108 地方特考三等 土木工程 土壤力學與基礎工程 考古題詳解

核心觀念

本題考查土壤力學五個基本名詞：土體受力時由誰承擔、砂土的密實程度、土層過去受壓歷史，以及水在土體中的流動能力。作答時宜先寫出定義，再補上關鍵公式與工程意義。

解題方法與名詞說明

（一）有效應力（effective stress）

飽和土體中的總應力由土骨架與孔隙水共同承擔。總應力扣除孔隙水壓後，作用於土粒骨架、控制土體變形與強度的應力，稱為有效應力，以 $\sigma'$ 表示：

其中 $\sigma$ 為總應力，$u$ 為孔隙水壓。若使用垂直應力表示，則為 $\sigma'_v=\sigma_v-u$。在地下水位以下的靜水條件，孔隙水壓隨深度增加；若其他條件不變，孔隙水壓上升會使有效應力降低，土體抗剪強度與承載能力也會隨之降低。

（二）土壤液化（liquefaction）

土壤液化是指飽和、鬆散砂土在地震等反覆剪力作用下，因排水不及而產生超額孔隙水壓，使有效應力大幅降低，土體強度與剛度顯著喪失，行為近似液體的現象。

以有效應力原理表示，當孔隙水壓上升至接近總應力時：

土粒間的接觸力因而大幅減少。液化後可能發生地盤沉陷、側向擴展、噴砂冒水，以及基礎承載力下降等災害。液化易發生於地下水位較高且相對鬆散的飽和砂土；是否液化仍須配合地震強度、土層條件與應力狀態判斷。

（三）相對密度（relative density）

相對密度用來描述無凝聚性土壤（尤其砂土）的密實程度，定義為土壤目前孔隙比相對於最鬆與最密狀態的範圍：

其中 $e$ 為現地孔隙比，$e_{\max}$ 為最鬆狀態孔隙比，$e_{\min}$ 為最密狀態孔隙比。若以百分率表示，則將右式乘以 $100\%$。$D_r$ 越大，表示砂土越密實；越小則越鬆散。相對密度常用於評估砂土的工程性質與液化潛勢，但不能單獨作為液化判定依據。

（四）過壓密比（overconsolidation ratio）

過壓密比（OCR）是土層過去曾承受的最大有效垂直應力，與目前有效垂直應力的比值：

核心觀念

本題考土壤三相關係與相對密度。

含水量 $w$ 為水重與乾土重之比；飽和度 $S_r$ 為孔隙中水體積占總孔隙體積的比例。將水與土粒視為兩相，可用下式求土粒比重 $G_s$：

其中 $e=V_v/V_s$ 為孔隙比。由總體積、乾土重與土粒比重，可得 $e=V/V_s-1$，且 $V_s=W_s/(G_s\rho_w)$。

相對密度 $D_r$ 與最疏鬆、最緊密狀態的孔隙比關係為：

在土粒體積固定時，孔隙比與土樣總體積呈線性關係，因此可將相對密度公式改寫為體積式。

解題方法

一、求土粒比重

土樣總重為 $900\ \mathrm{g}$，烘乾重即土粒重為 $850\ \mathrm{g}$，故水重為：

含水量：

題給飽和度 $S_r=27\%=0.27$。由 $S_r=wG_s/e$，得：

又總體積 $V=500\ \mathrm{ml}$，水的密度取 $1\ \mathrm{g/ml}$，故土粒體積為：

因此：

核心觀念

流網由流線與等勢線組成。滲流量依流網公式計算：

$q=k\Delta H\frac{N_f}{N_d}$

其中 $q$ 為每單位寬度的滲流量，$k$ 為滲透係數，$\Delta H$ 為上下游總水頭差，$N_f$ 為流道數，$N_d$ 為等勢降數。

壩趾 A 點位於下游出逸邊界，孔隙水壓可由該點的壓力水頭計算。臨界水力坡降則為土壤浮重度與水單位重之比：

核心觀念

本題考查砂土淺基礎的極限承載力，以及地下水位對基礎底面以下土壤有效單位重的影響。採用 Terzaghi 矩形基礎承載力公式：

砂土取 $c=0$，故第一項為零。$B$ 為基礎短邊、$L$ 為長邊，$q=\gamma D_f$ 為基礎底面的覆土壓力。容許承載力採安全係數 $FS=3$：

題目未指定安全係數；本題依淺基礎承載力常用約定取 $FS=3$，並以總應力表示容許承載力。

解題方法

基礎長 $L=4\ \mathrm{m}$、寬 $B=2\ \mathrm{m}$，埋深 $D_f=1\ \mathrm{m}$。基礎底面位於地下水位以上 $2\ \mathrm{m}$，因此底面覆土壓力使用天然單位重：

基礎底面以下的砂土在地下水位以上厚 $2\ \mathrm{m}$，地下水位以下則採浮單位重。取水的單位重 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$，飽和土浮單位重為：

核心觀念

本題考查傳統三軸壓密排水試驗中的應力路徑，以及等向性線彈性材料的彈性常數關係。

三軸壓縮時，軸向主應力為 $\sigma_1'$，徑向主應力為 $\sigma_2'=\sigma_3'$。以平均有效主應力 $p'$ 與偏差應力 $q$ 表示：

等向性線彈性材料的彈性常數關係為：

其中 $E$ 為楊式模數、$G$ 為剪力模數、$K$ 為統體模數、$\nu$ 為波松比。

解題方法

（一）應力路徑

壓密完成時，試體在等向有效圍壓下，故初始狀態為：

排水剪切時有效圍壓維持不變，因此 $\Delta\sigma_3'=0$。軸差應力增加 $90\ \mathrm{kPa}$，故：

終點為 $(p',q)=(130,90)\ \mathrm{kPa}$。應力路徑如下：

q (kPa)
↑
90│ ● (130, 90)
 │ ／
 │ ／ Δq = 90 kPa
 │ ／ Δp′ = 30 kPa
 │ ／
 0│ ●
 └───────┬─────────────────┬────→ p′ (kPa)
 100 130

路徑是由 $(100,0)$ 至 $(130,90)$ 的直線，斜率 $\Delta q/\Delta p'=3$。若以主應力座標表示，則 $\sigma_3'=100\ \mathrm{kPa}$ 不變，而 $\sigma_1'$ 由 $100$ 增至 $190\ \mathrm{kPa}$。

（二）彈性常數

以下以壓縮應變為正。軸應變增量為：

體積應變增量為：

三軸對稱條件下，兩個徑向應變相同，令其為 $\Delta\varepsilon_r$，則：