109 地方特考三等 土木工程 靜力學與材料力學 考古題詳解

109 年・地方特考・三等・土木工程
試題代碼 靜力學與材料力學

第 一 題25 分

圖一中，木箱及輪子的質量分別為 80 kg80\ \mathrm{kg} 及 30 kg30\ \mathrm{kg}。設木箱與地面的最大靜摩擦係數為 μsC=0.25\mu_{sC}=0.25，輪子與地面的最大靜摩擦係數為 μsA=0.5\mu_{sA}=0.5，求產生臨界運動之最小力 P=?P=?。

又，設木箱與地面的最大靜摩擦係數 μsC\mu_{sC} 還是 0.250.25，若臨界運動時，欲使木箱及輪子皆為滑動，則輪子與地面的最大靜摩擦係數為 μsA=?\mu_{sA}=?

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核心觀念

本題考「剛體平衡」與「最大靜摩擦力」：

fs,max⁡=μsNf_{s,\max}=\mu_s N

木箱與輪子在臨界運動前仍可視為平衡；開始滑動時，接觸面的靜摩擦力達到最大值。圖中繩子連接木箱與輪軸中心 BB，施力 PP 水平向右作用於輪子頂端。

解題方法

設繩張力為 TT，木箱與地面的摩擦力為 fCf_C，輪子與地面的摩擦力為 fAf_A。輪子半徑為 R=300 mmR=300\ \mathrm{mm}。

先對輪子中心 BB 取力矩。張力通過中心，不產生力矩；PP 與地面摩擦力 fAf_A 的力臂均為 RR，因此：

PR=fAR⇒fA=PPR=f_A R \quad\Rightarrow\quad f_A=P

再由輪子的水平方向平衡：

P+fA−T=0⇒T=P+fA=2PP+f_A-T=0 \quad\Rightarrow\quad T=P+f_A=2P

木箱水平方向平衡，所以：

fC=T=2Pf_C=T=2P

第一問：求開始臨界運動的最小 PP

木箱的最大靜摩擦力為：

fC,max⁡=μsCmCg=0.25(80)(9.81)=196.2 Nf_{C,\max}=\mu_{sC}m_Cg =0.25(80)(9.81)=196.2\ \mathrm{N}

輪子的最大靜摩擦力為：

fA,max⁡=μsAmAg=0.5(30)(9.81)=147.15 Nf_{A,\max}=\mu_{sA}m_Ag =0.5(30)(9.81)=147.15\ \mathrm{N}
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第 二 題25 分

圖二(a)所示之實心圓桿 ABAB，其長 L=400 mmL=400\ \mathrm{mm}，直徑 d=16 mmd=16\ \mathrm{mm}。圓桿 ABAB 受到拉力 P=60 kNP=60\ \mathrm{kN} 作用，若實心圓桿 ABAB 之應力—應變關係為：

σ=124000ε1+300ε\sigma=\frac{124000\varepsilon}{1+300\varepsilon}

當 0≤ε≤0.030\leq\varepsilon\leq0.03，其中 σ\sigma 的單位為 MPa\mathrm{MPa}。

若圓桿 ABAB 之楊氏模數 E=124 GPaE=124\ \mathrm{GPa}，求 0.2%0.2\% 偏差降伏應力 σy\sigma_y（offset yield stress）（參考示意圖二(b)）。

當拉力 P=60 kNP=60\ \mathrm{kN} 作用時，圓桿 ABAB 之伸長量 δ=?\delta=?

又，卸載後，圓桿 ABAB 之永久伸長量 δp=?\delta_p=?

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核心觀念

本題考查非線性應力—應變關係、0.2%0.2\% 偏移降伏強度，以及載重與卸載時的應變分解。

0.2%0.2\% 偏移降伏應力，是材料曲線與斜率等於楊氏模數 EE、且應變軸截距為 0.0020.002 的直線交點所對應的應力。卸載時依彈性斜率 EE 回復；總應變扣除彈性回復量，即為永久應變。

解題方法

  1. 求 0.2%0.2\% 偏移降伏應力

楊氏模數 E=124 GPa=124000 MPaE=124\ \mathrm{GPa}=124000\ \mathrm{MPa}，偏移線方程式為

σ=124000(ε−0.002)\sigma=124000(\varepsilon-0.002)

與題目給定的應力—應變曲線聯立：

124000ε1+300ε=124000(ε−0.002)\frac{124000\varepsilon}{1+300\varepsilon} =124000(\varepsilon-0.002)

約去 124000124000 並整理：

300ε2−0.6ε−0.002=0300\varepsilon^2-0.6\varepsilon-0.002=0

取正根：

εy=0.6+2.76600=0.0037689\varepsilon_y=\frac{0.6+\sqrt{2.76}}{600} =0.0037689

因此

σy=124000(εy−0.002)=219.34 MPa\sigma_y=124000(\varepsilon_y-0.002) =219.34\ \mathrm{MPa}
  1. 求 P=60 kNP=60\ \mathrm{kN} 時的伸長量

圓桿截面積為

A=πd24=π(16)24=64π mm2A=\frac{\pi d^2}{4} =\frac{\pi(16)^2}{4} =64\pi\ \mathrm{mm^2}

軸向應力：

σ=PA=6000064π=298.42 MPa\sigma=\frac{P}{A} =\frac{60000}{64\pi} =298.42\ \mathrm{MPa}

