110 地方特考三等 衛生技術 生物統計學 考古題詳解

核心觀念

本題將患者是否達到「血糖至少降低 $20$ 毫克／分升」視為二元結果：

• 有效：成功
• 無效：失敗

因此可用二項分布分析母體有效比例 $p$。

已知：

其中 $x$ 為有效人數，$n$ 為樣本總人數。

一、有效比例之最佳點估計值

母體有效比例 $p$ 的最佳點估計值為樣本有效比例：

代入資料：

因此，此降血糖藥物有效比例的最佳點估計值為：

亦即估計約有 $28\%$ 的糖尿病患者使用此藥物一個月後，血糖至少降低 $20$ 毫克／分升。

二、最佳點估計值之 $95\%$ 信賴區間

解題方法

樣本數 $n=150$，且：

均大於 $5$，可使用大樣本常態近似的比例信賴區間：

在 $95\%$ 信賴水準下：

先計算標準誤：

誤差界限為：

所以信賴區間為：

四捨五入後：

以百分比表示，即：

因此，在 $95\%$ 信賴水準下，母體中使用此藥物後有效的患者比例估計約介於 $20.8\%$ 至 $35.2\%$ 之間。

三、檢定藥物療效是否超過安慰劑作用

安慰劑使血糖至少降低 $20$ 毫克／分升的比例為：

研究樣本觀察到的有效比例為：

本題要判斷藥物療效是否「高於」安慰劑作用，因此採用單一母體比例之單尾檢定。

假設

虛無假說：

對立假說：

核心觀念

本題為同一批 $81$ 名患者在飲食介入前、後的血壓比較，屬於「成對樣本」資料，應分析每位患者的前後差值，而非直接將前、後兩組視為獨立樣本。

定義前後改變量為：

因此，平均改變量為 $\bar D=14.3$，表示平均下降 $14.3$ 毫米汞柱。

採用成對樣本 $t$ 檢定，其統計量為：

其中：

• $\mu_{D0}$：虛無假說下的平均改變量
• $s_D=9.6$：改變量標準差
• $n=81$：成對樣本數
• 自由度 $df=n-1=80$

統計假說

因題目問得舒飲食是否對收縮壓改變「具有統計顯著效應」，採雙尾檢定：

表示得舒飲食前後收縮壓的平均改變量為 $0$，沒有統計顯著的平均改變。

表示得舒飲食前後收縮壓的平均改變量不等於 $0$，具有統計顯著的改變。

成對樣本 $t$ 檢定

顯著水準為：

先計算平均改變量的標準誤：

計算檢定統計量：

在自由度 $80$、雙尾顯著水準 $0.05$ 下：

拒絕域為：

由於：

故拒絕虛無假說。其雙尾 $p$ 值遠小於 $0.05$，表示得舒飲食前後收縮壓的平均改變具有統計顯著性。

由於 $\bar D=14.3>0$，且差值定義為「飲食前減飲食後」，因此結果表示收縮壓平均顯著下降約 $14.3$ 毫米汞柱。

$95\%$ 信賴區間

平均改變量的 $95\%$ 信賴區間為：

核心觀念

本題為 $2\times 2$ 列聯表資料，目的有二：

1. 檢定「喝酒」與「是否罹患痛風」是否具有統計顯著相關。
2. 估計痛風組與正常對照組之間喝酒率的差異，並建立其 $95\%$ 信賴區間。

由於兩組皆為獨立樣本，且每格期望次數均大於 $5$，適合使用 Pearson 卡方獨立性檢定。

一、建立 $2\times 2$ 列聯表

假設為：

• $H_0$：喝酒與痛風相互獨立，即兩組喝酒率相同。
• $H_1$：喝酒與痛風不獨立，即兩組喝酒率不同。

顯著水準為 $\alpha=0.05$。

二、卡方獨立性檢定

各格期望次數公式為：

因此：

所有期望次數皆大於 $5$，符合 Pearson 卡方檢定條件。

Pearson 卡方統計量為：

對 $2\times2$ 表，也可使用簡化公式：

其中：

• $a=75$
• $b=55$
• $c=35$
• $d=90$
• $n=255$

故：

自由度為：

在 $\alpha=0.05$、$df=1$ 下，臨界值為：

因為：

故拒絕 $H_0$。其 $p$ 值小於 $0.001$，達統計顯著。

**統計結論：**喝酒與痛風之間具有統計顯著相關。就樣本比例而言，痛風組的喝酒率高於正常對照組。

核心觀念

本題考查：

1. 單因子變異數分析（one-way ANOVA）。
2. 三組平均數的整體檢定。
3. ANOVA 表中平方和、自由度、均方與 $F$ 值的計算。
4. 兩獨立母群體平均值差異的 $95\%$ 信賴區間。

以命題當年（民國 110 年）統計方法與研究設計為準。

一、統計假說

令三組母群體平均 GPT 值分別為：

• $\mu_1$：從未吸菸組
• $\mu_2$：已戒菸組
• $\mu_3$：現在吸菸組

虛無假說：

對立假說：

對立假說不是指三組平均數全部不同，只要存在任兩組平均數不同即可。

二、變異數分析表計算

（一）組內平方和 $(a)$

總平方和等於組間平方和加上組內平方和：

因此：

（二）組間自由度 $(b)$

本研究共有 $k=3$ 組，因此：

（三）組內自由度 $(c)$

總樣本數為 $N=575$，所以：

亦可由總自由度驗算：

（四）組間均方 $(d)$

均方等於平方和除以自由度：

（五）$F$ 值 $(e)$

題目給定組內均方 $MS_W=696.4$，因此：

完整 ANOVA 表如下：

三、統計結論

顯著水準為：

題目給定：

因此拒絕虛無假說，認為三種吸菸狀態組別間的丙胺酸轉胺酶平均值具有統計上顯著差異。