核心觀念

本題考查水準測量的高程計算與誤差傳播。

水準測量中：

• 後視讀數（BS）加於已知點高程，用以求得儀器視線高程。
• 前視讀數（FS）由儀器視線高程扣除，用以求得未知點高程。

因此，未知點高程公式為：

$$H_A=H_B+\mathrm{BS}-\mathrm{FS}$$

若各觀測量誤差彼此不相關，則其線性組合的變異數為各項變異數之和：

$$\sigma_{H_A}^{2} = \sigma_{H_B}^{2} + \sigma_{\mathrm{BS}}^{2} + \sigma_{\mathrm{FS}}^{2}$$

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解題方法

（一）求 $A$ 點高程

已知：

$$H_B=10.015\ \text{m}$$ $$\mathrm{FS}_A=1.671\ \text{m}$$ $$\mathrm{BS}_B=1.455\ \text{m}$$

代入水準測量高程差公式：

$$H_A=H_B+\mathrm{BS}_B-\mathrm{FS}_A$$ $$H_A=10.015+1.455-1.671$$ $$H_A=9.799\ \text{m}$$

也可先求高程差：

$$\Delta H_{BA}=\mathrm{BS}-\mathrm{FS} =1.455-1.671=-0.216\ \text{m}$$

表示 $A$ 點比 $B$ 點低 $0.216$ 公尺，因此：

$$H_A=10.015-0.216=9.799\ \text{m}$$

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（二）求 $A$ 點高程的標準偏差

$A$ 點高程為：

$$H_A=H_B+\mathrm{BS}-\mathrm{FS}$$

已知各標尺讀數及 $B$ 點高程的標準偏差為：

$$\sigma_{H_B}=0.003\ \text{m}$$

核心觀念

本題考查「地面實測距離化算為橢球面大地距離」的目的、必要資料及基本程序。

測距儀直接取得的通常是兩測站間的斜距，且測線位於地球實際地表附近。地籍、國家基本控制測量及大地測量所使用的坐標，則以參考橢球面為基準。因此，必須將實測斜距經由幾何及高程改正，化算為參考橢球面上的距離。

須注意：

• 正高 $H$ 是由水準面起算。
• 大地高 $h$ 是由參考橢球面起算。
• 橢球面距離化算應使用大地高 $h$，不是直接使用正高 $H$。
• 二者關係為 $h=H+N$ 其中 $N$ 為大地起伏。

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（一）化算至橢球面長度之目的

1. 統一距離的基準面

地面各測線所在高程不同，同一條測線若分別在山區、平地或高樓頂施測，其實測距離均位於不同高度的地表位置。若直接使用，距離基準不一致。

化算至橢球面後，所有距離均以同一參考橢球面為基準，便於建立一致的大地坐標系統。

2. 消除高程對距離的影響

地面上的測線通常位於橢球面之外。由於離地心越遠，同一中心角所對應的弧長越長，因此地面距離會比相應的橢球面距離稍長。

對短距離而言，可近似表示為：

$$D_e=D_s\frac{R}{R+\bar h}$$

其中：

• $D_e$：化算至橢球面的距離；
• $D_s$：地面水平距離；
• $R$：測區內適用的平均地球半徑；
• $\bar h$：兩端點平均大地高。

由於 $\bar h>0$，通常有：

$$D_e<D_s$$

3. 配合大地測量及地圖投影計算

國家坐標、大地坐標及地圖投影計算，均以參考橢球面為幾何基準。若不先將地面距離化算至橢球面，會使控制網邊長、方位角、坐標增量及投影距離產生系統性誤差。

4. 提高不同測量成果間的相容性

不同時間、不同儀器或不同高程位置所測得的距離，經化算至同一橢球面後，才可直接與既有國家控制點、GNSS成果及地圖坐標互相使用。

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（二）必要元素及化算程序

1. 幾何關係圖

 P′
 / 
 / 測線方向
 P ------- 
 / \ \
 / \ Q
 / \ /
 / \ /
---------G---------G′---------------- 大地水準面
 \ /
 \ /
------------A′---B′------------------ 參考橢球面

