110 地方特考三等 土木工程 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題判斷平面結構的：

• 靜定度：僅利用各構件的平衡方程式，能否唯一求出所有支承反力與內力。
• 穩定度：結構是否具有剛體運動或機構運動。
• 平面剛架每一個剛體可列三個平衡方程式：

$\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

• 圓圈表示內鉸，內鉸不能傳遞彎矩，但可傳遞水平力與垂直力。
• 三角形支承視為鉸支承，可提供兩個反力。
• 固定端可提供水平反力、垂直反力及反力矩，共三個反力。

判斷時應同時注意：

1. 反力與內力未知數是否能由平衡方程式唯一決定。
2. 內鉸是否形成四連桿機構。
3. 即使未知數數量相符，若構件排列形成機構，仍屬不穩定。

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解題方法

對含內鉸結構，最有效的方法是：

1. 先找出內鉸位置，將結構分割成數個剛體。
2. 對各剛體分別列平衡方程式。
3. 檢查是否存在機構。
4. 若無機構，再以未知反力數與獨立平衡方程式比較靜定度。

其中，若兩根柱底均為鉸支承，且柱中間以鉸接水平桿連接，便形成典型的四連桿機構，結構會發生側向變形而不穩定。

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各小題分析

（一）

此結構為兩端支承梁，中間設有一個內鉸。

內鉸將梁分成左右兩個剛體。內鉸處彎矩為零，因此可以分別對左右兩段列平衡方程式。內鉸所傳遞的水平力與垂直力，配合兩端支承反力，足以由平衡方程式唯一求得。

因此：

• 結構具有足夠的支承約束。
• 中央內鉸可將結構分割，使反力可逐段求解。
• 不會形成機構。

判定：穩定、靜定。

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（二）

此結構由多個梁段組成，梁段之間以內鉸連接，且各內鉸位置均有支承。

每一跨均可視為獨立的簡支梁段。由於內鉸處彎矩為零，各梁段均可分別列出：

$\sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

水平反力則由整體水平平衡求得。各支承反力不需依靠變形相容條件求解，因此不屬靜不定結構。

同時，各梁段均有明確支承，不會發生剛體移動或機構運動。

判定：穩定、靜定。

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（三）

兩根柱底均為鉸支承，兩柱中間以內鉸水平桿連接；上方梁柱組成剛架。

下部的兩根柱、水平桿及地面支承，形成類似四連桿的機構：

• 左柱可繞左柱底鉸支承轉動。
• 右柱可繞右柱底鉸支承轉動。
• 中間水平桿兩端均為鉸接，無法限制兩柱相對轉動。

因此結構可產生側向機構運動。雖然外觀上具有支承與梁柱構件，但約束不足，不能保持幾何形狀。

判定：不穩定，屬機構結構；靜定度無意義。

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（四）

本結構的兩根柱底仍為鉸支承，柱與中間水平桿的連接處為內鉸。下部構件仍可視為兩根鉸接柱與一根鉸接水平桿所形成的四連桿系統。

由於內鉸不傳遞彎矩，只能傳遞兩方向的力量，無法阻止柱件繞柱底轉動。結構因此具有一個側向自由度，可產生機構運動。

上方剛架雖然具有剛性，但其下方連接系統已經不穩定，無法使整體結構穩定。

核心觀念

本題利用中央鉸 $B$ 將連續梁分成兩個靜定部分，並以「單位移動集中力」建立各支承反力的影響線。

• $A$ 為鉸支承，$C、E$ 為滾支承。
• $B$ 為內鉸，因此必有 $M_B=0.$
• 取向下單位力作為影響線之荷載。
• 圖示均佈載重作用於 $AC$，強度為 $1.5\ t/m$。
• $D$ 點有向下集中力 $6\ t$。
• $F$ 端施加順時針力矩 $12\ t\cdot m$。

