112 地方特考三等 測量製圖類科 航空測量學 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・測量製圖類科
試題代碼 航空測量學

第 一 題25 分

回答並說明航空攝影相片上受以下現象影響最小或為零的點或線為何？（每小題 5 分，共 25 分）

(一) 透鏡畸變差（lens distortion）

(二) 高差移位（relief displacement）

(三) 傾斜移位（tilt displacement）

(四) 大氣折射造成之偏移

(五) 曝光衰減（exposure falloff）

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核心觀念

本題考各種航空相片幾何與成像效應的「零位」或「最小位置」。判斷時要先辨認每種效應依賴的方向或距離：

  • 透鏡畸變差與大氣折射偏移主要隨像點離像主點的徑向距離增加。
  • 高差移位以像底點為中心，隨地物高差及離像底點的距離增加。
  • 傾斜移位與相片傾斜及像點相對主線的位置有關。
  • 曝光衰減因光線斜穿鏡頭而使影像邊緣較暗，影像中心衰減最小。

解題方法

逐項找出各效應的基準點或基準線，再判斷該效應在何處為零或最小。注意「零」與「最小」不同：有些幾何位移在特定位置為零；曝光衰減則是中心最小，通常不表示衰減量絕對為零。

各小題分析

（一）透鏡畸變差（lens distortion）：像主點。

透鏡畸變通常以像主點為徑向基準，畸變量隨像點到像主點的距離增大。像主點的徑向距離為零，因此透鏡畸變差在此為零。

可用概念式表示為：

Δr=f(r),f(0)=0\Delta r=f(r),\qquad f(0)=0

其中 rr 為像點至像主點的距離。

（二）高差移位（relief displacement）：像底點。

高差移位是地物因高於或低於基準面，在相片上相對於其基準面位置所產生的徑向位移。以像底點為中心，其常用近似關係為：

dr≈rhHd_r\approx \frac{r h}{H}
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第 二 題25 分

說明攝影測量正射校正（ortho-rectification）之目的、所需資料及程序。

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核心觀念

正射校正是利用像片的內方位、外方位與地表高程資料，將中心投影的航空影像改正為近似正射投影影像的程序。校正後，影像上地物的位置與地面平面位置相符，比例尺較一致，可量測距離與面積，也便於與地圖或其他影像套疊。

未校正的航空像片會因地形起伏與攝影姿態產生位移：地物高度造成像點徑向位移，傾斜攝影則造成不同方向與程度的幾何變形。正射校正會依地表高程反算影像取樣位置，消除這些幾何影響；地形起伏區通常須使用數值地形模型（DTM），若地表建物、樹木等高度也須反映，則採用數值表面模型（DSM）。

所需資料

  1. 原始航空影像：須具備足夠的影像品質及重疊範圍。
  2. 內方位資料：相機焦距、像主點位置及鏡頭畸變等校正參數，用以描述相機成像幾何。
  3. 外方位資料：攝影站的三維位置，以及影像的姿態角（如 ω,ϕ,κ\omega,\phi,\kappa）。可由空中三角測量或其他定位成果取得。
  4. 地表高程資料：DTM 或 DSM，提供每一地面位置的高程。
  5. 控制與坐標資料：地面控制點及其坐標、目標坐標系統與投影方式，用來建立或檢核影像與地面坐標的關係。
  6. 輸出設定：正射影像的地面像元大小、範圍、坐標系統及重採樣方法。

解題方法與程序

本題依「幾何模型建立—逐像元反算—影像重採樣—成果檢核」說明即可。正射校正常採反向投影：先在輸出正射影像上設定地面網格，再逐一求出其在原始影像上的位置，從原影像取樣賦值。反向投影可避免正向投影時像元散落而產生空隙。

1. 前處理與建立幾何關係

檢查影像、相機校正參數、外方位、控制點及高程資料的坐標系統與單位是否一致。以內、外方位資料建立影像坐標與地面坐標之間的攝影幾何關係；若外方位尚未確定，須先透過空中三角測量求得。

共線條件方程描述攝影中心、地面點與像點三者共線。以地面點 (X,Y,Z)(X,Y,Z) 投影至像片坐標 (x,y)(x,y) 為例：

x−x0=−f r11(X−Xs)+r12(Y−Ys)+r13(Z−Zs)r31(X−Xs)+r32(Y−Ys)+r33(Z−Zs)x-x_0=-f\, \frac{r_{11}(X-X_s)+r_{12}(Y-Y_s)+r_{13}(Z-Z_s)} {r_{31}(X-X_s)+r_{32}(Y-Y_s)+r_{33}(Z-Z_s)} y−y0=−f r21(X−Xs)+r22(Y−Ys)+r23(Z−Zs)r31(X−Xs)+r32(Y−Ys)+r33(Z−Zs)y-y_0=-f\, \frac{r_{21}(X-X_s)+r_{22}(Y-Y_s)+r_{23}(Z-Z_s)} {r_{31}(X-X_s)+r_{32}(Y-Y_s)+r_{33}(Z-Z_s)}
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第 三 題25 分

