109 地方特考三等 土木工程 平面測量與施工測量 考古題詳解

核心觀念

這是等權角度觀測的最小二乘平差題。依圖形的角度關係：

$\theta_4=\theta_1+\theta_2,\qquad \theta_5=\theta_2+\theta_3$

五個觀測值由三個相鄰角度組成，故有 $5-3=2$ 個多餘觀測。題目未給各角度的權，按等權處理。平差後各角度須符合上述幾何條件，並使觀測改正數平方和最小。

解題方法

令三個相鄰角的平差值分別為 $x,y,z$，依序代表 $\theta_1,\theta_2,\theta_3$。觀測方程為：

令 $l$ 為五個觀測值組成的向量，設計矩陣為

等權最小二乘法的法方程為 $A^{\mathsf T}A\hat{x}=A^{\mathsf T}l$，即

解得

因此五個角度的平差值為：

以「平差值減觀測值」計算改正數：

核心觀念

本題考查空間資訊與測量工程中兩大核心光學遙測技術——**光達（LiDAR）與攝影測量（Photogrammetry）**的系統架構與作業特性。 核心評比範疇涵蓋：

1. 測量原理：光達之雷射脈衝飛行時間測距（Time-of-Flight, ToF，公式 $d = \frac{c \cdot \Delta t}{2}$）結合 GNSS/IMU 直接定位；攝影測量之共線條件式（Collinearity Condition Equations）立體幾何交會定位。
2. 載具平台：航太衛星、有人機、無人飛行載具（UAV）、車載行動測繪（MMS）及地面固定式平台。
3. 數據本質：三維空間點雲（含反射強度與多重回波）vs. 二維輻射光譜影像（含色彩紋理）。
4. 主被動遙測：自體發射電磁波能量（主動式）vs. 接收外在環境反射光譜（被動式）。
5. 天候與環境適應性：光照需求、雲霧雨雪干擾、植被穿透能力及水體反射特性。

解題方法

本題為典型的比較申論題，評分標準側重於「架構完整性」與「技術對比的精確度」。解題切入點應分為兩大部分：

1. 綜整比較表：提綱挈領列出題目要求的五大指標，方便閱卷委員快速掌握關鍵字。
2. 逐項深入剖析：依序針對「測量原理」、「載具」、「原始量測數據」、「主被動性」、「天候限制」五大維度詳加說明，並歸納二者之「相同點」與「互補效益」。

選項分析

本題為高等考試（三等特考）工程類科之申論問答題，非選擇題型，故無選項設定。考生作答時應將題旨要求的 5 個面向視為不可遺漏的子題，逐一立標說明，嚴禁合併含糊帶過。

解題技巧

1. 破題表格化：閱卷老師閱卷時間有限，開頭先以對比表格精確整理五大項目，即可奠定 80% 以上的基本分。
2. 掌握技術痛點關鍵詞：

• 光達必寫：直接量測三維坐標、多重回波穿透植被縫隙、日夜皆可作業、無紋理光譜。
• 攝影測量必寫：共線條件式交會、二維立體對解算三維、依賴日照紋理、植被地表無法穿透、高解度正射影像。

3. 融合結尾：於異同點最後補充「感測器融合（Sensor Fusion）」——光達點雲賦予幾何骨架，攝影影像賦予真實色彩紋理（產製真正射影像 True Orthophoto），展現高階公職考生的宏觀專業視野。

詳細比較與解析

一、 光達與攝影測量之綜合比較表

二、 五大評比面向之深入探討

1. 測量原理

• 光達（LiDAR）： 基於光學測距與空間向量合成。感測器發射微秒級雷射脈衝光束至地表目標物，量測傳播往返時間 $\Delta t$，依光速 $c$ 計算距離： $d = \frac{c \cdot \Delta t}{2}$ 系統結合載具上的高精度差分衛星定位系統（GNSS）與慣性導航系統（IMU），無須地面控制點即可直接測定反射點物方絕對空間坐標 $(X, Y, Z)$。
• 攝影測量（Photogrammetry）： 基於中心投影幾何與共線條件式。相機自不同角度拍攝具有縱向與橫向重疊率之立體影像，利用物方點、透鏡中心投影中心及像方坐標點三點共線的幾何關係：

核心觀念

本題利用經緯儀的垂直角與直立標尺讀數，求出視線的水平距離及高程差。對同一標尺上的兩個讀數，水平距離相同，可由兩次觀測方程相減，消去未知的儀器軸高或標尺底高。

設水平距離為 $D$、垂直角為 $\theta$，則視線相對儀器軸的垂直高差為 $D\tan\theta$。俯角代表視線向下，仰角代表視線向上；標尺讀數則是標尺底部到觀測點的高度。