以下取向上反力為正、剪力向上為正、彎矩正號採下緣受拉之正彎矩。

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（一）各反力影響線

令移動單位力位置為 $x$，並以 $B$ 為基準表示右側座標。

1. $R_A$ 影響線

當單位力位於 $AB$ 內，左跨 $AB$ 為簡支梁：

$$R_A=\frac{4-x}{4},\qquad 0\le x\le 4$$

當單位力位於 $B$ 右側時，左跨 $AB$ 無外力，故 $R_A=0$。

因此：

• $A$ 點：$R_A=1$
• $B$ 點：$R_A=0$
• $C、D、E、F$：$R_A=0$

影響線為 $A$ 點高度 $1$，線性下降至 $B$ 點 $0$，其後皆為零。

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2. $R_C$ 影響線

單位力位於 $AB$

由左跨 $AB$：

$$R_A=\frac{4-x}{4}$$

內鉸 $B$ 傳至右側之向下力為：

$$\frac{x}{4}$$

右側以 $C、E$ 為支承，故：

$$R_C=\frac{9x}{20},\qquad 0\le x\le4$$

因此：

$$R_C(A)=0,\qquad R_C(B)=\frac95$$

單位力位於 $BF$

令單位力距離 $B$ 為 $z$，則 $C$ 至 $E$ 間距離為 $5\ m$。取 $C$ 點力矩：

$$5R_E-(z-4)=0$$

所以：

$$R_E=\frac{z-4}{5}$$

再由垂直力平衡：

$$R_C+R_E=1$$

得：

$$R_C=\frac{9-z}{5},\qquad 0\le z\le12$$

各重要點之影響線縱座標為：

$$\begin{array}{c|cccccc} \text{位置}&A&B&C&D&E&F\\ \hline R_C&0&\frac95&1&\frac35&0&-\frac35 \end{array}$$

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3. $R_E$ 影響線

各重要點之影響線縱座標為：

$$\begin{array}{c|cccccc} \text{位置}&A&B&C&D&E&F\\ \hline R_E&0&-\frac45&0&\frac25&1&\frac85 \end{array}$$

因此影響線由下列各點以直線連接：

• $A：0$
• $B：-\frac45$
• $C：0$
• $D：\frac25$
• $E：1$
• $F：\frac85$

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（二）利用影響線計算各反力

1. $R_A$

均佈載重只在 $AB$ 之影響線下形成三角形，面積為：

$$\frac12(4)(1)=2$$

故均佈載重所造成之反力為：

$$R_A=1.5(2)=3\ t$$

$D$ 點集中力及 $F$ 端力矩對 $R_A$ 均無影響，因此：

$$\boxed{R_A=3\ t\ \text{向上}}$$

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2. $R_C$

均佈載重在 $AB$

影響線面積：

$$A_{AB}=\frac12(4)\left(\frac95\right)=\frac{18}{5}=3.6$$

因此：

$$R_{C,AB}=1.5(3.6)=5.4\ t$$

均佈載重在 $BC$

影響線為梯形：

$$A_{BC}=4\left(\frac{\frac95+1}{2}\right)=\frac{28}{5}=5.6$$

因此：

$$R_{C,BC}=1.5(5.6)=8.4\ t$$

$D$ 點集中力

$D$ 點影響線縱座標為：

$$R_C(D)=\frac35$$

故：

$$R_{C,D}=6\left(\frac35\right)=3.6\ t$$

$F$ 端順時針力矩

在 $EF$ 段，$R_C$ 影響線斜率為：

$$\frac{-3/5-0}{3}=-\frac15$$

因此力矩 $12\ t\cdot m$ 所造成之反力為：

$$R_{C,M}=12\left(-\frac15\right)=-2.4\ t$$

合計：

$$R_C=5.4+8.4+3.6-2.4$$ $$\boxed{R_C=15\ t\ \text{向上}}$$

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3. $R_E$

均佈載重在 $AB$

影響線面積為負三角形：

$$A_{AB}=-\frac12(4)\left(\frac45\right)=-1.6$$

故：

$$R_{E,AB}=1.5(-1.6)=-2.4\ t$$

均佈載重在 $BC$

影響線為負三角形：

$$A_{BC}=-\frac12(4)\left(\frac45\right)=-1.6$$

故：

核心觀念

本題為外伸簡支梁，採共軛梁法時使用：

• 原梁彎矩圖 $M$ 對應共軛梁荷載 $M/EI$。
• 共軛梁剪力對應原梁傾角。
• 共軛梁彎矩對應原梁垂直變位。
• $A$、$B$ 兩支承處原梁撓度皆為零，因此可利用 $A$、$B$ 間的撓度相容條件求 $\theta_A$。

