108 地方特考三等 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題考查有限母體下的簡單隨機不放回抽樣、樣本平均數的抽樣分配與不偏性，以及有限母體修正因子對變異數的影響。

母體為 $\{1,2,3,4,5\}$，母體平均數與母體變異數分別為

$$\mu=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3,$$ $$\sigma^2=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}(i-\mu)^2 =\frac{4+1+0+1+4}{5}=2.$$

一次抽取 $2$ 球且不放回，所有不同的無序樣本共有 $\binom{5}{2}=10$ 個，且機率相同。$X=(X_1+X_2)/2$ 就是樣本平均數。

（一）$X$ 的抽樣分配

列出全部 10 個等可能樣本，並計算其樣本平均數：

抽出的球	$X$
$\{1,2\}$	$1.5$
$\{1,3\}$	$2$
$\{1,4\}$	$2.5$
$\{1,5\}$	$3$
$\{2,3\}$	$2.5$
$\{2,4\}$	$3$
$\{2,5\}$	$3.5$
$\{3,4\}$	$3.5$
$\{3,5\}$	$4$
$\{4,5\}$	$4.5$

因此 $X$ 的機率分配為

$x$	$1.5$	$2$	$2.5$	$3$	$3.5$	$4$	$4.5$
$P(X=x)$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$

（二）驗證 $X$ 是否為 $\mu$ 的不偏估計式

估計量不偏的定義是其期望值等於欲估計的母體參數。由抽樣分配可得

$$\begin{aligned} E(X) &=\frac{1}{10}\left(1.5+2+2(2.5)+2(3)+2(3.5)+4+4.5\right)\\ &=3=\mu. \end{aligned}$$

核心觀念

本題採取二階段集束抽樣（two-stage cluster sampling）：先從 100 個班級中抽出 5 班，再於每個抽中的班級內抽取部分學生。第一階段的抽樣單位是班級，第二階段的抽樣單位是學生。

設全校班級數 $N=100$，第一階段抽出 $n=5$ 班；第 $i$ 班學生總數為 $M_i$，班內抽出 $m_i$ 人。各班抽樣人數不完全相同，因此估計全校學生平均數時，應依各班學生總數及抽樣率加權，不能直接把五個班級平均數作算術平均。

解題方法與公式

令 $t_i$ 為第 $i$ 班全班學生打工時數總和，班級平均數為 $\bar{Y}_i=t_i/M_i$。二階段簡單隨機抽樣下，該班總和的估計量為

$$\hat{t}_i=M_i\bar{y}_i.$$

全校學生總數未知時，先以估計的全校總打工時數除以估計的全校學生總數，得到比率估計量：

$$\hat{\bar{Y}}_R =\frac{\sum_{i\in s}M_i\bar{y}_i}{\sum_{i\in s}M_i}.$$

此題各抽中班級的 $M_i$ 已知，但全校各班總學生人數合計未知，故以抽中班級的總人數推估全校學生總數。等價地，使用二階段抽樣的班級總和估計量，得到

$$\hat{\bar{Y}} =\frac{N}{\sum_{i=1}^{n}M_i}\sum_{i=1}^{n}\frac{M_i\bar{y}_i}{n} =\frac{\sum_{i=1}^{n}M_i\bar{y}_i}{\sum_{i=1}^{n}M_i}.$$

本題計算：

$$\sum M_i=50+78+62+71+39=300,$$ $$\sum M_i\bar{y}_i =50(29)+78(20)+62(35)+71(45)+39(15) =9{,}112.$$

因此

$$\hat{\bar{Y}}=\frac{9{,}112}{300}=30.3733\text{ 小時}.$$

（一）抽樣方法

先隨機抽取班級，再於各抽中班級內隨機抽取學生，故為二階段集束抽樣。若題目特別強調第一階段班級與第二階段學生均為簡單隨機抽樣，也可稱為二階段簡單隨機集束抽樣。

（二）平均數估計與 95% 誤差界限

此小題沒有提供全校學生總數，採二階段抽樣下的比率估計量，估計平均數為

$$\boxed{\hat{\bar{Y}}=30.3733\text{ 小時}}.$$

95% 誤差界限通常以 $B=2\widehat{\operatorname{SE}}(\hat{\bar{Y}})$ 近似。為計算抽樣變異數，先計算抽中班級總數估計值 $M_i\bar{y}_i$ 的樣本變異數：

$$z_i=M_i\bar{y}_i=(1450,\ 1560,\ 2170,\ 3195,\ 585).$$ $$\bar{z}=\frac{1}{5}\sum z_i=1{,}792, \qquad s_z^2=\frac{\sum_{i=1}^{5}(z_i-\bar{z})^2}{n-1} =1{,}079{,}295.$$

