112 地方特考三等 測量製圖類科 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考全測站儀設站作業與極座標法三維坐標計算。儀器設於已知點 $O$，先使儀器的測站位置、鉛直軸與方向基準正確，再以已知點 $B$ 後視定向；量得至未知點 $A$ 的距離及角度後，即可換算為坐標增量。

設坐標系為平面直角坐標系，$X$、$Y$ 為水平坐標，$Z$ 為高程。題目未明定角度基準，以下採測量常用約定：水平角 $H_A$ 為自後視方向 $OB$ 起算、順時針增加的水平角；垂直角 $V_A$ 為自水平面起算的垂直角，仰角為正、俯角為負。若儀器顯示的是天頂距，須先換算為 $V_A=90^\circ-Z_A^{\text{天頂距}}$。

定平、定心、定向之意義

• 定平：調整腳架及整平螺旋，使儀器的鉛直軸保持鉛直，水平度盤與水準面平行。定平可使水平角、垂直角依其定義正確量測。
• 定心：使儀器的測站中心與已知點 $O$ 的標誌中心重合。若未定心，實際觀測起點便不在 $O$，會造成水平位置及高程計算誤差。
• 定向：以已知點 $B$ 為後視方向，建立水平度盤的方向基準。由 $O$、$B$ 的已知平面坐標可算出方位角，再將儀器的水平角讀數對準該基準，使觀測至 $A$ 的水平角能轉換成坐標方位角。

解題方法與推導

一、計算後視方位角

由測站 $O$ 指向後視點 $B$ 的坐標增量為

$$\Delta X_{OB}=X_B-X_O,\qquad \Delta Y_{OB}=Y_B-Y_O.$$

採測量方位角自北方向起算、順時針增加的慣例，後視方位角為

$$\alpha_{OB}=\operatorname{atan2}(\Delta Y_{OB},\Delta X_{OB}),$$

並將結果整理至 $0^\circ$ 至 $360^\circ$ 範圍。使用 $\operatorname{atan2}$ 可依 $\Delta X_{OB}$、$\Delta Y_{OB}$ 的正負判定正確象限。