解題方法

先以地面點 $A$ 上的標尺求出 $AB$ 的水平距離及儀器軸高程，再以大樓二樓頂 $C$ 上的標尺求出 $BC$ 的水平距離及 $C$ 的高程。

令地面 $A$ 高程為 $0$，大樓一樓頂測點 $B$ 的高程為 $H_1$。儀器高為 $1.55\ \mathrm{m}$，故儀器軸高程為 $H_1+1.55$。

對 $A$ 上標尺的兩次俯角觀測，依題意配對：

兩式相減，得到：

代回第一式：

所以大樓一樓高為：

核心觀念

本題評量平面測量中交會定位（Intersection）與坐標幾何計算（COGO）之核心能力，包含以下觀念與公式：

1. 交會法分類：由兩已知點量測至未知點之水平距離以定出未知點坐標，稱為「距離交會法」（Distance Intersection，又稱邊長交會法或線交會法）。
2. 坐標反算（Inverse Computation）：已知 $A(E_A, N_A)$、$B(E_B, N_B)$，推算基準線長度 $D_{AB}$ 及方位角 $\phi_{AB}$、$\phi_{BA}$： $D_{AB} = \sqrt{\Delta E_{AB}^2 + \Delta N_{AB}^2}$ $\phi = \arctan\left(\frac{\Delta E}{\Delta N}\right) \quad (\text{依象限調整})$
3. 餘弦定律（Law of Cosines）：已知三角形三邊長 $a, b, c$，解求內角： $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc},\quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
4. 坐標正算（Forward Computation）：由已知點坐標、方位角與距離推算未知點坐標： $E_C = E_A + D_{AC} \cdot \sin\phi_{AC}$ $N_C = N_A + D_{AC} \cdot \cos\phi_{AC}$
5. 幾何雙解判別：以兩已知點為圓心、給定距離為半徑作圓，兩圓相交於基準線兩側，必然存在兩組對稱解。解題時須依題目指定條件（「在北方之點」）判定唯一定案坐標。

解題方法

(一) 計算 $C$ 點坐標

步驟一：基準線 $AB$ 之邊長與方位角反算

已知： $A(E_A, N_A) = (355168.00\ \mathrm{m}, 2769437.00\ \mathrm{m})$ $B(E_B, N_B) = (355008.00\ \mathrm{m}, 2769077.00\ \mathrm{m})$

坐標差為： $\Delta E_{AB} = E_B - E_A = 355008 - 355168 = -160.00\ \mathrm{m}$ $\Delta N_{AB} = N_B - N_A = 2769077 - 2769437 = -360.00\ \mathrm{m}$

基準線長度 $c = D_{AB}$： $c = \sqrt{(-160.00)^2 + (-360.00)^2} = \sqrt{25600 + 129600} = \sqrt{155200} \approx 393.954\ \mathrm{m}$

基準線方位角：

• 由 $A$ 往 $B$（$\Delta E < 0, \Delta N < 0$，第三象限）： $\phi_{AB} = 180^{\circ} + \arctan\left(\frac{160.00}{360.00}\right) = 180^{\circ} + 23^{\circ} 57' 45'' = 203^{\circ} 57' 45''$
• 由 $B$ 往 $A$（反方位角）： $\phi_{BA} = 203^{\circ} 57' 45'' - 180^{\circ} = 23^{\circ} 57' 45''$

步驟二：利用餘弦定律解 $\triangle ABC$ 內角

已知三邊長： $a = BC = 370.55\ \mathrm{m},\quad b = AC = 460.10\ \mathrm{m},\quad c = AB = 393.954\ \mathrm{m}$

1. 解內角 $A$（$\angle BAC$）： $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{460.10^2 + 155200 - 370.55^2}{2 \times 460.10 \times 393.954}$ $\cos A = \frac{211692.01 + 155200 - 137307.30}{362516.76} = \frac{229584.71}{362516.76} \approx 0.633308$ $A = \arccos(0.633308) \approx 50^{\circ} 42' 15''$

2. 解內角 $B$（$\angle ABC$）： $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{370.55^2 + 155200 - 460.10^2}{2 \times 370.55 \times 393.954}$ $\cos B = \frac{137307.30 + 155200 - 211692.01}{291959.54} = \frac{80815.29}{291959.54} \approx 0.276803$ $B = \arccos(0.276803) \approx 73^{\circ} 55' 54''$