班級總數估計量的第一階段變異數估計為

$$\widehat{V}(\hat{T}) =N^2\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{s_z^2}{n} =100^2(1-0.05)\frac{1{,}079{,}295}{5} =2{,}050{,}660{,}500.$$

第二階段班內抽樣變異數估計為

$$\widehat{V}_2(\hat{T}) =\frac{N}{n}\sum_{i=1}^{n} M_i^2\left(1-\frac{m_i}{M_i}\right)\frac{s_i^2}{m_i}.$$

代入表中資料：

核心觀念

本題考查系統抽樣的平均數估計與變異數估計。母體數為 $N=205$，樣本數為 $n=21$，抽樣間隔為 $k=10$。

系統抽樣只抽到一組樣本，無法直接由不同起點的樣本估計設計變異數。第一小題以簡單隨機抽樣的變異數估計式近似；第二小題則用相鄰觀測值的連續差數估計變異數。兩者皆納入有限母體修正係數：

$$1-f=1-\frac{n}{N}=1-\frac{21}{205}=\frac{184}{205}\approx0.89756.$$

（一）平均數估計與 95% 信賴區間

樣本平均數為

$$\bar y=\frac{\sum_{i=1}^{21}y_i}{21} =\frac{42,800}{21} \approx2,038.10\text{ 元}.$$

先以樣本變異數估計母體變異數：

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}{n-1} =\frac{\sum y_i^2-(\sum y_i)^2/n}{n-1}.$$

本題 $\sum y_i^2=91,724,200$，因此

$$s^2 =\frac{91,724,200-42,800^2/21}{20} \approx224,686.19.$$

平均數估計值的標準誤估計為

$$\widehat{SE}(\bar y) =\sqrt{\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{s^2}{n}} =\sqrt{\frac{184}{205}\cdot\frac{224,686.19}{21}} \approx97.99\text{ 元}.$$

以 $t_{0.975,20}\approx2.086$ 建立 95% 信賴區間：

$$\bar y\pm t_{0.975,20}\widehat{SE}(\bar y) =2,038.10\pm2.086(97.99).$$

故信賴區間約為

$$(1,833.7,\ 2,242.5)\text{ 元}.$$

這是以簡單隨機抽樣變異數公式近似系統抽樣變異數所得的區間。

核心觀念

本題以 80 個區域為抽樣單位，從中以不放回簡單隨機抽樣抽出 6 個區域；每個區域內調查居民總數 $M_i$ 與 65 歲以上人口數 $Y_i$。因此屬於群集抽樣，抽樣單位是區域，觀察單位是居民。

令區域數 $N=80$、樣本區域數 $n=6$。區域老年人口比例估計採比率估計量：

$$\hat{R}=\frac{\sum_{i\in s}Y_i}{\sum_{i\in s}M_i}$$

城市老年人口總數可用兩種方法估計：

1. 以區域為單位的擴張估計：$\hat{Y}=N\bar{y}$。
2. 已知城市居民總數 $M=4250$ 時的比率估計：$\hat{Y}_R=M\hat{R}$。

95% 誤差界限與信賴區間採常態近似，使用 $z_{0.975}=1.96$。

解題方法

先整理樣本資料：

$$\sum M_i=85+37+49+50+34+45=300$$ $$\sum Y_i=15+8+12+11+8+12=66$$

各區域老年人口比例的樣本比率為：

$$\hat{R}=\frac{66}{300}=0.22$$

（一）估計老年人口比例與 95% 誤差界限

比率估計量的變異數以線性化殘差估計。定義每區域殘差：

$$e_i=Y_i-\hat{R}M_i$$

本題各區域殘差依序為 $-3.7,-0.14,1.22,0,0.52,2.1$，因此：

$$\sum_{i\in s}e_i^2=22.196$$

樣本區域殘差變異數為：

$$s_e^2=\frac{\sum e_i^2}{n-1} =\frac{22.196}{5}=4.4392$$

在等機率簡單隨機抽取區域下，比例估計量變異數估計為：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{R}) =\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{s_e^2}{n\bar{M}^{\,2}}$$

其中 $\bar{M}=300/6=50$，故：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{R}) =\left(1-\frac{6}{80}\right)\frac{4.4392}{6(50)^2} \approx 0.0002633$$ $$\operatorname{SE}(\hat{R})\approx \sqrt{0.0002633}=0.01623$$

95% 誤差界限為：

$$B=1.96(0.01623)\approx 0.0318$$

所以估計比例為 $22.0\%$，95% 誤差界限約為 3.18 個百分點；相應的近似 95% 區間為 $18.82\%$ 至 $25.18\%$。

（二）估計老年人口總數與 95% 信賴區間

每個區域老年人口數的樣本平均為：

$$\bar{y}=\frac{66}{6}=11$$

以區域為抽樣單位的擴張估計量為：

$$\hat{Y}=N\bar{y}=80(11)=880$$