108 地方特考三等 土木工程 平面測量與施工測量 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗測量平差基礎中的觀測數據檢核（粗差剔除）與等精度直接觀測之平差計算。其核心概念與計算依據如下：

1. 測量誤差分類與粗差剔除：

• 測量誤差可分為粗差（Gross Error / Blunder）、系統誤差（Systematic Error）與偶然誤差（Random Error）。
• 平差理論（最小二乘法）僅適用於處理偶然誤差。因此，在進行計算前，必須先進行「偵錯與剔錯」，將粗差自觀測數據中剔除，否則將嚴重扭曲平差成果。

2. 等精度直接觀測之最或是值（Most Probable Value, MPV）：

• 設剔除粗差後之有效觀測次數為 $n$，各觀測值為 $L_i$（$i = 1, 2, \dots, n$）。
• 在等精度觀測條件下，最或是值即為觀測值之算術平均值 $\bar{X}$： $\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} L_i}{n}$

3. 改正數（Residuals）：

• 各觀測值之改正數定義為 $v_i = \bar{X} - L_i$（或 $L_i - \bar{X}$），且滿足 $\sum v_i = 0$。

4. 精度評估指標（中誤差）：

• 單一觀測值中誤差（Standard Deviation of Single Observation, $m$）： $m = \pm \sqrt{\frac{\sum v^2}{n - 1}}$ 其中 $n - 1$ 為多餘觀測數（自由度）。
• 最或是值中誤差（Standard Deviation of the Mean / MPV, $m_{\bar{X}}$）： $m_{\bar{X}} = \pm \frac{m}{\sqrt{n}} = \pm \sqrt{\frac{\sum v^2}{n(n - 1)}}$

解題方法

步驟一：觀測數據檢核與粗差剔除

檢視題目給定的七次距離觀測值： $369.42\ \mathrm{m}$、$369.44\ \mathrm{m}$、$369.40\ \mathrm{m}$、$269.99\ \mathrm{m}$、$369.46\ \mathrm{m}$、$369.41\ \mathrm{m}$、$369.43\ \mathrm{m}$。

• 其中第四個觀測值 $269.99\ \mathrm{m}$ 與其他六個數值（約 $369.4\ \mathrm{m}$）相差達近 $100\ \mathrm{m}$，顯屬觀測或記錄時發生的百米整數讀數錯誤，為典型之「粗差」（Gross Error）。
• 依題旨「注意測量數據的偵錯、剔錯」，應逕予剔除 $269.99\ \mathrm{m}$，不納入平差計算。
• 其餘六個有效觀測值全距僅 $0.06\ \mathrm{m}$，分佈合理，故有效觀測次數 $n = 6$。

步驟二：計算最或是值 $\bar{X}$

將六個有效觀測值取算術平均： $\sum_{i=1}^{6} L_i = 369.42 + 369.44 + 369.40 + 369.46 + 369.41 + 369.43 = 2216.56\ \mathrm{m}$

$\bar{X} = \frac{2216.56}{6} = 369.4266\dots\ \mathrm{m}$

• 依測量計算有效位數慣例，平差之中間成果與最終最或是值通常較原觀測值多保留一位估計位，取至小數後第三位為 $369.427\ \mathrm{m}$（若按原觀測值有效位數採四捨五入則為 $369.43\ \mathrm{m}$）。

步驟三：計算改正數 $v_i$ 與殘差平方和 $\sum v^2$

為簡化計算並確保精確度，設假定基準 $L_0 = 369.40\ \mathrm{m}$，以公分為單位分析各點差值 $d_i = (L_i - L_0) \times 100$：

• $d = [2,\ 4,\ 0,\ 6,\ 1,\ 3]\ \mathrm{cm}$，平均值 $\bar{d} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}\ \mathrm{cm}$
• 各觀測值改正數 $v_i = d_i - \bar{d}$（單位：$\mathrm{cm}$）：
• $v_1 = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}\ \mathrm{cm}$
• $v_2 = 4 - \frac{8}{3} = +\frac{4}{3}\ \mathrm{cm}$
• $v_3 = 0 - \frac{8}{3} = -\frac{8}{3}\ \mathrm{cm}$

