107 地方特考三等 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題評量分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）​於母體平均數推論上的核心計算，包含四大考點：

1. 母體平均數的點估計：分層樣本平均數 $\bar{y}_{st}$ 為母體平均數 $\mu$ 的不偏估計量，其公式為各層樣本平均數之加權平均： $\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^L W_h \bar{y}_h$ 其中 $W_h = \frac{N_h}{N}$ 為第 $h$ 層的母體權數。
2. 估計量的變異數與有限母體校正（FPC）：各層獨立抽樣時，$\bar{y}_{st}$ 的估計變異數為： $\hat{V}(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^L W_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{s_h^2}{n_h}$ 當抽樣比 $f_h = \frac{n_h}{N_h} > 5\%$ 時，必須納入有限母體校正因子 $(1 - f_h)$。
3. 信賴區間之自由度決定：

• 各層自由度累加法（彙總自由度）：在各層母體常態且母體變異數無劇烈差異之假設下，各層樣本變異數 $s_h^2$ 各具 $n_h - 1$ 個自由度，合併估計的總自由度為： $df = \sum_{h=1}^L (n_h - 1) = n - L$
• Satterthwaite 近似自由度（Effective Degrees of Freedom）：若各層變異數不同，理論上可採用 Satterthwaite 公式近似；但本題題幹已直接給定 $t_{0.025}(147)$，指引自由度採各層累加之 $df = 147$。

4. 母體平均數之 $95\%$ 信賴區間： $\bar{y}_{st} \pm t_{\alpha/2}(df) \times \sqrt{\hat{V}(\bar{y}_{st})}$

解題方法

（一）估計母體平均數（5 分）

1. 計算母體總單元數與各層權數：

• 母體總數： $N = N_1 + N_2 + N_3 = 100 + 100 + 100 = 300$
• 各層權數： $W_1 = \frac{N_1}{N} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3}$ $W_2 = \frac{N_2}{N} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3}$ $W_3 = \frac{N_3}{N} = \frac{100}{300} = \frac{1}{3}$

2. 計算分層樣本平均數 $\bar{y}_{st}$： $\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^3 W_h \bar{y}_h = \left(\frac{1}{3}\right)(10) + \left(\frac{1}{3}\right)(20) + \left(\frac{1}{3}\right)(30) = \frac{10 + 20 + 30}{3} = \frac{60}{3} = 20$

故母體平均數之點估計值為 $20$。

（二）提供信賴區間所需 $t$ 分配的自由度（10 分）

在分層隨機抽樣中，建構母體平均數的信賴區間時，變異數由各層獨立抽出的樣本變異數 $s_h^2$ 加權估計而得：

1. 標準自由度推導（各層自由度累加）： 第 $h$ 層樣本數為 $n_h$，該層樣本變異數 $s_h^2$ 所提供的自由度為 $n_h - 1$。 因為三層抽樣彼此獨立，合併後的估計量總自由度為各層自由度之和： $df = \sum_{h=1}^3 (n_h - 1) = (50 - 1) + (50 - 1) + (50 - 1) = 49 + 49 + 49 = 147$ 或直接由總樣本數減去層數計算： $df = n - L = 150 - 3 = 147$

2. 學理補充說明（Satterthwaite Approximation）： 若考量各層變異數異質（Heteroscedasticity），抽樣理論（如 Cochran, 1977）亦提供 Satterthwaite 有效自由度公式：

核心觀念

本題評量在抽樣調查中，將各層獨立視為母體（層母體，Stratum Population）時，採用不放回簡單隨機抽樣（Simple Random Sampling Without Replacement, SRSWOR）​進行母體平均數點估計與區間估計的基本能力。

涉及之核心統計公式如下：

1. 母體平均數之點估計量： 以樣本平均數作為不偏估計量： $\hat{\bar{Y}}_h = \bar{y}_h = \frac{1}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h} y_{hi}$
2. 樣本平均數之估計變異數： 由於每層母體大小 $N_h$ 有限且抽樣比 $f_h = \frac{n_h}{N_h} = \frac{50}{100} = 50\% > 5\%$，必須納入有限母體校正係數（Finite Population Correction factor, fpc） $(1 - f_h)$： $\widehat{\text{Var}}(\bar{y}_h) = (1 - f_h)\frac{s_h^2}{n_h} = \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right)\frac{s_h^2}{n_h}$
3. 樣本平均數之估計標準誤（Standard Error）： $\widehat{\text{SE}}(\bar{y}_h) = \sqrt{\widehat{\text{Var}}(\bar{y}_h)}$
4. 母體平均數之 $95\%$ 信賴區間： 在母體變異數未知、由樣本變異數 $s_h^2$ 代替時，採用自由度為 $n_h - 1 = 50 - 1 = 49$ 的 $t$ 分配臨界值 $t_{0.025}(49) = 2.009575$： $\bar{y}_h \pm t_{0.025}(n_h - 1) \times \widehat{\text{SE}}(\bar{y}_h)$

