112 地方特考三等 測量製圖類科 測量平差法 考古題詳解

核心觀念

本題考的是三種精度指標的定義，以及標準誤差為何適合作為描述觀測量精度的慣用指標。若觀測誤差服從平均值為零、標準差為 $\sigma$ 的常態分布，則：

• 標準誤差：誤差的均方根，反映誤差的離散程度： $\sigma=\sqrt{E(e^2)}$
• 平均誤差：誤差絕對值的期望值： $E(|e|)$
• 或然誤差：使誤差落在其正負範圍內的機率為 $50\%$ 的數值；常態分布下約為 $0.6745\sigma$。

三者都能描述誤差大小，但標準誤差與最小二乘平差及誤差傳播理論的數學架構直接相連，因此在測量平差中最為常用。

解題方法

回答時從「數學上的便利性」與「平差理論上的關聯」切入，說明標準誤差如何由觀測殘差估計，並指出其在加權平差及成果精度推算中的作用。

在常態分布下，平均誤差與標準誤差有固定比例關係：

$E(|e|)=\sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}}\approx0.7979\sigma$

或然誤差與標準誤差的關係為：

$r=0.6745\sigma$

因此，若採用這些指標，仍須先建立分布假設或換算關係；標準誤差則可直接用均方值及其估計式處理。

為何通常採用標準誤差

1. 與最小二乘原理直接配合 最小二乘平差以殘差平方和為核心，標準誤差由平方和導出。例如，單位權中誤差常以 $\hat{\sigma}_0=\sqrt{\frac{v^\mathsf{T}Pv}{n-u}}$ 估計，其中 $v$ 為殘差向量、$P$ 為權矩陣、$n$ 為觀測數、$u$ 為未知數個數。這使標準誤差能直接反映平差結果的整體離散程度。

核心觀念

圖中整個已知角 $\alpha$ 可分解為

因此

已知 $\alpha$ 無誤差，故 $x$ 的誤差只來自 $\beta_1$ 與 $\beta_2$。含相關觀測量的誤差傳播公式為

其中 $\sigma_{12}$ 為 $\beta_1$ 與 $\beta_2$ 的協變方。

解題方法

由

可得偏微分係數

又因 $\alpha$ 無誤差，不需列入誤差傳播式。代入題 given：

核心觀念

本題考「算術平均值具有最小平方和性質」。觀測值寫成 $l_i=\bar l+\varepsilon_i$，其中 $\bar l$ 為 $n$ 次觀測的算術平均值，$\varepsilon_i=l_i-\bar l$ 為各觀測值相對平均值的偏差。題目採用 $l=l_i+v_i$ 的記號，因此改正數為 $v_i=l-l_i$；令待配適的距離 $l=\bar l$，便有 $v_i=\bar l-l_i=-\varepsilon_i$。

解題方法

由算術平均值的定義，

任取一個距離估值 $l$，將它表示為 $l=\bar l+d$，其中 $d=l-\bar l$。依題目定義，$v_i=l-l_i$，故

將改正數平方後加總：

核心觀念

平面三角形的三個內角應滿足幾何條件

$x+y+z=180^\circ。$

本題的三個角度觀測值等權、彼此獨立且不相關，因此觀測權矩陣為單位矩陣。以未知數附有條件之間接觀測平差求解，等同於在角度總和條件下，使三個角度改正數平方和最小。

解題方法

先將觀測值總和換算為度、分、秒：

因此觀測角總和的閉合差為 $w=-30^{\prime\prime}$。令 $v_x,v_y,v_z$ 分別為三個角的改正數，則平差後角度須滿足

$v_x+v_y+v_z=30^{\prime\prime}。$

由等權最小二乘原則，需使

$v_x^2+v_y^2+v_z^2$

核心觀念

本題將條件方程式改寫成間接觀測模型，再以最小二乘法建立法方程。題目指定 $v_1=x_1$、$v_2=x_2$、$v_7=x_3$，因此可先從四個條件式解出其餘 $v_i$，再整理成

題目未提供權，以下按等權處理，即 $P=I$。間接觀測平差法方程為

解題方法

由第一式可得

由第四式可得

將這兩式代入第二式：

再由第三式求得

加上題目指定的 $v_1=x_1$、$v_2=x_2$、$v_7=x_3$，誤差方程式為

整理為 $\boldsymbol v=A\boldsymbol x-\boldsymbol l$：