取向下荷載為正，並令正彎矩造成的曲率為正。

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一、求支承反力及彎矩函數

全梁均佈載重：

$$w=12\ \text{kN/m},\qquad L=8\ \text{m}$$

總載重為：

$$W=12(8)=96\ \text{kN}$$

以 $A$ 點取矩：

$$R_B(6)=96(4)$$

因此：

$$R_B=64\ \text{kN}$$ $$R_A=96-64=32\ \text{kN}$$

令 $x$ 自 $A$ 點向右量。

$AB$ 段：$0\leq x\leq 6$

$$M_1(x)=32x-\frac{12x^2}{2} =32x-6x^2$$

在 $B$ 點：

$$M_B=32(6)-6(6)^2=-24\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

$BC$ 段：$6\leq x\leq 8$

令 $s=x-6$，則：

$$M_2(s)=-24+24s-6s^2,\qquad 0\leq s\leq 2$$

且：

$$M_C=0$$

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二、鉸支承 $A$ 端之傾角

在共軛梁法中，$M/EI$ 為荷載。由 $A$、$B$ 兩點撓度均為零，利用面積矩關係：

$$0=\theta_A(6)+\int_0^6 \frac{(6-x)M_1(x)}{EI}\,dx$$

因此：

$$\theta_A =-\frac{1}{6EI}\int_0^6(6-x)(32x-6x^2)\,dx$$

展開被積式：

$$(6-x)(32x-6x^2) =192x-68x^2+6x^3$$

所以：

$$\begin{aligned} \int_0^6(192x-68x^2+6x^3)\,dx &=\left[96x^2-\frac{68}{3}x^3+\frac{3}{2}x^4\right]_0^6\\ &=504\ \text{kN}\cdot\text{m}^2 \end{aligned}$$

故：

$$\boxed{\theta_A=-\frac{84}{EI}}$$

負號表示 $A$ 點切線向右行進時向下傾斜，即順時針方向。若只問傾角大小：

$$\boxed{|\theta_A|=\frac{84}{EI}}$$

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三、自由端 $C$ 之垂直變位

先求 $B$ 點傾角。

核心觀念

本題為左右對稱之靜不定剛架，採「斜率－位移法」分析。由於結構、材料及載重皆對稱：

• 剛架不發生側移。
• $B、C$ 點轉角大小相等、方向相反。
• 忽略桿件軸向變形，僅考慮彎曲變形。
• $AB=CD=\sqrt{4^2+3^2}=5\text{ m}$。
• $BC=8\text{ m}$。
• $EI_{BC}=EI$，$EI_{AB}=EI_{CD}=2.5EI$。
• $BC$ 承受均佈載重 $w=15\text{ t/m}$。

斜率－位移法基本式為

$$M_{ij}=M_{ij}^{F}+\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j)$$ $$M_{ji}=M_{ji}^{F}+\frac{2EI}{L}(2\theta_j+\theta_i)$$

其中 $M^F$ 為固定端彎矩。

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解題方法與節點轉角

1. 固定端彎矩

僅桿件 $BC$ 受均佈載重：

$$M_{BC}^{F}=-\frac{wL^2}{12} =-\frac{15(8)^2}{12} =-80\text{ t-m}$$ $$M_{CB}^{F}=+80\text{ t-m}$$

由對稱性，

$$\theta_C=-\theta_B$$

2. 桿件勁度係數

對斜桿 $AB$：

$$\frac{2EI_{AB}}{L_{AB}} =\frac{2(2.5EI)}{5}=EI$$

對水平桿 $BC$：

$$\frac{2EI_{BC}}{L_{BC}} =\frac{2EI}{8}=\frac{EI}{4}$$

3. $B$ 點力矩平衡

斜桿 $BA$ 在 $B$ 點之端彎矩為

$$M_{BA}=EI(2\theta_B)=2EI\theta_B$$

水平桿 $BC$ 在 $B$ 點之端彎矩為

$$M_{BC} =-80+\frac{EI}{4}(2\theta_B+\theta_C)$$

代入 $\theta_C=-\theta_B$：

$$M_{BC}=-80+\frac{EI}{4}\theta_B$$

節點 $B$ 力矩平衡：

$$M_{BA}+M_{BC}=0$$ $$2EI\theta_B-80+\frac{EI}{4}\theta_B=0$$ $$\frac{9}{4}EI\theta_B=80$$

因此

$$\theta_B=\frac{320}{9EI}$$ $$\theta_C=-\frac{320}{9EI}$$

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各桿件端彎矩

1. 桿件 $AB$

$$M_{AB}=EI\theta_B =\frac{320}{9} =35.56\text{ t-m}$$ $$M_{BA}=2EI\theta_B =\frac{640}{9} =71.11\text{ t-m}$$

換成彎矩圖的實際截面彎矩：

• $A$ 點：$+35.56\text{ t-m}$
• $B$ 點：$-71.11\text{ t-m}$

2. 桿件 $BC$

$$M_{BC} =-80+\frac{EI}{4}\theta_B =-80+\frac{80}{9} =-\frac{640}{9}$$ $$M_{BC}=-71.11\text{ t-m}$$

由對稱性，$C$ 點亦為

$$M_{CB}=-71.11\text{ t-m}$$

因此桿件 $BC$ 兩端皆為負彎矩。

3. 桿件 $CD$

由對稱性：

• $C$ 點：$-71.11\text{ t-m}$
• $D$ 點：$+35.56\text{ t-m}$

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剪力圖

1. 水平桿 $BC$

全跨載重：

$$wL=15(8)=120\text{ t}$$

由對稱性，$B、C$ 兩端垂直剪力皆為

$$V_B=V_C=60\text{ t}$$

因此 $BC$ 桿剪力為

$$V(x)=60-15x,\qquad 0\leq x\leq 8$$

重要位置：