111 地方特考三等 土木工程 土壤力學與基礎工程 考古題詳解

核心觀念

本題涵蓋「土力學邊坡穩定分析」與「大地工程邊坡治理實務」兩大核心範疇：

1. 無限邊坡（Infinite Slope）力學模型：

• 適用前提：邊坡滑動面與坡面平行，且破壞深度 $H$ 遠小於滑動長度 $L$（通常 $L/H > 10$）。邊坡各垂直斷面上之土體應力、應變狀態皆相同，可取一單位寬度之垂直土柱（Soil Column）進行極限平衡分析。
• 側向受力平衡：兩側垂直邊界之土壓力（水平分力 $E$ 與垂直剪力 $X$）大小相等、方向相反且共線，彼此互相抵消，僅需考慮土柱自重。
• 安全係數（Factor of Safety, $FS$）定義： $FS = \frac{\tau_f}{\tau_d} = \frac{\text{滑動面提供之抗剪強度}}{\text{滑動面上由自重誘發之驅動剪應力}}$
• 莫耳－庫倫破壞準則（Mohr-Coulomb Failure Criterion）： $\tau_f = c' + \sigma' \tan\phi'$ 無滲流條件下，孔隙水壓 $u = 0$，故法向有效應力 $\sigma' = \sigma$。

2. 邊坡穩定工法分類：

• 改善邊坡穩定度的本質為「增加抗滑力（抗滑力矩）」或「降低下滑力（下滑力矩）」。
• 工法可歸納為五大系統：形貌調整法（削坡減重與反壓）、排水工法（降低孔隙水壓）、擋土支撐工法（結構被動阻抗）、錨定加勁工法（主動預力或被動加勁）、表面防護工法（防止沖蝕與風化）。

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解題方法

（一）無滲流時無限邊坡之穩定性計算公式推導

 坡頂表面
 / / / / /
 / / / / /
 / / / / / b
 +---------------+ ---
 /| | |
 / | | |
 / | 土柱 | H (垂直深度)
 / | 重量 W | |
 / | | |
 / +---------------+ ---
/ / β (坡角) /
----------------------- 潛在滑動面 (平行於坡面)

步驟 1：建立微元土柱與幾何關係

1. 設一均質無限邊坡，坡面與水平面夾角為 $\beta$。
2. 土層單位重為 $\gamma$，有效凝聚力為 $c'$，有效內摩擦角為 $\phi'$。
3. 假設潛在破壞面平行於坡面，垂直深度為 $H$。
4. 取水平寬度為 $b$、垂直深度為 $H$、垂直於紙面方向為單位長度（$1$）的土柱作為隔離體。
5. 滑動面長度 $l$ 與底面積 $A$ 為： $l = \frac{b}{\cos\beta} \implies A = l \times 1 = \frac{b}{\cos\beta}$

步驟 2：受力分析與側力平衡

1. 土柱體積 $V = b \times H \times 1 = bH$。
2. 土柱總重 $W$ 為： $W = \gamma \cdot V = \gamma b H$
3. 因邊坡為無限長，土柱左右兩側的側向土壓力大小相等、方向相反且作用線重合，側力互相抵消。
4. 土柱自重 $W$ 可分解為垂直於滑動面的正向力 $N$ 與平行於滑動面的下滑剪力 $T$： $N = W \cos\beta = \gamma b H \cos\beta$ $T = W \sin\beta = \gamma b H \sin\beta$

步驟 3：計算滑動面上的正向應力與下滑剪應力

1. 滑動面上的全法向應力（Total Normal Stress）$\sigma$ 為： $\sigma = \frac{N}{A} = \frac{\gamma b H \cos\beta}{\frac{b}{\cos\beta}} = \gamma H \cos^2\beta$
2. 因無滲流（乾燥或無地下水），孔隙水壓 $u = 0$，法向有效應力 $\sigma'$ 為： $\sigma' = \sigma - u = \gamma H \cos^2\beta$
3. 滑動面上的驅動剪應力（Shear Stress）$\tau_d$ 為： $\tau_d = \frac{T}{A} = \frac{\gamma b H \sin\beta}{\frac{b}{\cos\beta}} = \gamma H \sin\beta \cos\beta$

