113 地方特考三等 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

已知三角形 $ABC$ 的兩邊 $AB$、$AC$ 及其夾角 $\angle A$，求第三邊與另一內角，分別使用餘弦定理與正弦定理。

解題方法

先將 $\angle A$ 化為十進位角度：

（一）求 $BC$

令 $a=BC$、$b=AC=607.289$ 公尺、$c=AB=420.476$ 公尺。由餘弦定理：

代入數值：

（二）求 $\angle B$

由正弦定理：

因此：

核心觀念

本題考查全站儀的整置與管狀水準器軸線誤差。儀器定心、定平後，將儀器連同水平度盤平轉 $180^\circ$，若水準器氣泡位置改變，表示水準器軸線與儀器旋轉軸之間不垂直，且儀器的垂直軸也未真正鉛直。

令：

• $L$：管狀水準器軸線；
• $V$：儀器垂直軸；
• $H$：水平度盤的旋轉軸線。

理想關係為 $L\perp V$，而垂直軸 $V$ 應鉛直。水平度盤轉動時，$L$ 隨儀器旋轉；轉過 $180^\circ$ 後，水準器軸線方向反轉，軸線不垂直造成的高低差會反向，因此氣泡位移是該誤差的兩倍。

解題方法與計算

已知轉動 $180^\circ$ 後，氣泡偏移 $2$ 格；水準器靈敏度為每格 $20''$。氣泡移動量代表兩個方向讀值之差，故單一方向的軸線傾斜量為其一半：

因此，管狀水準器軸線與儀器垂直軸不垂直，夾角誤差為 $20''$；儀器垂直軸相對鉛直方向的整置誤差亦為 $20''$。

儀器校正

核心觀念

本題考查平面坐標系統間的四參數相似轉換，包括：

• 平移量：$T_X、T_Y$
• 旋轉量：$\theta$
• 統一尺度因子：$m$

四參數法假設兩坐標系統間只有平移、旋轉及同一尺度的變化，不考慮非等比例縮放與坐標軸不正交造成的剪切變形。

依考卷原圖，表中資料為：

解題方法

採用平面四參數相似轉換式：

其中：

因此四個待定參數為：

由於已知 $A、B$ 兩點在新、舊坐標系統中的坐標，共有四個方程式，正好可解四個參數。

（一）四參數法的假設

四參數法的基本假設如下：

1. 兩坐標系統位於同一平面。
2. 坐標軸間只存在一個旋轉角。
3. 兩坐標系統具有相同的尺度因子，$X$、$Y$ 方向採用等比例縮放。
4. 坐標原點可產生平移，即存在 $T_X、T_Y$。
5. 坐標軸仍維持相互正交，不考慮剪切變形、非等比例變形及局部變形。

故四參數法為「平移二參數、旋轉一參數、尺度一參數」的平面相似轉換。

（二）四參數法之參數

1. 求 $\alpha、\beta$

由 $A、B$ 兩點坐標差：

新坐標差為：

由轉換式相減可得：

代入數值：

兩式相加：

第二式減第一式：

2. 求平移參數 $T_X、T_Y$

代入點 $A(100.000,100.000)$：

因此：

再由縱坐標式：

得到：

所以四參數為：

若以尺度與旋轉表示：

核心觀念

本題比較衛星定位測量（以 GNSS 衛星定位為代表）與傳統地面測量的作業特性。傳統地面測量以全站儀、經緯儀、水準儀等儀器，直接觀測地面點之間的角度、距離或高差；衛星定位測量則接收衛星訊號，依衛星與接收儀間的觀測資料計算測站位置。兩者在通視、觀測時間、選點、成果及天候適應性上各有差異。

解題方法

依題目所列五項逐一比較，掌握兩項原則：地面測量通常需要測站與目標點間互相通視；衛星定位測量不需測站彼此通視，但測站上空須有良好衛星視野。時間與成果則須區分「單點觀測所需時間」及「外業作業與成果處理」；天候方面須注意衛星訊號可能受遮蔽或干擾，不能簡化成完全不受天候影響。

逐項比較

（一）通視要求

• **衛星定位測量：**測站之間不必互相通視，接收儀只要能接收到足夠且幾何分布良好的衛星訊號即可。測站上空宜開闊，避開高樓、樹木、橋梁等遮蔽物，並減少會造成訊號反射的環境，以降低遮蔽與多路徑效應。
• **傳統地面測量：**通常須使儀器測站與照準目標間直接通視，才能觀測方向、角度或距離。地形、建物或植被阻隔時，須另設轉點、導線點或採其他測量方法。

（二）觀測時間

• **衛星定位測量：**可在多個測站同步觀測，且不必逐站建立彼此通視；但精度要求、基線長度、衛星幾何、觀測時段及後處理方式都會影響單站所需觀測時間。精密控制測量通常須持續觀測一段時間，不能一概視為瞬間完成。
• **傳統地面測量：**須逐站架設、整平、照準並觀測，導線或三角網作業也常需逐站推進，外業時間容易受測站數量、通視條件與地形影響。

（三）選點位置

• **衛星定位測量：**測點宜選在天空視野開闊處，避免鄰近高大建物、樹木及強反射表面；測站彼此不必為通視而配置在高處或沿可視路線排列。實務上仍須兼顧點位穩定、安全及可到達性。