110 地方特考三等 土木工程 靜力學與材料力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查單軸拉伸下的：

• 正應力定義：$\sigma=P/A$
• 正向應變：$\varepsilon=\Delta L/L$
• 蒲松比：$\nu=-\varepsilon_{\text{側向}}/\varepsilon_{\text{軸向}}$
• 最大剪應力：$\tau_{\max}=(\sigma_{\max}-\sigma_{\min})/2$
• 最大剪應變：$\gamma_{\max}=\varepsilon_{\max}-\varepsilon_{\min}$

桿件承受軸向拉力，因此為單軸應力狀態：

由於斷面為正方形，$y$、$z$ 方向的側向應變相同。

解題方法

1. 變形後斷面面積

變形後正方形邊長為

因此變形後面積為

軸力

採用承載當下的實際斷面積，軸向應力為

故

2. 軸向正應變 $\varepsilon_x$

原長度為 $L=1250\text{ mm}$，變形後長度為 $L_d=1251\text{ mm}$，伸長量為

因此

即

3. 側向正應變 $\varepsilon_y$

原斷面邊長為 $b=50\text{ mm}$，變形後縮短為 $49.99\text{ mm}$，側向變化量為

所以

由正方形斷面對稱性，

故

4. 蒲松比 $\nu$

蒲松比定義為

代入數值：

核心觀念

本題考查平面桁架之節點法。桁架各桿件均視為二力桿，桿件軸力只有沿桿件軸線方向；以拉力為正、壓力為負。

各節點須滿足平衡條件：

由圖中尺寸可知，斜桿 $ab$、$bc$、$ce$、$ef$ 均為 $3\text{ m}$ 水平差與 $3\text{ m}$ 垂直差，因此皆為 $45^\circ$ 斜桿。

解題方法

由於所求桿件 $ab$、$cd$、$ef$ 均可由內部節點 $b$、$c$、$e$ 的平衡方程式求得，不必先計算各支承反力。

令各桿件拉力為正，設：

• $N_{ab}=A$
• $N_{bc}=B$
• $N_{ce}=C$
• $N_{cd}=D$
• $N_{eb}=E$
• $N_{ef}=F$

其中斜桿之水平、垂直分力均為 $N/\sqrt{2}$。

一、節點 $c$

節點 $c$ 連接桿件 $cd$、$ce$、$cb$。

垂直方向平衡：

因此：

水平方向平衡：

代入 $B=-C$：

所以：

二、節點 $e$

節點 $e$ 連接桿件 $ce$、$eb$、$ef$。

垂直方向平衡：

故：

水平方向平衡：

代入 $F=C$：

核心觀念

本題考察複合面積的面積慣性矩，以及平行軸定理：

對矩形而言：

若矩形形心軸與整體形心軸不重合，使用平行軸定理：

圖形具有 $180^\circ$ 旋轉對稱，因此圖示 $x$、$y$ 軸即為形心軸。

解題方法

將斷面分為三個矩形：

1. 中央水平矩形：$480\text{ mm}\times30\text{ mm}$
2. 左側垂直矩形：$30\text{ mm}\times210\text{ mm}$
3. 右側垂直矩形：$30\text{ mm}\times210\text{ mm}$

兩個垂直矩形的形心相對於整體形心軸之距離為：

其中：

• $225=240-15$
• $120=15+\dfrac{210}{2}$

一、計算 $I_x$

中央水平矩形

左、右垂直矩形

每一個垂直矩形自身形心軸的慣性矩為：

其面積為：

依平行軸定理：

核心觀念

本題為兩端固定、於中間點 $b$ 受集中軸力之桿件，使用：

1. 節點 $b$ 的軸向力平衡。
2. 固定端條件與桿件變形相容條件。
3. 彈性完全塑性材料之應力—應變關係。
4. 應變能定義：

材料彈性模數由降伏點求得：

斷面積：

因此桿件降伏力為：

解題方法

1. 判斷受力與變形方向

外力 $P$ 向左作用於 $b$ 點，因此 $b$ 點向左位移。

• $ab$ 桿件縮短，承受壓力。
• $bc$ 桿件伸長，承受拉力。

已知 $ab$ 桿件已經降伏，因此其壓應力維持於：

其軸力大小為：

2. 求 $bc$ 桿件軸向力與應力

在 $b$ 點取軸向力平衡，$ab$ 與 $bc$ 對 $b$ 點的作用力皆向右：

故 $bc$ 桿件為受拉，其軸向應力為：

3. 求 $bc$ 桿件軸向應變

$bc$ 桿件應力尚未達降伏應力，仍屬彈性階段：

因此：

為拉伸應變。

4. 求 $b$ 點軸向位移

$bc$ 桿件長度為：

因為 $c$ 點固定，$b$ 點向左移動，$bc$ 桿件伸長量為：

所以 $b$ 點位移為向左 $2\text{ mm}$：

若取向右為正，則：