步驟 4：求取抗剪強度與安全係數公式

1. 依據莫耳－庫倫剪力強度準則，破壞面處土體能提供之極限抗剪強度 $\tau_f$ 為： $\tau_f = c' + \sigma' \tan\phi' = c' + \gamma H \cos^2\beta \tan\phi'$
2. 定義邊坡穩定安全係數 $FS = \frac{\tau_f}{\tau_d}$： $FS = \frac{c' + \gamma H \cos^2\beta \tan\phi'}{\gamma H \sin\beta \cos\beta}$
3. 將分子分母展開拆項化簡： $FS = \frac{c'}{\gamma H \sin\beta \cos\beta} + \frac{\gamma H \cos^2\beta \tan\phi'}{\gamma H \sin\beta \cos\beta}$ $FS = \frac{c'}{\gamma H \sin\beta \cos\beta} + \frac{\tan\phi'}{\tan\beta}$

步驟 5：特殊情況討論（無凝聚力土壤 $c' = 0$）

當土壤為無黏性砂土（$c' = 0$）時，第一項為零，安全係數簡化為： $FS = \frac{\tan\phi'}{\tan\beta}$ 此時邊坡穩定度與土層深度 $H$ 及土壤單位重 $\gamma$ 無關，僅取決於土壤摩擦角 $\phi'$ 與坡角 $\beta$。當 $\beta \le \phi'$ 時邊坡即屬穩定。

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（二）常見穩定邊坡工法與其對應適用性之描述

核心觀念

本題評量土壤力學中「單向度壓密理論（One-Dimensional Consolidation Theory）」的核心概念與實務應用，主要涵蓋兩大重點：

1. 壓密歷史與狀態分類：藉由「先期壓密壓力（Preconsolidation Pressure, $\sigma_c'$ 或 $\sigma_p'$）」與「現存有效覆土壓力（Current In-situ Effective Overburden Pressure, $\sigma_0'$ 或 $\sigma_{v0}'$）」之相對關係，定義過壓密比（Overconsolidation Ratio, $OCR$），以界定正常壓密土壤（NC）與過壓密土壤（OC）。
2. 室內壓密試驗與壓密沉陷量計算：

• 利用室內單向度壓密試驗（Oedometer / Consolidation Test）繪製孔隙比與有效應力對數之關係曲線（$e - \log \sigma'$ 曲線），求取正常壓密段之斜率——壓縮指數（Compression Index, $C_c$）。
• 依據體積應變與孔隙比變化的幾何關係，推導黏土層在受載重增量 $\Delta \sigma'$ 作用下之一向度主壓密沉陷量（Primary Consolidation Settlement, $S_c$）計算公式。

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解題方法

（一）正常壓密土壤與過壓密土壤之定義（10 分）

土壤的壓密行為高度取決於其應力歷史（Stress History），工程上依據土壤在歷史上曾承受過的最大有效垂直應力（即先期壓密壓力 $\sigma_c'$）與現存有效應力（$\sigma_0'$）之比值，定義「過壓密比」（Overconsolidation Ratio, $OCR$）：

$OCR = \frac{\sigma_c'}{\sigma_0'}$

1. 正常壓密土壤（Normally Consolidated Soil, NC Soil）：

• 定義：土壤目前所承受的有效覆土壓力，恰等於其地質歷史中所曾承受過的最大有效垂直應力，即 $\sigma_0' = \sigma_c'$（$OCR = 1$）。
• 力學特性：土壤正處於歷史最大應力狀態，其應力狀態位於 $e - \log \sigma'$ 曲線的「主壓密線（Virgin Compression Curve）」上。此類土壤受額外載重時，體積壓縮性大、剪力強度增長較慢，且極易產生顯著之壓密沉陷。

2. 過壓密土壤（Overconsolidated Soil, OC Soil）：

• 定義：土壤在過去歷史中所承受過的最大有效垂直應力，大於目前所承受的有效覆土壓力，即 $\sigma_c' > \sigma_0'$（$OCR > 1$）。
• 成因：常見成因包含上覆地層剝蝕（Erosion）、冰川退移、地表開挖、地下水位上升、長期受毛細管力作用或乾燥蒸發等。
• 力學特性：土壤目前應力狀態處於回脹／再壓縮線（Rebound / Recompression Curve）上。在承受外加載重且應力未超過 $\sigma_c'$ 之前，其壓縮性顯著小於正常壓密土壤；受剪時常呈現剪脹（Dilatancy）趨勢，剪力強度通常較高。

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（二）室內試驗求取壓縮指數 $C_c$ 並應用於壓密沉陷量計算（15 分）

