因此，依剪力圖應在梁上標出：AA 向上 12 kN12\,\text{kN}；ABAB 段向下 2 kN/m2\,\text{kN/m}；BB 向下 4 kN4\,\text{kN}；CC 向下 6 kN6\,\text{kN}；DD 向上 6 kN6\,\text{kN}；EE 向下 2 kN2\,\text{kN}。

按圖面支承符號，EE 是梁下方的滾支承；若把剪力圖在 EE 的跳躍直接視為該支承反力，會得到向下反力，與一般滾支承只能提供向上接觸反力的情況不符。上列外力是依題示剪力圖讀得的合力；

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第 二 題25 分

如圖二所示桁架，若所有受拉桿件之張力強度皆為 200 kN200\ \text{kN}，所有受壓桿件之壓力強度皆為 100 kN100\ \text{kN}，試求該桁架破壞時之外力 PP 為何？

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核心觀念

本題用節點法求桁架桿件軸力，再將各桿的軸力與容許強度比較。受拉桿件的張力上限為 200 kN200\ \text{kN}，受壓桿件的壓力上限為 100 kN100\ \text{kN}；最先達到強度上限的桿件控制桁架破壞。

全桁架跨度為 24 m24\ \text{m}，三個向下的集中力均為 PP。由對稱性及整體平衡：

Ay=Ey=3P2,Ax=0A_y=E_y=\frac{3P}{2},\qquad A_x=0

解題方法

先利用零力桿件，再由支承端逐節點求軸力。以下以拉力為正、壓力為負。

節點 KK 僅連接 FKFK、KJKJ 兩根不共線桿件，且沒有外力，因此：

FK=KJ=0FK=KJ=0

節點 FF、JJ 因而可得 AF=FG=EJ=IJ=0AF=FG=EJ=IJ=0。

在節點 AA，由鉛直與水平平衡：

AG2+3P2=0⟹AG=−322P\frac{AG}{\sqrt{2}}+\frac{3P}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad AG=-\frac{3\sqrt{2}}{2}P AB+AG2=0⟹AB=3P2AB+\frac{AG}{\sqrt{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad AB=\frac{3P}{2}

所以 AGAG 受壓，ABAB 受拉。節點 GG 平衡可得：

BG=GH=−3P2BG=GH=-\frac{3P}{2}

兩桿均受壓。

在節點 BB，鉛直平衡式為：

BH2+3P2−P=0⟹BH=−22P\frac{BH}{\sqrt{2}}+\frac{3P}{2}-P=0 \quad\Longrightarrow\quad BH=-\frac{\sqrt{2}}{2}P

故 BHBH 受壓。水平平衡則得：

−AB+BC+BH2=0⟹BC=2P-AB+BC+\frac{BH}{\sqrt{2}}=0 \quad\Longrightarrow\quad BC=2P

所以 BCBC 受拉。節點 CC 平衡得 CD=2PCD=2P（受拉）、CH=PCH=P（受拉）。

再看節點 HH。已知 GH=−3P/2GH=-3P/2、BH=−2P/2BH=-\sqrt{2}P/2、CH=PCH=P，由鉛直及水平平衡得：

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第 三 題25 分

如圖三所示兩根簡支梁（ABAB 及 CDCD）上面有一塊均質板（尺寸 5 m×25 m5\ \text{m}\times25\ \text{m}），該板上有兩道均布載重（方向為 ZZ 方向），EFEF 線上均布載重大小為 4 kN/m4\ \text{kN/m}，GHGH 線上均布載重大小為 20 kN/m20\ \text{kN/m}。

假設板重量可以忽略不計，且與簡支梁之接合只能傳遞力量，不能傳遞彎矩。若希望受力後整個板與梁所構成之斷面不要扭轉（對 XX 軸），假設左梁與右梁材料相同，斷面都為矩形，梁寬皆為 90 cm90\ \text{cm}，梁深各為 hLh_L、hRh_R，已知 hL=120 cmh_L=120\ \text{cm}，試求 hRh_R。