說明光束法平差（bundle adjustment）的原理並討論其自由度。

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核心觀念

光束法平差（bundle adjustment）是以多張影像中同名像點的影像座標為觀測量，依據攝影中心、像片點與地面點共線的幾何關係，同時求解各張影像的外方位元素及地面點座標的整體平差方法。「光束」指每個像點與其攝影中心所形成的空間光線；平差使各光線與相應地面點符合共線條件，並使影像座標的改正數平方和符合最小二乘原則。

解題方法：共線條件與聯合平差

對第 jj 張影像上的第 ii 個地面點，若攝影中心為 (X0j,Y0j,Z0j)(X_{0j},Y_{0j},Z_{0j})、地面點為 (Xi,Yi,Zi)(X_i,Y_i,Z_i)，焦距為 ff，旋轉矩陣為 Rj=[rkl]R_j=[r_{kl}]，則共線方程式可寫為：

xij−x0j=−f r11(Xi−X0j)+r12(Yi−Y0j)+r13(Zi−Z0j)r31(Xi−X0j)+r32(Yi−Y0j)+r33(Zi−Z0j)x_{ij}-x_{0j} = -f\, \frac{r_{11}(X_i-X_{0j})+r_{12}(Y_i-Y_{0j})+r_{13}(Z_i-Z_{0j})} {r_{31}(X_i-X_{0j})+r_{32}(Y_i-Y_{0j})+r_{33}(Z_i-Z_{0j})} yij−y0j=−f r21(Xi−X0j)+r22(Yi−Y0j)+r23(Zi−Z0j)r31(Xi−X0j)+r32(Yi−Y0j)+r33(Zi−Z0j)y_{ij}-y_{0j} = -f\, \frac{r_{21}(X_i-X_{0j})+r_{22}(Y_i-Y_{0j})+r_{23}(Z_i-Z_{0j})} {r_{31}(X_i-X_{0j})+r_{32}(Y_i-Y_{0j})+r_{33}(Z_i-Z_{0j})}

式中 (xij,yij)(x_{ij},y_{ij}) 是像點量測座標，(x0j,y0j)(x_{0j},y_{0j}) 是主點座標。實務上，將共線方程式在近似值處線性化，組成觀測方程式，並以最小二乘法聯合估計所有影像的外方位元素與地面點坐標。地面控制點的已知坐標作為控制條件；相片間的同名點連結各影像，使多張影像能共同參與平差。

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第 四 題25 分

列出共線條件式，需加入透鏡畸變差與像主點偏移量，並說明式中各參數之意義。

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核心觀念

本題考查航空攝影測量的共線條件式：攝影瞬間的攝影中心、地面點與該地面點在像片上的像點位於同一直線上。將像點座標表示在像主點座標系統中，並加入徑向透鏡畸變差與像主點偏移量，即可建立含內、外方位參數的像點觀測方程。

解題方法

設地面點為 P(X,Y,Z)P(X,Y,Z)，攝影中心為 S(Xs,Ys,Zs)S(X_s,Y_s,Z_s)，像片上對應像點的量測座標為 (x,y)(x,y)。先扣除像主點偏移量 (x0,y0)(x_0,y_0)，再以透鏡畸變改正量 (Δx,Δy)(\Delta x,\Delta y) 修正像點座標。令 r2=(x−x0)2+(y−y0)2r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2，則共線條件式可寫為：

x−x0+Δx=−f m11(X−Xs)+m12(Y−Ys)+m13(Z−Zs)m31(X−Xs)+m32(Y−Ys)+m33(Z−Zs)x-x_0+\Delta x = -f\, \frac{ m_{11}(X-X_s)+m_{12}(Y-Y_s)+m_{13}(Z-Z_s) }{ m_{31}(X-X_s)+m_{32}(Y-Y_s)+m_{33}(Z-Z_s) } y−y0+Δy=−f m21(X−Xs)+m22(Y−Ys)+m23(Z−Zs)m31(X−Xs)+m32(Y−Ys)+m33(Z−Zs)y-y_0+\Delta y = -f\, \frac{ m_{21}(X-X_s)+m_{22}(Y-Y_s)+m_{23}(Z-Z_s) }{ m_{31}(X-X_s)+m_{32}(Y-Y_s)+m_{33}(Z-Z_s) }

其中，Δx\Delta x、Δy\Delta y採用「加到量測座標上的改正量」符號約定。對僅考慮徑向透鏡畸變差的情形：

Δx=(x−x0)[k1r2+k2r4+k3r6+⋯ ]\Delta x=(x-x_0)\left[k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6+\cdots\right] Δy=(y−y0)[k1r2+k2r4+k3r6+⋯ ]\Delta y=(y-y_0)\left[k_1r^2+k_2r^4+k_3r^6+\cdots\right]

保留至一階徑向畸變係數時，取 k1k_1 項即可。代入後，含徑向透鏡畸變差與像主點偏移量的共線條件式為：

x−x0+(x−x0)k1r2=−f m11(X−Xs)+m12(Y−Ys)+m13(Z−Zs)m31(X−Xs)+m32(Y−Ys)+m33(Z−Zs)x-x_0+(x-x_0)k_1r^2 = -f\, \frac{ m_{11}(X-X_s)+m_{12}(Y-Y_s)+m_{13}(Z-Z_s) }{ m_{31}(X-X_s)+m_{32}(Y-Y_s)+m_{33}(Z-Z_s) }
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