1. 室內試驗求取壓縮指數 $C_c$ 之步驟

求取壓縮指數之標準試驗為「單向度壓密試驗（Standard Oedometer Test，依據 ASTM D2435 或 CNS 5088）」：

• 試驗步驟：

1. 取未受擾動（Undisturbed）飽和黏土試體，修切並置於剛性壓密環刀中，上下鋪設透水石與濾紙以提供雙向排水。
2. 依逐級加載方式施加垂直應力（載重增量比常取 $\Delta \sigma / \sigma = 1$，例如：25、50、100、200、400、800 kPa），各級載重施加時間通常為 24 小時，記錄試體高度隨時間變化之歷時曲線。
3. 待各級壓密完成後卸載，量測各階段之垂直變形量，回推各級載重完成時之孔隙比 $e$。

• 作圖與取值：

1. 將試驗結果繪製成「孔隙比對有效應力對數」之關係曲線（$e - \log \sigma'$ 曲線）。
2. 利用 Casagrande 作圖法 求出先期壓密壓力 $\sigma_c'$（在曲率最大點作水平線、切線及角平分線，與高應力線性延伸線相交點即為 $\sigma_c'$）。
3. 考量試體取樣擾動之修正，可採用 Schmertmann（1955）現場壓密曲線重建法：在實驗主壓密線上取 $0.42 e_0$ 處之一點，與現況點 $(\sigma_c', e_0)$ 連成直線，作為現場主壓密曲線。
4. 壓縮指數 $C_c$ 定義為現場主壓密直線段之斜率： $C_c = -\frac{\Delta e}{\Delta \log \sigma'} = \frac{e_1 - e_2}{\log \sigma_2' - \log \sigma_1'} = \frac{e_1 - e_2}{\log\left(\frac{\sigma_2'}{\sigma_1'}\right)}$ （註：工程經驗上亦可搭配經驗公式如 Terzaghi & Peck 公式：$C_c \approx 0.009(LL - 10)$ 進行驗證）。

2. 應用於壓密沉陷量計算

根據單向度壓密基本幾何關係，厚度為 $H$ 之飽和黏土層，其體積應變等於垂直應變：

$\frac{\Delta H}{H} = \frac{\Delta V}{V_0} = \frac{\Delta e}{1 + e_0}$

因此，主壓密沉陷量基本公式為：

核心觀念

本題考查大地工程中**地震引致土壤液化（Seismic Soil Liquefaction）**之基本力學機制與工程實務評估程序。相關法規與力學理論依據如下（法規以命題當年民國 111 年之《建築物基礎構造設計規範》第十章為準）：

1. 太沙基有效應力原理（Terzaghi's Effective Stress Principle）與剪力強度準則： $\sigma' = \sigma - u$ $\tau_f = c' + \sigma' \tan\phi'$ 當飽和無凝聚性土壤受到反覆動力剪應力作用時，土壤骨架產生壓密體縮趨勢，在不排水條件下引致超額孔隙水壓（$\Delta u$）急遽上升；當超額孔隙水壓升高至等於初始有效應力時（$\Delta u \approx \sigma'_v$），有效應力降為零（$\sigma' \to 0$），土壤完全喪失抗剪強度，呈現液態流體化行為。
2. 簡易評估法架構（Simplified Procedure）： 以地震引致之**循環剪應力比（Cyclic Stress Ratio, $CSR$）作為外力需求，地層抵抗液化之循環阻抗比（Cyclic Resistance Ratio, $CRR$）**作為抗力容量，定義抗液化安全係數： $FS_L = \frac{CRR}{CSR}$ 評估過程需結合地層應力狀態、現地試驗指標（如標準貫入試驗 $N$ 值）與室內土性試驗參數。

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解題方法

1. 子題（一）解題切入點： 土壤液化為多重條件共同作用之結果，切忌雜亂描述。應從「材料要件（土質特性）」、「水文要件（地下水位／飽和度）」、「動力外力要件（地震規模與強度）」及「力學環境要件（不排水反應與有效應力）」四大面向進行結構化分項論述，精確點出液化臨界物理條件。
2. 子題（二）解題切入點： 依據《建築物基礎構造設計規範》與 Seed & Idriss 簡易評估法體系，將所需參數系統化歸納為：

