110 地方特考三等 土木工程 土壤力學與基礎工程 考古題詳解

核心觀念

本題考查鋼板樁下方之二維穩定滲流流網，使用：

1. 達西定律與流網滲流量公式 $q=kH\frac{N_f}{N_d}$

2. 孔隙水壓與總水頭關係 $h=z+\frac{u}{\gamma_w}$

3. 有效應力原理 $\sigma'=\sigma-u$

其中：

• $N_f$：流槽數
• $N_d$：水頭降落數
• $H$：上下游水位差
• $q$：單位寬度滲流量

解題方法：流網與滲流量

1. 已知條件

上下游水位差：

$H=8-0=8\text{ m}$

滲透係數：

依題意採用 $3$ 個流槽：

$N_f=3$

依鋼板樁、下方不透水層及上下游水位繪製流網。流線必須滿足：

• 鋼板樁表面為不透水邊界，屬於流線；
• 下方不透水層為流線；
• 上下游水位為等水頭線；
• 流線與等水頭線互相正交；
• 各流槽及各水頭降落區域盡量形成曲線正方形。

本題流網可取：

$N_f=3,\qquad N_d=8$

每一個等水頭降落量為：

2. 滲流量

依流網公式：

$q=kH\frac{N_f}{N_d}$

代入：

$q=(7\times10^{-6})(8)\frac{3}{8}$

因此：

$\boxed{q=2.1\times10^{-5}\text{ m}^3/\text{s per m width}}$

亦可表示為：

$\boxed{q=0.021\text{ L/s per m width}}$

A 點有效應力

A 點位於下游地表，且下游水位就在地表，因此：

• 高程：$z_A=0$
• 總水頭：$h_A=0$
• 孔隙水壓：

$u_A=\gamma_w(h_A-z_A)=0$

A 點位於地表，總應力亦為：

$\sigma_A=0$

所以：

$\sigma'_A=\sigma_A-u_A=0$

故：

$\boxed{\sigma'_A=0\text{ kPa}}$

B 點有效應力

B 點位於鋼板樁尖端，深度為 $6\text{ m}$。

1. B 點總水頭

鋼板樁及土層幾何形狀左右對稱，而上下游總水頭分別為 $8\text{ m}$ 與 $0\text{ m}$，因此鋼板樁尖端 B 位於中央等水頭位置：

$h_B=\frac{8+0}{2}=4\text{ m}$

核心觀念

本題考查筏式基礎之「部分代償」概念，以及正常壓密黏土在不排水條件下的承載力計算。

部分代償式基礎須扣除開挖土體所造成的有效應力卸除，因此以基礎底面之淨承載壓力與淨極限承載力比較：

黏土採用 $\phi=0$ 之不排水承載力公式：

安全係數為 3，故安全條件為：

其中 $\phi=0$ 時：

解題方法

1. 基礎面積與平均承載壓力

2. 計算開挖造成的有效應力卸除

地下水位位於地表下 $2$ m，且基礎埋置深度將大於 $2$ m。

水下土壤之浮重度為：

因此，基礎底面原有之有效上覆壓力為：

整理得：

所以部分代償後的淨承載壓力為：

3. 計算形狀及深度修正係數

形狀係數：

核心觀念

本題考查正常壓密黏土受筏式基礎載重後之一次壓密沉陷，主要使用：

1. $2:1$ 法估算基礎荷重在深度 $z$ 處所造成的垂直應力增量。
2. 正常壓密黏土之壓密沉陷公式。
3. 分層總和法，將筏基底面至堅實岩石間的黏土分成數層計算。

正常壓密黏土之一次壓密沉陷量為

其中：

• $C_c=0.2$：壓縮指數；
• $e=0.9$：初始孔隙比；
• $H$：壓密黏土層厚度；
• $\sigma'_{v0}$：基礎載重施加前之初始有效垂直應力；
• $\Delta\sigma_v$：基礎荷重所造成之垂直應力增量。