 A、B：地面測站
 A′、B′：沿橢球法線投影至橢球面的對應點
 P、Q：實際測距線端點或儀器、稜鏡位置

較完整的空間關係為：

 B（高程 hB）
 /|
 / | 斜距 s
 / |
 A--- 
 （高程 hA）

 ↓ 先由斜距及垂直角求水平距離
 ↓ 再以兩端大地高作高程化算
 ↓ 得到橢球面距離 A′B′

2. 必要元素

（1）經氣象及儀器改正後的斜距

測距儀原始讀值須考慮：

• 大氣折射率改正；
• 儀器加常數及乘常數改正；
• 儀器及稜鏡常數改正；
• 必要時的溫度、氣壓及濕度改正。

設改正後斜距為 $s$。

（2）垂直角或天頂距

若測得天頂距 $z$，則斜距化為水平距離：

$$D_s=s\sin z$$

若測得相對水平線的垂直角 $v$，則：

$$D_s=s\cos v$$

二式中的角度定義不同，不可混用。

（3）兩端點的大地高

須取得兩端點大地高 $h_A、h_B$。若已知的是正高 $H$，則須配合大地起伏 $N$ 換算：

$$h_A=H_A+N_A$$ $$h_B=H_B+N_B$$

平均大地高可取：

$$\bar h=\frac{h_A+h_B}{2}$$

核心觀念

本題考查隧道施工測量中的「水平方向角誤差所造成之橫向位置誤差」。

當隧道長度為 $L$，挖掘方向線產生水平方向角誤差 $\theta$ 時，隧道終點所產生的橫向位置誤差 $e$ 為：

$$e=L\tan\theta$$

本題要求貫穿時的水平方向位置誤差不得超過 $3$ 公分，因此：

$$e\leq 0.03\text{ m}$$

其中隧道長度：

$$L=210\text{ m}$$

解題方法

由幾何關係，水平方向誤差角 $\theta$、隧道長度 $L$ 與橫向位置誤差 $e$ 構成直角三角形，因此：

$$\tan\theta=\frac{e}{L}$$

取最大允許誤差 $e=0.03$ 公尺：

$$\tan\theta=\frac{0.03}{210} =\frac{1}{7000}$$

所以：

$$\theta=\tan^{-1}\left(\frac{1}{7000}\right)$$

先換算為弧度：

$$\theta\approx 0.000142857\text{ rad}$$

弧度換算為角秒時，利用：

$$1\text{ rad}=206264.806\text{ 秒}$$

因此：

$$\theta =0.000142857\times206264.806 \approx29.466\text{ 秒}$$

核心觀念

本題考查衛星定位測量觀測量的誤差分類、誤差特性，以及各類誤差的消除與改正方法。

衛星定位觀測值可概略表示為：

$$P=\rho+c(dt_r-dt_s)+I+T+\delta+M+\varepsilon_P$$ $$\Phi=\rho+c(dt_r-dt_s)-I+T+\lambda N+\delta+M+\varepsilon_\Phi$$

其中：

• $\rho$：衛星至接收機的幾何距離。
• $dt_r,dt_s$：接收機鐘差與衛星鐘差。
• $I$：電離層延遲。
• $T$：對流層延遲。
• $\delta$：衛星、接收機及天線等硬體偏差。
• $M$：多路徑效應。
• $\varepsilon$：接收機量測雜訊。
• $\lambda N$：載波相位中的整數週波未定值。

系統誤差具有一定規律，可經由模型、校正或差分觀測加以消除；隨機誤差則具有不規則性，通常以重複觀測、增加觀測時間及統計平差降低其影響。

本題不涉及法條；以下以命題當年（民國 110 年）的衛星定位測量基本理論與測量實務為準。

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解題方法

答題時應先依「誤差是否具有可預測、可模型化的規律」分類，再分別提出對應的處理方式：

1. 先列出衛星、傳播環境、接收儀器及測站環境所造成的系統誤差。
2. 再列出接收機量測雜訊及短時間不規則變化所造成的隨機誤差。
3. 說明差分定位、誤差模型、儀器校正及觀測設計等減少誤差的方法。
4. 補充粗差與系統誤差、隨機誤差的區別，避免分類失分。