• 地震外力參數（決定 $CSR$）
• 地層應力與幾何參數（決定全應力、有效應力與深度折減）
• 土壤強度阻抗與分類指數參數（決定 $CRR$ 與細料修正）

針對每一個參數，必須明確指涉其專用符號、物理意義，並精準交代其取得管道（如耐震法規圖表、現地鑽探試驗、室內土壤物理性質試驗規範名稱）。

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選項分析

本題為申論問答題，無選擇題選項。閱卷評分關鍵在於：

• 子題（一）能否完整點出「飽和、疏鬆、砂質、反覆剪應力、超額孔隙水壓累積、有效應力歸零」等關鍵力學字彙。
• 子題（二）能否具體列出標準參數（$a_{\max}$、$M_w$、$\sigma_v$、$\sigma'_v$、$N$、$FC$ 等），並正確對應現地試驗（SPT、觀測井）與室內試驗（篩分析、阿特伯限度）。

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解題技巧

1. 答題架構化：子題（一）採用「土、水、震、壓」口訣作答，條理分明。
2. 參數取得勿打高空：子題（二）不可僅回答「做試驗」，必須寫出明確試驗全名（例如：洗篩分析試驗求細粒料含量 $FC$、標準貫入試驗求 $N$ 值、觀測井量測地下水位）。
3. 區分外力與抗力：將參數區分為「地震需求端（$CSR$）」與「地層抗力端（$CRR$）」，能展現對設計規範深層架構之掌握度。

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【答案】

（一）土壤液化發生之要件

土壤液化通常發生於特定土層條件與強烈地震共同作用下，其發生之充分與必要條件可歸納為以下四項要件：

1. 土質要件（土壤種類與相對緊密度）：

• 土壤類別：主要發生於無凝聚性之粒狀土壤（砂土、粉土質砂土、細砂），或低塑性細粒料土壤（塑性指數 $PI < 12$、液性限度 $LL < 37$）。粗礫石因透水性高不易蓄壓，高塑性黏土則因顆粒間具凝聚力，均不易發生液化。
• 緊密程度：土壤必須處於「疏鬆至中度緊密」（相對密度 $D_r < 65\%$ 或標準貫入試驗修正貫入抗力 $(N_1)_{60} < 30$）之狀態。此類土壤受剪時具正剪脹性負值（傾向體積收縮、排縮現象）。

2. 水文要件（飽和程度與地下水位）：

• 土壤必須處於完全飽和或接近完全飽和狀態（飽和度 $S \approx 100\%$）。
• 地下水位面通常甚高（地下水位深度多位於地表下數公尺以內）；一般工程實務評估深度通常落在地表下 $20\text{ m}$ 以內。若土層位於地下水位以上之通氣層，無孔隙水提供蓄壓，則不會發生液化。

3. 動力外力要件（地震震動強度與延時）：

• 基地必須遭受足夠強度之動態反覆剪應力擾動。一般而言，尖峰地表加速度（PGA 或 $a_{\max}$）需達到一定閾值（通常 $a_{\max} \ge 0.1\text{g} \sim 0.15\text{g}$，震度達 5 級弱以上）。

核心觀念

本題涵蓋淺基礎工程選用準則與極限承載力理論兩大核心：

1. 基礎型式選用與工程行為：評估「擴展基腳」（Spread/Isolated Footings）與「筏式基礎」（Mat/Raft Foundations）於地層承載力、差異沈陷控制、地下水浮力抵抗、土重補償效應及施工經濟性上的力學機制差異。
2. 淺基礎極限承載力理論（Terzaghi 理論及一般化承載力公式）：二維條形基腳（Continuous Footing）假設轉化為三維「方形基腳」（Square Footing）時，因應剪力破壞面呈現三維立體圍束效應，所引入之形狀修正因子（Shape Factors）與極限承載力計算式。

