108 地方特考三等 土木工程 鋼筋混凝土學與設計 考古題詳解

核心觀念

懸臂梁自由端受向下集中力時，固定端產生負彎矩，梁頂為受拉面。依圖示，$2$ 支 D32 與 $1$ 支 D25 均配置於梁頂，故三支鋼筋都計入受拉鋼筋面積。

依題面指定之《混凝土結構設計規範》，以命題當年（民國 108 年）規範為準，檢核設計彎矩需求 $M_u$ 是否小於設計抗彎強度 $\phi M_n$。

解題方法與計算

1. 計算載重組合及固定端彎矩

採用強度設計載重組合：

懸臂長度 $L=2\ \mathrm{m}$，因此固定端設計彎矩為

2. 確認受拉鋼筋面積及有效深度

圖示梁深為 $57\ \mathrm{cm}$，梁頂鋼筋中心距頂面 $7\ \mathrm{cm}$。梁頂為受拉面，底面為壓力面，所以

斷面寬度 $b=30\ \mathrm{cm}$。

3. 計算等值矩形壓力塊深度及名義抗彎強度

取 $\beta_1=0.85$：

4. 判定強度折減係數 $\phi$

中性軸深度為

核心觀念

本題考梁的剪力設計：先由斷面尺寸求混凝土剪力強度 $V_c$，再以強度折減係數 $\phi$ 求所需剪力鋼筋強度 $V_s$，最後依箍筋強度公式計算間距，並檢核規範的最大間距限制。

依圖示，梁寬 $b_w=30\ \mathrm{cm}$、總深度 $h=60\ \mathrm{cm}$；下層受拉主筋中心距梁底 $10\ \mathrm{cm}$，因此有效深度為：

解題方法

依題目提供的公式，以 $f'_c$ 單位 $\mathrm{kgf/cm^2}$、尺寸單位 $\mathrm{cm}$ 計算：

鋼筋混凝土梁剪力設計取 $\phi=0.75$。所需箍筋承擔的剪力為：

兩肢 D10 箍筋的總斷面積為：

垂直箍筋的剪力強度為 $V_s=A_v f_{yt}d/s$，因此由強度需求求得間距：

核心觀念

本題評量「使用載重狀態下鋼筋混凝土構件之應力與撓度檢核」，屬於服務載重（Serviceability）分析範疇。核心觀念涵蓋以下四項：

1. 彈性開裂轉換斷面（Cracked Transformed Section）： 當鋼筋應力達 $f_s = 0.6f_y$ 時，斷面已開裂，混凝土受拉側不計抗拉能力，受拉鋼筋面積轉換為等效混凝土受拉面積 $n A_s$，其中彈性模數比 $n = E_s / E_c$。懸臂梁受向下外力作用，固定端產生負彎矩，頂層受拉、底層受壓。
2. 開裂彎矩（Cracking Moment, $M_{cr}$）與破裂係數（$f_r$）： $f_r = 2\sqrt{f'_c}\qquad (\mathrm{kgf/cm^2})$ $M_{cr} = \frac{f_r I_g}{y_t}$
3. 布蘭森有效慣性矩（Branson's Effective Moment of Inertia, $I_e$）： 依據命題當年（民國 108 年）適用之「混凝土工程設計規範與解說（土木 401-100 / 401-107）」第 3.4.2 節規定，構件開裂後之折減剛度以有效慣性矩計算： $I_e = \left(\frac{M_{cr}}{M_a}\right)^3 I_g + \left[1 - \left(\frac{M_{cr}}{M_a}\right)^3\right] I_{cr} \le I_g$ 對於懸臂梁，規範規定可取固定端臨界斷面之 $I_e$ 代表全梁。
4. 結構力學懸臂梁端點撓度公式： 自由端受集中載重 $P$ 時之端點即時撓度為： $\Delta = \frac{P L^3}{3 E_c I_e}$

解題方法

步驟一：材料性質與模數比計算

• 混凝土彈性模數： $E_c = 15000\sqrt{f'_c} = 15000\sqrt{210} \approx 217,371\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 混凝土破裂係數： $f_r = 2\sqrt{f'_c} = 2\sqrt{210} \approx 28.98\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 鋼筋彈性模數取規範標準值 $E_s = 2.04 \times 10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$（若取 $2.0 \times 10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 亦可，結果差異極微）： $n = \frac{E_s}{E_c} = \frac{2.04 \times 10^6}{217,371} \approx 9.38$ $n A_s = 9.38 \times 10.13 = 95.02\ \mathrm{cm^2}$

步驟二：固定端開裂轉換斷面分析與外力 $P$ 之求解

懸臂梁受向下力作用，頂層受拉、底層受壓。設開裂中性軸自極限受壓緣（底面）起算之深度為 $x$：

• 對中性軸取面積一次矩平衡： $b \cdot \frac{x^2}{2} = n A_s (d - x)$ $35 \cdot \frac{x^2}{2} = 95.02 \times (50 - x)$ $17.5 x^2 + 95.02 x - 4751.0 = 0$ 解一元二次方程式： $x = \frac{-95.02 + \sqrt{95.02^2 - 4 \times 17.5 \times (-4751.0)}}{2 \times 17.5} \approx 13.99\ \mathrm{cm}$

• 計算內力臂長度 $jd$： $jd = d - \frac{x}{3} = 50 - \frac{13.99}{3} \approx 45.34\ \mathrm{cm}$

• 當鋼筋應力達 $f_s = 0.6 f_y = 0.6 \times 2800 = 1680\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，固定端斷面所承受之工作彎矩 $M_a$： $M_a = T \cdot jd = A_s f_s \cdot jd = 10.13 \times 1680 \times 45.34 = 771,614\ \mathrm{kgf\cdot cm} \approx 7716.1\ \mathrm{kgf\cdot m}$

• 自由端點所受之集中荷重 $P$（懸臂跨度 $L = 3\ \mathrm{m} = 300\ \mathrm{cm}$）：

核心觀念

本題考柱的二階效應與雙向配置主筋的軸力—彎矩設計。先依無側向位移構件計算彎矩放大，再以題附設計圖查所需總主筋比 $\rho_g$，換算成每邊 D32 根數，最後檢核柱主筋間淨距。

解題方法

1. 計算彎矩放大係數

柱為無側向位移、單曲率，且兩端彎矩相等，因此：

採普通重混凝土彈性模數 $E_c=15000\sqrt{f'_c}$：

以 $k=0.9$、$\ell_u=700\ \mathrm{cm}$ 計算：

採柱穩定設計係數 $\phi_k=0.75$：

放大後設計彎矩為：

2. 計算設計圖座標並查主筋比

斷面面積 $A_g=50\times50=2500\ \mathrm{cm^2}$。依題示設計圖使用 $\phi=0.65$：

保護層至鋼筋中心距為 $d'=7\ \mathrm{cm}$，故：