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核心觀念

板的兩道均布載重會依各自作用位置，分配到左、右兩根簡支梁。板與梁的接合只傳遞力量，因此先用板的橫向力平衡求出兩梁的縱向分布載重。

「整個斷面不要對 XX 軸扭轉」表示板兩側支承處的垂直撓度相同。兩梁跨距、材料及梁寬相同，故可令兩梁的簡支梁撓度相等，反求右梁所需梁深。

解題方法

由圖中 Q−QQ-Q 剖面可讀出：板寬為 5 m5\ \text{m}，20 kN/m20\ \text{kN/m} 載重距左梁 2 m2\ \text{m}，4 kN/m4\ \text{kN/m} 載重距左梁 4 m4\ \text{m}。

取板每一單位縱向長度，設左、右梁承受的分布載重分別為 qLq_L、qRq_R。對板作垂直力平衡與力矩平衡：

qL+qR=20+4=24 kN/mq_L+q_R=20+4=24\ \text{kN/m}

以左梁位置取矩：

qR(5)=20(2)+4(4)q_R(5)=20(2)+4(4)

因此

qR=11.2 kN/m,qL=24−11.2=12.8 kN/mq_R=11.2\ \text{kN/m},\qquad q_L=24-11.2=12.8\ \text{kN/m}

兩梁均為跨距 L=25 mL=25\ \text{m}、承受全跨均布載重的簡支梁，其跨中撓度為

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第 四 題25 分

如圖四所示構架，各桿件之 EIEI 及 LL（長度）都相同，集中力係垂直作用於桿件中點。若 L=10 mL=10\ \text{m}，試以傾角變位法求取各桿件之桿端彎矩，假設桿端彎矩採順時針為正。（以其他方法作答者一律不予以計分。）

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核心觀念

本題考傾角變位法。圖中 A、D 端由垂直導向支承限制水平位移，B、C 端為鉸支承；在忽略軸向變形的傾角變位分析中，各節點沒有側移，故桿件弦轉角均為零。支承為鉸接不代表相連桿件的節點彼此鉸接，因此 B、C 節點仍須滿足相連桿件端彎矩平衡。

採順時針為正，且各桿件長度均為 LL，傾角變位式為

Mij=MijF+2EIL(2θi+θj),Mji=MjiF+2EIL(θi+2θj)M_{ij}=M_{ij}^{F}+\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j),\qquad M_{ji}=M_{ji}^{F}+\frac{2EI}{L}(\theta_i+2\theta_j)

其中 MFM^F 為固定端彎矩，θi,θj\theta_i,\theta_j 為節點順時針轉角。

解題方法

令

xi=2EILθix_i=\frac{2EI}{L}\theta_i

圖示 A、D 的外加 30 kN⋅m30\ \text{kN·m} 偶矩均為逆時針，因此依題定順時針為正，兩端外加偶矩各為 −30 kN⋅m-30\ \text{kN·m}。

兩根柱的跨中水平力均向右，大小為 24 kN24\ \text{kN}。固定端彎矩大小為

PL8=24(10)8=30 kN⋅m\frac{PL}{8}=\frac{24(10)}{8}=30\ \text{kN·m}

依各柱方向及順時針正號，固定端彎矩為：

AB:MABF=+30,MBAF=−30CD:MCDF=−30,MDCF=+30\begin{aligned} &AB:\quad M_{AB}^{F}=+30,\quad M_{BA}^{F}=-30\\ &CD:\quad M_{CD}^{F}=-30,\quad M_{DC}^{F}=+30 \end{aligned}

梁 BCBC 無桿件荷載，故兩端固定端彎矩皆為零。代入傾角變位式：

MAB=30+2xA+xBMBA=−30+xA+2xBMBC=2xB+xCMCB=xB+2xCMCD=−30+2xC+xDMDC=30+xC+2xD\begin{aligned} M_{AB}&=30+2x_A+x_B\\ M_{BA}&=-30+x_A+2x_B\\ M_{BC}&=2x_B+x_C\\ M_{CB}&=x_B+2x_C\\ M_{CD}&=-30+2x_C+x_D\\ M_{DC}&=30+x_C+2x_D \end{aligned}
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