解題方法

本題題幹指明「單獨根據各層的資訊估計母體平均數」，意即在試算簡單隨機抽樣下，將每一層分別視為獨立母體（母體大小皆為 $N_h = 100$），各層抽出樣本數皆為 $n_h = 50$，計算各層獨立估計之結果。

（一）單獨根據第一層的資訊估計

1. 基本數據： $N_1 = 100$，$n_1 = 50$，抽樣比 $f_1 = \frac{50}{100} = 0.5$，樣本平均數 $\bar{y}_1 = 10$，樣本變異數 $s_1^2 = 800$。
2. 母體平均數點估計： $\hat{\bar{Y}}_1 = \bar{y}_1 = 10$
3. 估計變異數與標準誤： $\widehat{\text{Var}}(\bar{y}_1) = \left(1 - \frac{n_1}{N_1}\right)\frac{s_1^2}{n_1} = (1 - 0.5) \times \frac{800}{50} = 0.5 \times 16 = 8$ $\widehat{\text{SE}}(\bar{y}_1) = \sqrt{8} \approx 2.828427$
4. $95\%$ 信賴區間： $ME_1 = t_{0.025}(49) \times \widehat{\text{SE}}(\bar{y}_1) = 2.009575 \times \sqrt{8} \approx 2.009575 \times 2.828427 = 5.683938 \approx 5.68$

• 下界：$10 - 5.683938 = 4.316062 \approx 4.32$
• 上界：$10 + 5.683938 = 15.683938 \approx 15.68$

得第一層母體平均數之 $95\%$ 信賴區間為 $[4.32, 15.68]$。

（二）單獨根據第二層的資訊估計

1. 基本數據： $N_2 = 100$，$n_2 = 50$，抽樣比 $f_2 = \frac{50}{100} = 0.5$，樣本平均數 $\bar{y}_2 = 20$，樣本變異數 $s_2^2 = 700$。
2. 母體平均數點估計： $\hat{\bar{Y}}_2 = \bar{y}_2 = 20$
3. 估計變異數與標準誤： $\widehat{\text{Var}}(\bar{y}_2) = \left(1 - \frac{n_2}{N_2}\right)\frac{s_2^2}{n_2} = (1 - 0.5) \times \frac{700}{50} = 0.5 \times 14 = 7$ $\widehat{\text{SE}}(\bar{y}_2) = \sqrt{7} \approx 2.645751$
4. $95\%$ 信賴區間：

核心觀念

本題評量分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling）​中的樣本配置（Sample Allocation）​理論。

在分層抽樣設計中，當考量各層抽樣成本與母體異質性時，常用的樣本分配原則如下：

1. 最適配置（Optimum Allocation）： 在固定總成本（$C = c_0 + \sum c_h n_h$）下追求估計量變異數最小，或在固定估計精確度（變異數）下追求總成本最小。此時第 $h$ 層所分配之樣本數公式為： $n_h = n \cdot \frac{\dfrac{N_h \sigma_h}{\sqrt{c_h}}}{\sum_{k=1}^L \dfrac{N_k \sigma_k}{\sqrt{c_k}}}$ 其中 $N_h$ 為第 $h$ 層母體單元數，$\sigma_h$ 為第 $h$ 層母體標準差，$c_h$ 為第 $h$ 層每抽樣一個單元的成本。

2. 奈曼配置（Neyman Allocation）： 當題目假設各層抽樣成本一致（即 $c_1 = c_2 = \dots = c_L = c$）時，最適配置即退化為奈曼配置。在固定總樣本數 $n$ 的條件下，第 $h$ 層的樣本配置公式為： $n_h = n \cdot \frac{N_h \sigma_h}{\sum_{k=1}^L N_k \sigma_k}$ 由公式可知，各層分配到的樣本數與該層的「母體規模 $N_h$」及「標準差 $\sigma_h$」的乘積成正比。

