113 地方特考三等 土木工程 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題要求以單位力法求桁架節點 $K$ 向下位移。各桿件軸向剛度均為 $EA$，因此可使用桁架單位力法：

其中：

• $N_i$：實際荷載 $P$ 作用下，第 $i$ 桿件的軸力。
• $n_i$：在 $K$ 點施加向下單位力 $1$ 所得之第 $i$ 桿件軸力。
• $L_i$：第 $i$ 桿件長度。
• 拉力取正、壓力取負。

圖中各底 chord 節點間距為 $L$，斜桿長度為 $\sqrt{2}L$，$C\!-\!M$、$D\!-\!K$、$D\!-\!E$、$E\!-\!I$ 等桿件長度為 $2L$。

解題方法

一、實際荷載桿力 $N_i$

在節點 $D$ 施加向下荷載 $P$，以各節點平衡方程式求得桿力。以下列出對位移計算有貢獻的桿件軸力：

其餘桿件之 $N_i=0$，包括 $AN,NM,AB,OM,OS,DK,RJ,RI,IH,HG,FG$。

二、單位荷載桿力 $n_i$

在節點 $K$ 施加向下單位力 $1$，依相同方法求得：

核心觀念

本題考查：

1. 靜定梁反力與彎矩圖。
2. 共軛梁法：將實梁的彎矩圖除以撓曲剛度，作為共軛梁荷載。
3. 共軛梁之剪力對應實梁轉角，彎矩對應實梁垂直位移。
4. 內鉸 $C$ 兩側轉角可以不同，但垂直位移必須相同。

取垂直向上位移為正，則採用

其中 $q^*$ 為共軛梁荷載。

一、支承反力與彎矩

梁長度位置為

內鉸 $C$ 使梁成為靜定結構。

由右側 $CE$ 梁取 $C$ 點力矩：

因此

左側梁之垂直反力為

彎矩圖如下：

• $0\le x\le L$：

• $L\le x\le 2L$：

• $C$ 至 $D$，令 $s$ 自 $C$ 起算：

• $D$ 至 $E$：

二、共軛梁法求 $AC$ 段位移

$AC$ 段撓曲剛度為 $EI$，故共軛梁荷載為

在 $A$ 點，實梁固定，因此

由共軛梁法，$C$ 點左側轉角為彎矩圖面積：

因此

$C$ 點位移等於彎矩圖對 $C$ 點的一次矩：

直接積分表示為

計算得

故 $C$ 點向下位移為

三、共軛梁法求 $CE$ 段位移

$CE$ 段撓曲剛度為 $2EI$，因此

令 $s$ 自 $C$ 點起算。

$C$ 至 $D$

因該段彎矩為負：

核心觀念

本題考查傾角變位法（slope-deflection method）及剛體桿件的相容條件：

• $BD$ 為剛體，因此 $B、D$ 具有相同的水平位移 $\Delta$ 與轉角 $\theta$。
• $A、E$ 固定，故兩柱底端位移與轉角皆為零。
• $AC$ 撓曲剛度為 $2EI$，其中 $AB=2L$、$BC=L$。
• $DE$ 撓曲剛度為 $EI$，長度為 $L$。
• $C$ 點受水平力 $P$，其對 $B$ 點產生力矩 $PL$。
• 僅考慮撓曲變形，因此 $E$ 點豎向反力為零。

以下取水平向右位移為正，取桿件軸線向上的斜率 $\theta$ 為正。

一、傾角變位方程式

對下端固定、上端具有水平位移 $\Delta$ 與轉角 $\theta$ 的桿件，其上端彎矩與剪力可寫為

其中 $L_m$ 為桿件長度。

二、$AB$ 桿件作用

$AB$ 長度為 $2L$，撓曲剛度為 $2EI$：

三、$DE$ 桿件作用

$DE$ 長度為 $L$，撓曲剛度為 $EI$：

四、建立傾角變位方程式

1. 水平力平衡

整個構架的水平外力只有 $P$，因此

代入上式：

整理得

2. 剛體 $BD$ 的力矩平衡

$C$ 點的水平力 $P$ 對 $B$ 點造成力矩 $PL$，故

代入：

核心觀念

本題為「彈簧與梁共同作用」的超靜定梁，要求使用諧合變位法。

由圖可知：

• $AC=2L$
• $AB=BC=L$
• $C$ 為固定端
• $A$ 為滾動支承，只提供鉛直反力
• $B$ 點設有鉛直彈簧，彈簧係數為 $k$
• 全梁承受均佈載重 $q$
• 僅考慮撓曲變形，梁撓曲剛度為 $EI$

令：

• $R_A$：$A$ 點向上的鉛直反力
• $S$：彈簧對梁向上的作用力
• $\Delta_B$：$B$ 點向下的彈簧變形

彈簧力與變形關係為

解題方法：以固定端 $C$ 的懸臂梁作基本系統

取向下為正，將 $R_A$ 與 $S$ 視為基本系統上的外加集中力反力。

以單位荷重法求得各變位影響係數。

均佈載重造成的變位

對長度 $2L$ 的懸臂梁，在距固定端 $C$ 為 $x$ 處，其均佈載重撓度為

因此：

在 $A$ 點，$x=2L$：

在 $B$ 點，$x=L$：

集中力造成的變位係數

對固定端在 $C$ 的懸臂梁：

由互等定理：

集中力作用於 $A$ 點時，$B$ 點變位為

故

諧合變位方程式

$A$ 點支承條件

$A$ 點為支承，鉛直變位必須為零：

代入各項：

整理得

$B$ 點彈簧相容條件

$B$ 點梁的向下變位等於彈簧壓縮變形：

因此