核心觀念

本題主要測驗測量學中「地圖比例尺轉換」與「獨立觀測值之誤差傳播定律（Law of Error Propagation）」的綜合應用，涵蓋以下核心要點：

1. 比例尺換算原理： 設地形圖比例尺為 $\frac{1}{S}$（本題 $S = 5000$），圖上長度 $d$ 與實地長度 $D$ 之關係為： $D = d \times S$ 同理，其對應的實地長度中誤差亦放大 $S$ 倍： $\sigma_D = \sigma_d \times S$

2. 實地面積與單位換算： 長方形土地面積公式為 $A = L \times W$。面積單位換算關係為： $1\ \text{公頃 (ha)} = 10,000\ \text{m}^2$

3. 乘積函數之誤差傳播定律： 若 $L$ 與 $W$ 為相互獨立之觀測量，函數 $A = f(L, W) = L \cdot W$ 的中誤差 $\sigma_A$ 為： $\sigma_A = \sqrt{\left(\frac{\partial A}{\partial L}\right)^2 \sigma_L^2 + \left(\frac{\partial A}{\partial W}\right)^2 \sigma_W^2} = \sqrt{(W \cdot \sigma_L)^2 + (L \cdot \sigma_W)^2}$ 亦可表示為相對誤差平方和形式： $\left(\frac{\sigma_A}{A}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_L}{L}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_W}{W}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_l}{l}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_w}{w}\right)^2$

解題方法

步驟一：換算實地長度與寬度及其觀測中誤差

地圖比例尺為 $1:5000$，將圖上數據統一換算為公尺（$\text{m}$）：

1. 實地長度 $L$ 及其中誤差 $\sigma_L$：

• 圖上長度 $l = 6.00\ \text{cm} = 0.0600\ \text{m}$
• 圖上中誤差 $\sigma_l = 0.2\ \text{mm} = 0.0002\ \text{m}$
• 實地長度： $L = 0.0600\ \text{m} \times 5000 = 300.0\ \text{m}$
• 實地長度中誤差： $\sigma_L = 0.0002\ \text{m} \times 5000 = 1.0\ \text{m}$

2. 實地寬度 $W$ 及其中誤差 $\sigma_W$：

• 圖上寬度 $w = 4.00\ \text{cm} = 0.0400\ \text{m}$
• 圖上中誤差 $\sigma_w = 0.3\ \text{mm} = 0.0003\ \text{m}$
• 實地寬度： $W = 0.0400\ \text{m} \times 5000 = 200.0\ \text{m}$
• 實地寬度中誤差： $\sigma_W = 0.0003\ \text{m} \times 5000 = 1.5\ \text{m}$

步驟二：計算實地面積（公頃）

實地面積 $A$ 為長度與寬度之乘積： $A = L \times W = 300.0\ \text{m} \times 200.0\ \text{m} = 60,000\ \text{m}^2$

題目要求單位為「公頃」，進行單位換算： $A = \frac{60,000\ \text{m}^2}{10,000\ \text{m}^2/\text{ha}} = 6.00\ \text{公頃}$

步驟三：計算實地面積之中誤差（平方公尺）

核心觀念

本題考查道路設計高程的坡度改正，以及設計高程與現況高程的比較：

• 朝東下坡 $2\%$：向東每增加 $1$ 公尺，高程降低 $0.02$ 公尺。
• 朝北上坡 $1\%$：向北每增加 $1$ 公尺，高程增加 $0.01$ 公尺。
• 設計高程高於現況高程，表示須填方；低於現況高程，表示須挖方。

依圖示方位與座標，$X$ 軸向東、$Y$ 軸向北。B 點相對 A 點在西北方，因此橫坡與縱坡的高程改正都會使 B 點設計高程高於 A 點。

解題方法

先求 A 點施工後的設計高程。A 點須下挖 $0.23\ \mathrm{m}$：

B 點相對 A 點的座標差為：

核心觀念

這題考單圓曲線的里程、弧長、弦長、切線弦偏角與外距。交角為 $I$、半徑為 $R$ 時，整段曲線的圓心角為 $I$，弧長為 $R I$（$I$ 須以弧度表示）。圖中 $D$ 是曲線中點，因此弧 $AD$ 是全曲線的一半；$J$ 是弧 $AD$ 的中點，但 $\widehat{AJD}$ 表示從 $A$ 經 $J$ 到 $D$ 的整段弧。