將應力代入材料關係式，解出總應變：

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第 三 題25 分

圖三(a)所示之薄壁管 ABAB 受扭矩 TT 作用，薄壁管 ABAB 的長 L=0.5 mL=0.5\ \mathrm{m}，其截面為厚度 t=5 mmt=5\ \mathrm{mm}、半徑 r=50 mmr=50\ \mathrm{mm} 之薄壁圓管，如圖三(b)所示。

已知薄壁圓管 ABAB 之剪應力 τ=60 MPa\tau=60\ \mathrm{MPa}，剪力模數 G=30 GPaG=30\ \mathrm{GPa}，求：

  1. 扭矩 TT。
  2. BB 點之扭轉角 ϕB\phi_B（單位以度表示）。

又，若薄壁圓管的底座（截面 AA）是用 6 根直徑為 dbd_b 之螺釘栓緊，螺釘的位置距截面圓心為 r0=70 mmr_0=70\ \mathrm{mm} 處，如圖三(c)所示。若每根螺釘之允許剪應力 (τb)allow=48 MPa(\tau_b)_{\mathrm{allow}}=48\ \mathrm{MPa}，求每根螺釘之最小直徑 dbd_b。

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核心觀念

本題考查薄壁圓管受扭時的剪應力與扭轉角，以及螺釘群如何抵抗扭矩。薄壁圓管採用壁厚中心線半徑 rr，其扭矩、極慣性矩與扭轉角公式為

T=2πr2tτ,J≈2πr3t,ϕB=TLGJ.T=2\pi r^2t\tau,\qquad J\approx 2\pi r^3t,\qquad \phi_B=\frac{TL}{GJ}.

底座的 6 根螺釘平均分擔扭矩，每根螺釘承受切向剪力；單根螺釘的剪應力為剪力除以截面積。

解題方法

1. 求扭矩 TT

薄壁圓管的剪力流為 q=τtq=\tau t，沿圓周的剪力對圓心形成扭矩：

T=(2πr)(τt)r=2πr2tτ.T=(2\pi r)(\tau t)r=2\pi r^2t\tau.

代入 r=50 mmr=50\ \mathrm{mm}、t=5 mmt=5\ \mathrm{mm}、τ=60 N/mm2\tau=60\ \mathrm{N/mm^2}：

T=2π(50)2(5)(60)=1.5×106π N mm=4.712×103 N m.T=2\pi(50)^2(5)(60) =1.5\times10^6\pi\ \mathrm{N\,mm} =4.712\times10^3\ \mathrm{N\,m}.

2. 求 B 點扭轉角 ϕB\phi_B

薄壁圓管的極慣性矩近似為

J≈2πr3t.J\approx 2\pi r^3t.

因此

ϕB=TLGJ=(2πr2tτ)LG(2πr3t)=τLGr.\phi_B=\frac{TL}{GJ} =\frac{(2\pi r^2t\tau)L}{G(2\pi r^3t)} =\frac{\tau L}{Gr}.

使用一致單位，L=500 mmL=500\ \mathrm{mm}、G=30,000 N/mm2G=30{,}000\ \mathrm{N/mm^2}：

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第 四 題25 分

圖四之梁 ABAB 及梁 BCDBCD 於 BB 點用鉸接連接，於 CDCD 段受到均布載重作用，梁 ABAB 及梁 BCDBCD 之撓曲剛度皆為 EIEI，求 BB 點的撓度 δB\delta_B、CC 點旋轉角 θC\theta_C、DD 點撓度 δD\delta_D 及 DD 點旋轉角 θD\theta_D。（請標示方向）

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核心觀念

本題考查內鉸梁的靜力平衡與梁的彈性線。B 點鉸接可傳遞剪力，但不傳遞彎矩；B 點兩梁的垂直位移相同，轉角則不必相同。梁的曲率關係採用 EI v′′=−MEI\,v''=-M，其中 vv 向下為正、MM 以正彎矩為下凹（撓曲）為正。

解題方法

先對右側梁 BCD 作整體平衡。以向上為正，取 B 點矩：

RCL−(qL)L(3L2)=0⇒RC=32qLR_C L-(qL)L\left(\frac{3L}{2}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad R_C=\frac{3}{2}qL RB+RC−qL=0⇒RB=−12qLR_B+R_C-qL=0 \quad\Rightarrow\quad R_B=-\frac{1}{2}qL

所以 B 點對右梁施加向下力 qL/2qL/2；右梁對左梁 AB 的作用力則向上，大小為 qL/2qL/2。AB 是固定端懸臂梁，故 B 點向上撓度為

δB=(qL/2)L33EI=qL46EI（向上）\delta_B=\frac{(qL/2)L^3}{3EI} =\frac{qL^4}{6EI} \qquad\text{（向上）}

接著令右梁的向下撓度為 vv，並以 x=0x=0 取在 B、x=Lx=L 取在 C。由右梁的彎矩分布：

M(x)={−qLx2,0≤x≤L,−q2(2L−x)2,L≤x≤2L.M(x)= \begin{cases} -\dfrac{qLx}{2}, & 0\le x\le L,\\[6pt] -\dfrac{q}{2}(2L-x)^2, & L\le x\le 2L. \end{cases}

因此

v′′(x)=−M(x)EI={qLx2EI,0≤x≤L,q(2L−x)22EI,L≤x≤2L.v''(x)=-\frac{M(x)}{EI} = \begin{cases} \dfrac{qLx}{2EI}, & 0\le x\le L,\\[6pt] \dfrac{q(2L-x)^2}{2EI}, & L\le x\le 2L. \end{cases}
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