二、求未知點的水平方位角及水平距離

水平角 $H_A$ 是由後視方向 $OB$ 轉至 $OA$ 的順時針角，因此

$$\alpha_{OA}=\alpha_{OB}+H_A.$$

將 $\alpha_{OA}$ 化至 $0^\circ$ 至 $360^\circ$ 範圍。

傾斜距離 $S$ 與垂直角 $V_A$ 可分解為水平距離 $D$ 及高程方向的距離分量：

$$D=S\cos V_A,\qquad \Delta h=S\sin V_A.$$

三、將水平距離分解為坐標增量

依方位角自北方向起算的定義，

$$\Delta X_{OA}=D\cos\alpha_{OA},\qquad \Delta Y_{OA}=D\sin\alpha_{OA}.$$

因此，未知點的平面坐標為

$$X_A=X_O+D\cos\alpha_{OA},$$ $$Y_A=Y_O+D\sin\alpha_{OA}.$$

核心觀念

本題考查直接水準測量中，水準儀架設後至讀數期間儀器發生升降，所造成的「儀器升沉誤差」，以及水準路線的觀測安排如何減弱或消除其影響。

水準測量以後視讀數 $a$ 減去前視讀數 $b$ 求高程差：

$$\Delta h = a-b$$

若儀器在同一測站觀測後視與前視期間升沉，兩次視線的高度便不相同，兩尺讀數受影響的程度也不同，因此高程差會產生誤差。

解題方法

假設水準儀在測站架好時視線高程為 $H_I$，儀器升沉量為 $\delta$，升高取正、下沉取負；後視讀數先讀，前視讀數後讀。

後視讀數是在儀器升沉前觀測：

$$a = H_I-H_A$$

儀器升沉後，視線高程變為 $H_I+\delta$，前視讀數為：

$$b = H_I+\delta-H_B$$

因此觀測所得高程差為：

$$a-b=(H_I-H_A)-(H_I+\delta-H_B) =(H_B-H_A)-\delta$$

正確高程差應為 $H_B-H_A$，所以升沉造成的高程差誤差為 $-\delta$。換言之，儀器升高會使測得高程差偏小；儀器下沉則使測得高程差偏大。

簡圖與誤差說明

後視尺 A 前視尺 B
 │ │
 │ 先讀 a │ 後讀 b
 │ │
 ├────── 視線：儀器升沉前 ─┤
 水準儀
 ↑ δ（升高）
 ├────── 視線：儀器升沉後 ─┤

核心觀念

對向交互水準測量（Reciprocal Leveling）是測定兩點高程差的方法，適用於兩點相距較遠、地形阻隔或中間有河流、深谷等障礙，無法將水準儀設在兩點中間進行一般水準測量的情形。其關鍵做法是：在兩點附近及兩點之間各設一次儀器，分別由兩端觀測，以平均兩次高程差的方式消除視準軸誤差與地球曲率、折光等對觀測結果的影響。

設兩點為 $A$、$B$，高程差定義為 $\Delta H=H_B-H_A$。水準尺讀數以後視減前視計算高程差。

作業程序與公式推導

1. 將水準儀設於 $A$ 點附近，觀測 $A$、$B$ 兩點水準尺，讀數分別為 $a_1$、$b_1$。第一次觀測所得高程差為 $\Delta H_1=a_1-b_1.$

2. 將水準儀移至 $B$ 點附近，重新觀測兩點水準尺，讀數分別為 $a_2$、$b_2$。第二次觀測仍以 $A$ 尺讀數減 $B$ 尺讀數表示： $\Delta H_2=a_2-b_2.$

3. 取兩次觀測高程差的平均值，得到 $B$ 相對於 $A$ 的高程差：

$$\Delta H=H_B-H_A=\frac{\Delta H_1+\Delta H_2}{2} =\frac{(a_1-b_1)+(a_2-b_2)}{2}.$$

若以水準測量常用的「後視減前視」記號，第一次設站於 $A$ 附近，則 $\Delta H_1=a_1-b_1$；第二次設站於 $B$ 附近，仍需按同一方向計算，即 $\Delta H_2=a_2-b_2$。統一方向可避免將兩次高程差誤取相反號。

誤差消除原理

核心觀念

本題考閉合四邊形面積的計算，以及由邊長觀測誤差傳遞至面積中誤差。將四邊形沿對角線 $BD$ 分為三角形 $ABD$ 與 $BCD$，以兩邊及夾角求三角形面積。面積中誤差則以誤差傳播律計算；題目給定各邊長觀測相互獨立，且中誤差均為 $0.05\ \mathrm{m}$。

解題方法

先由三角形 $ABD$ 的兩邊及夾角求對角線 $BD$：

$$BD=\sqrt{AB^2+DA^2-2(AB)(DA)\cos\angle DAB} =192.0314\ \mathrm{m}.$$

三角形 $ABD$ 面積為

$$S_1=\frac12(AB)(DA)\sin\angle DAB =10\,430.03\ \mathrm{m^2}.$$

再以三邊 $BC,CD,BD$ 使用海龍公式。令半周長

$$s=\frac{BC+CD+BD}{2}=273.5232\ \mathrm{m},$$

則

$$S_2=\sqrt{s(s-BC)(s-CD)(s-BD)} =15\,465.53\ \mathrm{m^2}.$$

因此四邊形面積為

$$S=S_1+S_2=25\,895.56\ \mathrm{m^2}.$$

面積中誤差

以四邊長 $a=AB,\ b=BC,\ c=CD,\ d=DA$ 為觀測量，夾角 $\theta=\angle DAB$ 視為已知。以數值微分求面積對各邊長的偏導數，於題給邊長及角度處計算得