解題方法

先由里程差求全曲線長：

將交角換成弧度：

由 $L=RI$ 驗算：

與里程差的 $232.71\ \mathrm{m}$ 相符。

因 $D$ 是曲線中點，弧 $AD$ 為全曲線的一半，所以：

弧 $AD$ 對應的圓心角為 $I/2=13^\circ20'$，因此弦長為：

核心觀念

本題為平面測量學中典型的「坐標反算」結合「導線方位角推算」之綜合計算題，主要評量以下核心觀念：

1. 平面坐標反算方位角（Coordinate Inverse）： 在平面直角坐標系（台灣二度分帶高斯－克呂格投影 TWD97，以 $X$ 為橫坐標 Easting、$Y$ 為縱坐標 Northing）中，由兩已知點坐標計算方位角時，方位角 $\phi$ 定義為由縱坐標軸正向（正北方向）順時針旋轉至測線方向的夾角。 設測站為 $B$、照準點為 $A$： $\Delta X_{BA} = X_A - X_B, \quad \Delta Y_{BA} = Y_A - Y_B$ 象限角（Quadrant Bearing）為 $\theta = \arctan\left|\frac{\Delta X_{BA}}{\Delta Y_{BA}}\right|$，再依 $\Delta X$ 與 $\Delta Y$ 的正負號判斷所在象限以決定全圓方位角 $\phi_{BA}$。
2. 正倒鏡觀測平均法消除儀器誤差： 全站儀於同一目標取「盤左（正鏡）」與「盤右（倒鏡）」讀數平均，可有效消除視準軸誤差（$c$ 誤差）、橫軸傾斜誤差（$i$ 誤差）及度盤偏心差。 水平夾角（順時針右角 $\beta$）為前視方向值減去後視方向值。
3. 前進方位角推算與反方位角轉換：

• 順時針右角推算前視方位角：$\phi_{\text{前視}} = \phi_{\text{後視}} + \beta$（若大於等於 $360^\circ$ 則減去 $360^\circ$）。
• 正方位角與反方位角互換：方向 $\overline{BC}$ 與方向 $\overline{CB}$ 互為反向，其方位角相差 $180^\circ$： $\phi_{CB} = \phi_{BC} \pm 180^\circ \quad (\phi_{BC} < 180^\circ \text{ 時取 } +180^\circ)$

解題方法

步驟一：反算後視方向 $\overline{BA}$ 之方位角 $\phi_{BA}$

以全站儀架設之測站 $B$ 為起點，後視點 $A$ 為終點，計算兩點坐標增量： $\Delta X_{BA} = X_A - X_B = 167447.491 - 173600.168 = -6152.677\ \mathrm{m}$ $\Delta Y_{BA} = Y_A - Y_B = 2535529.417 - 2540838.005 = -5308.588\ \mathrm{m}$

• 判斷象限： $\Delta X_{BA} < 0$（偏西）且 $\Delta Y_{BA} < 0$（偏南），故測線 $BA$ 位於第三象限（南西象限，SW）。
• 計算象限角 $\theta_{BA}$： $\theta_{BA} = \arctan\left(\frac{|\Delta X_{BA}|}{|\Delta Y_{BA}|}\right) = \arctan\left(\frac{6152.677}{5308.588}\right) \approx 49^\circ 12' 43.5''$
• 求全圓方位角 $\phi_{BA}$： $\phi_{BA} = 180^\circ + \theta_{BA} = 180^\circ + 49^\circ 12' 43.5'' = 229^\circ 12' 43.5''$

步驟二：計算測站 $B$ 處之水平夾角 $\angle ABC$（順時針夾角 $\beta$）

儀器架於 $B$ 點，後視 $A$ 點、前視 $C$ 點。分別以正鏡與倒鏡計算順時針水平角：

1. 正鏡水平角 $\beta_{\text{正}}$： $\beta_{\text{正}} = C_{\text{正}} - A_{\text{正}} = 251^\circ 47' 24'' - 60^\circ 13' 25'' = 191^\circ 33' 59''$
2. 倒鏡水平角 $\beta_{\text{倒}}$： $\beta_{\text{倒}} = C_{\text{倒}} - A_{\text{倒}} = 71^\circ 47' 11'' - 240^\circ 13' 13'' + 360^\circ = 191^\circ 33' 58''$