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（一）系統誤差及隨機誤差來源

一、系統誤差來源

1. 衛星軌道及衛星鐘差

• 衛星廣播星曆與實際軌道不一致，產生衛星軌道誤差。
• 衛星原子鐘與理想時間基準間存在誤差，產生衛星鐘差。
• 衛星天線相位中心偏差及相位中心變化。
• 相對論效應、地球自轉造成的 Sagnac 效應等未充分改正。

衛星軌道誤差會直接影響衛星至測站的幾何距離，衛星鐘差則會以時間誤差轉換成距離誤差。

2. 接收機鐘差及硬體偏差

• 接收機內部石英鐘與衛星時間系統不同步，形成接收機鐘差。
• 接收機各頻率通道間的硬體延遲。
• 衛星與接收機的碼偏差、相位偏差。
• 不同廠牌、不同型號儀器間的系統性偏差。

3. 電離層延遲

衛星訊號通過電離層時，會因自由電子含量而產生傳播延遲。其大小與下列因素有關：

• 觀測頻率。
• 太陽活動。
• 測站所在地及時間。
• 衛星高度角。

電離層延遲對碼觀測值呈現正延遲，對載波相位則呈現相反符號。

4. 對流層延遲

衛星訊號通過中性大氣層時，受到氣壓、溫度及水氣影響而產生延遲。對流層延遲通常分為：

• 乾延遲：主要與大氣壓力有關。
• 濕延遲：主要與水氣含量有關，變化較不易預測。

低高度角訊號通過的大氣路徑較長，因此對流層延遲通常較大。

5. 多路徑效應

衛星訊號除直接抵達天線外，亦可能經由地面、水面、建築物或其他反射面反射後再抵達天線，使接收機同時接收到直接波與反射波。

多路徑效應會造成：

• 碼觀測值偏差。
• 載波相位偏差。
• 觀測值隨衛星與反射面的幾何關係呈現週期性變化。

多路徑效應具有測站環境相關性，因此屬於重要的系統性偏差來源。

6. 天線相位中心及儀器安置誤差

• 天線實際相位中心與幾何中心不一致。
• 相位中心會隨訊號入射方向改變。
• 天線高量測錯誤。
• 測站未正確整平、定心。
• 天線基座、強制置中裝置或測桿產生偏心。

這些誤差會直接造成測站坐標偏移。

7. 地球及測站物理效應

精密定位中，尚須考慮：

• 固體潮。
• 海潮負載。
• 極潮。
• 地殼板塊運動。
• 測站沉陷或週期性位移。

若觀測時間較長或精度要求較高，未改正上述效應會形成系統性坐標偏差。

8. 坐標基準及資料處理誤差

• 坐標基準轉換參數錯誤。
• 橢球高與正高混用。
• 投影坐標系統設定錯誤。
• 時間系統、單位或天線高輸入錯誤。
• 使用不適當的星曆、改正數或解算模型。

此類誤差通常不是觀測雜訊，而是作業流程與模型造成的系統性偏差。

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二、隨機誤差來源

1. 接收機電子雜訊

接收機內部電子元件的熱雜訊、量化雜訊及訊號處理誤差，會使每一曆元的碼及載波相位觀測值產生不規則變動。

一般而言：

• 碼觀測的隨機雜訊較大。
• 載波相位觀測的隨機雜訊較小。

2. 訊號追蹤與量測抖動

衛星訊號受到接收訊號強度、遮蔽、干擾及接收機鎖定能力影響時，會造成：

• 載波相位量測抖動。
• 碼延遲量測變動。
• 衛星訊號短時間失鎖。
• 接收時間標記的小幅變動。

3. 短時間大氣不規則變化

電離層電子含量與對流層水氣在短時間內的微小變動，經模型改正或差分處理後仍會留下殘差。這些未能完全預測的殘差，可視為隨機誤差處理。

4. 多路徑殘差及環境反射變化

雖然多路徑效應本身具有系統性，但反射環境、衛星方位及訊號相位持續變化，會使其殘差呈現不規則變化。因此在實際平差中，多路徑殘差也常以隨機誤差形式表現。

5. 觀測幾何對精度的放大作用

衛星幾何分布不佳本身不是觀測誤差，但會放大觀測誤差對坐標的影響。此效應以 DOP 表示：