解題方法

設第二題所得筏式基礎尺寸為長 $L$、寬 $B$，筏基底面承受之平均有效載重壓力為 $q$。筏基底面至堅實岩石之間為正常壓密黏土，總厚度為 $H$。

由於題目要求計算「基礎中心點位置下方」的壓密沉陷，因此採用基礎中心線下方各深度之應力增量，再以分層總和法計算。

一、以 $2:1$ 法計算應力增量

在筏基底面下深度 $z$ 處，$2:1$ 法假設荷重向下擴散，使有效受力面積增為

因此，深度 $z$ 處的垂直應力增量為

若第二題所得的是筏基總荷重 $Q$，則可直接寫成

因為 $Q=qBL$。

在基礎底面處 $z=0$ 時：

此結果可作為快速驗算。

二、將黏土層分層

將筏基底面至岩石頂面之黏土分成 $n$ 層。第 $i$ 層資料如下：

• 厚度：$H_i$；
• 該層中點深度：$z_i$；
• 初始有效垂直應力：$\sigma'_{v0,i}$；
• 基礎荷重造成之應力增量：

第 $i$ 層之壓密沉陷量為

全層黏土之總壓密沉陷量為

代入本題 $C_c=0.2$、$e=0.9$：

因此

其中 $H_i$、$\sigma'_{v0,i}$ 及 $z_i$ 應依第二題所得之筏基尺寸、筏基埋置深度、黏土厚度及土層單位重代入。

初始有效應力的計算

第 $i$ 層中點的初始有效垂直應力為

若地下水位以上、忽略孔隙水壓，則可用總覆土應力：

核心觀念

本題考查砂土中條狀基礎承載力分析時，如何選取基礎底面以下具代表性的 SPT 打擊數 $N_{60}$，以及如何利用 $N_{60}$ 推估砂土內摩擦角 $\phi$。

條狀基礎下方的主要應力影響範圍，通常取基礎底面以下約 $2B$；其中 $B$ 為基礎寬度。因此，應使用此範圍內的代表性 $N_{60}$，再配合砂土之 SPT—摩擦角經驗關係式求取設計用 $\phi$。

一、$N_{60}$ 資料深度範圍

基礎埋置深度為

基礎寬度為

基礎底面以下的取樣影響深度採 $2B$：

因此，應選取基礎底面至其下方 $2B$ 範圍內的 SPT 資料：

代入數值得

所以，可選用地表下約 $2.5\sim 8.5\text{ m}$ 範圍內之 $N_{60}$ 資料。

若該範圍內有多個 SPT 試驗結果，應依各試驗深度及土層厚度求取代表性平均值；若土層性質變化明顯，則應分層判斷，並以控制承載力的較弱土層作為設計依據。

二、地下水位對有效應力的影響

地下水位位於地表下 $1.5\text{ m}$，而所選取的 $2.5\sim8.5\text{ m}$ 深度範圍全部位於地下水位以下。

水下砂土之有效單位重為

採 $\gamma_w=9.81\text{ kN/m}^3$，則

任一深度 $z$ 處之有效上覆壓力為

因此，在取樣範圍的上端，即地表下 $2.5\text{ m}$ 處：

在取樣範圍的下端，即地表下 $8.5\text{ m}$ 處：

地下水位本身不改變 $N_{60}$ 資料的基本取用範圍，但會影響：

1. SPT $N$ 值的有效上覆壓力修正；
2. 砂土承載力分析中的有效應力；
3. 基礎底面以下土壤所採用的有效單位重 $\gamma'$。

三、由 $N_{60}$ 求取代表值

先將 $2.5\sim8.5\text{ m}$ 範圍內的各個 $N_{60}$ 值整理出來。若試驗點分布不均勻，宜依其所代表的土層厚度加權平均：

其中：

• $N_{60,i}$：第 $i$ 個深度之能量修正 SPT 值；
• $\Delta z_i$：該試驗值所代表的土層厚度；
• $\overline{N}_{60}$：$2B$ 影響範圍內的代表性 $N_{60}$。

若各試驗點間距大致相同，也可採算術平均：