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解題方法

（一）筏式基礎與擴展基腳在工程應用上的差異性（10 分）

擴展基腳（包含獨立基腳、連續壁或條形基腳）與筏式基礎在土木結構物設計與施工實務上的差異，可從以下六個維度深入論述：

評估維度	擴展基腳（Spread Footing）	筏式基礎（Mat / Raft Foundation）
定義與受力形態	由單一柱或承重牆將載重直接傳遞至下方土壤，各基腳為力學獨立受力構件。	涵蓋整棟建築物全區（或大面積）之單一大型連續鋼筋混凝土厚版，整合所有柱與牆之載重。
適用地質與承載力	適用於良好地盤（如堅硬黏土層、密實砂礫石層），地盤承載力高且土層性質均勻穩定。	適用於軟弱黏土、鬆散砂土或地層分布不均勻之低承載力地盤；當擴展基腳總面積超過建築基地投影面積之 $50\%$ 時，改採筏式基礎更具效益。
抵抗差異沈陷能力	各基腳各自產生沈陷，抵抗「柱間差異沈陷」（Differential Settlement）能力極差，地層局部軟弱時易引發結構開裂。	整體剛度（Rigidity）極大，能跨越局部軟弱區，具「均勻調配各柱載重」之架橋效果，能有效抑制不均勻沈陷與建物傾斜。
地下水浮力與抗滲防水	自重較輕且各基腳獨立，難以抵抗地下水上浮力；底板接縫多，深地下室防水與防裂施工較困難。	自重大且常與地下室外壁構成箱型結構（Box Foundation），能有效抵抗高地下水位造成之上浮力（Uplift Force），且水密性佳、不易滲漏。
地基應力補償效應	基礎埋深通常較淺，開挖移除之土重有限，無法發揮補償基礎之功效。	結合深地下室開挖，開挖移除之土壤重量可抵消結構物自重，大幅降低作用於底層土壤之「淨增加應力」 $\Delta \sigma$，進而顯著減少深層固結沈陷（浮動基礎效應，Floating Foundation）。
施工性與造價	配筋單純、混凝土用量小、開挖土方少、免除大體積混凝土溫控，造價低且工期短。	鋼筋用量極高（雙層雙向密集配筋）、混凝土澆置量大、開挖支撐工程龐大，且須控制水泥水化熱，整體造價較高。

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（二）淺基礎方形基腳之極限承載力（15 分）

淺基礎受垂直載重產生一般剪力破壞（General Shear Failure）時，方形基腳（邊長為 $B \times B$、埋深為 $D_f$）之極限承載力計算體系如下：

1. Terzaghi 方形基腳極限承載力公式

依據 Terzaghi 承載力理論，考量方形基腳之三維側向擠出效應，對條形基腳公式引入形狀修正係數，單位面積極限承載力 $q_{ult}$（或稱 $q_u$）為： $q_{ult} = 1.3 c N_c + q N_q + 0.4 \gamma B N_\gamma$

其中各項參數定義如下：

• $c$：基底下方土壤之凝聚力（Cohesion，單位：$\text{kN/m}^2$ 或 $\text{t/m}^2$）。
• $q$：基礎底面處之有效上覆壓力（Effective Surcharge），$q = \gamma_1 D_f$（若無地下水時 $\gamma_1$ 為基礎底面以上土壤濕單位重；有水時改採有效單位重）。
• $B$：方形基腳之寬度（邊長，單位：$\text{m}$）。
• $\gamma$：基礎底面以下滑動剪力破壞區土壤之單位重（$\gamma_2$）。
• $N_c, N_q, N_\gamma$：無因次承載力因子（Bearing Capacity Factors），僅為土壤內摩擦角 $\phi$ 之函數： $N_q = \frac{a^2}{2\cos^2(45^\circ + \phi/2)}, \quad a = e^{(3\pi/4 - \phi/2)\tan\phi}$ $N_c = (N_q - 1)\cot\phi$ $N_\gamma = \frac{1}{2}\left( \frac{K_{p\gamma}}{\cos^2\phi} - 1 \right)\tan\phi$
• 基腳承受之極限總載重（Ultimate Bearing Capacity Force）$Q_{ult}$ 為： $Q_{ult} = q_{ult} \times A = q_{ult} \times B^2$

2. 一般化承載力公式體系（Meyerhof / Hansen / Vesić）

在現代基礎工程規範中，亦常採用納入形狀因子 $s$、深度因子 $d$、傾斜因子 $i$ 之一般化承載力公式（以垂直載重、水平地表為例）： $q_{ult} = c N_c s_c d_c + q N_q s_q d_q + \frac{1}{2} \gamma B N_\gamma s_\gamma d_\gamma$

對方形基腳（長度 $L = B$，即 $B/L = 1$），其典型形狀因子為：

• Meyerhof 形式： $s_c = 1 + 0.2 K_p \left(\frac{B}{L}\right) = 1 + 0.2 \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right)$ $s_q = s_\gamma = 1 + 0.1 K_p \left(\frac{B}{L}\right) = 1 + 0.1 \tan^2\left(45^\circ + \frac{\phi}{2}\right) \quad (\phi > 10^\circ)$
• Hansen / Vesić 形式： $s_c = 1 + \left(\frac{B}{L}\right)\left(\frac{N_q}{N_c}\right) = 1 + \frac{N_q}{N_c}$ $s_q = 1 + \left(\frac{B}{L}\right)\tan\phi = 1 + \tan\phi$ $s_\gamma = 1 - 0.4\left(\frac{B}{L}\right) = 0.6$