解題方法

步驟一：整理已知數據並計算各層標準差

題目給定總樣本數 $n = 150$，母體層數 $L = 3$：

• 第一層：$N_1 = 100$，母體變異數 $\sigma_1^2 = 16 \implies \sigma_1 = \sqrt{16} = 4$
• 第二層：$N_2 = 200$，母體變異數 $\sigma_2^2 = 25 \implies \sigma_2 = \sqrt{25} = 5$
• 第三層：$N_3 = 300$，母體變異數 $\sigma_3^2 = 36 \implies \sigma_3 = \sqrt{36} = 6$

步驟二：計算各層權重項及其總和

計算各層的 $N_h \sigma_h$：

• 第一層：$N_1 \sigma_1 = 100 \times 4 = 400$
• 第二層：$N_2 \sigma_2 = 200 \times 5 = 1000$
• 第三層：$N_3 \sigma_3 = 300 \times 6 = 1800$

加總各層權重： $\sum_{h=1}^3 N_h \sigma_h = 400 + 1000 + 1800 = 3200$

核心觀念

1. 系統抽樣（Systematic Sampling）之選樣程序： 母體個數為 $N = 60$，採「每 $k = 5$ 個取 1 個」之 1-in-$k$ 系統抽樣，樣本大小為： $n = \frac{N}{k} = \frac{60}{5} = 12$ 若隨機起點為 $r$（$1 \le r \le k$），則抽出的樣本座號為： $\{r + (i-1)k \mid i = 1, 2, \dots, n\}$

2. 樣本比例之點估計： 設樣本中支持議題甲的人數為 $a$，則支持比例的點估計量為： $\hat{p} = \frac{a}{n}$

3. 單一樣本系統抽樣之變異數估計： 系統抽樣本質上屬於單群集抽樣（Single-cluster sampling），僅抽取一個隨機起點時，理論上無法由單一樣本求得設計無偏（design-unbiased）的變異數估計值。但在抽樣實務與國家考試慣例（依據 Scheaffer 等經典抽樣教科書）中，若母體單元排列視為隨機排序（Random ordering），通常以簡單隨機不隨機置回抽樣（SRSWOR）​的變異數不偏估計式作為系統抽樣變異數之估計： $v(\hat{p}) = \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n-1}$ 其中 $\left(1 - \frac{n}{N}\right)$ 為有限母體校正因子（Finite Population Correction, FPC）。

註：部分基礎教材亦有採用大樣本漸近公式（分母取 $n$ 而非 $n-1$）：$v(\hat{p}) = \left(1 - \frac{n}{N}\right) \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$。

4. 估計誤差界限（Bound on the Error of Estimation）： 依題目定義，估計誤差 $B$ 為變異數放大 4 倍後的正平方根，即統計學上常稱的 2 倍標準誤界限（約對應 95% 信賴水準）： $B = \sqrt{4 \times v(\hat{p})} = 2\sqrt{v(\hat{p})}$

解題方法

（一）計算支持議題甲的樣本比例 $\hat{p}$

1. 決定抽出樣本的座號清單： 已知起點座號 $r = 03$，抽樣間距 $k = 5$，依序抽出的 12 位同學座號為： $03, 08, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58$

2. 比對母體中支持議題甲的名單： 母體支持者座號集合為： $\{04, 05, 07, 10, 15, 17, 19, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 37, 39, 45, 46, 50, 53, 58, 60\}$ 逐一比對樣本座號，落在支持名單者為：

• 座號 28（支持）
• 座號 53（支持）
• 座號 58（支持） 其餘座號（03、08、13、18、23、33、38、43、48）均未在名單內。 故樣本中支持者人數為 $a = 3$ 人。

3. 計算樣本比例： $\hat{p} = \frac{a}{n} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

（二）估計樣本比例的變異數 $v(\hat{p})$

已知母體數 $N = 60$、樣本數 $n = 12$、樣本比例 $\hat{p} = \frac{1}{4}$、$1 - \hat{p} = \frac{3}{4}$。

1. 有限母體校正因子（FPC）： $1 - f = 1 - \frac{n}{N} = 1 - \frac{12}{60} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$

2. 代入變異數不偏估計式（分母為 $n-1$）：