112 地方特考三等 化學工程類科 輸送現象與單元操作 考古題詳解

112 年・地方特考・三等・化學工程類科
試題代碼 輸送現象與單元操作

第 一 題15 分

某入料 20 wt%20\ \mathrm{wt\%} KNO3KNO_3 溶液以 1000 kg/h1000\ \mathrm{kg/h} 進入操作溫度為 422 K422\ \mathrm{K} 蒸發器內，移除水分生成 50 wt%50\ \mathrm{wt\%} KNO3KNO_3。接著進入操作溫度為 311 K311\ \mathrm{K} 結晶器，產生兩股流：一是 96 wt%96\ \mathrm{wt\%} KNO3KNO_3 結晶，另一是 37.5 wt%37.5\ \mathrm{wt\%} KNO3KNO_3 飽和溶液，其中 37.5 wt%37.5\ \mathrm{wt\%} KNO3KNO_3 飽和溶液回流，與入料混合後進入蒸發器。

（一）請畫出這製程流程圖。（5 分）

（二）計算 KNO3KNO_3 飽和溶液回流量。（10 分）

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核心觀念

本題考查含回流製程的穩態物料衡算。以 KNO3KNO_3 為不揮發溶質，蒸發器只移除水；結晶器則將進料分成含 96 wt%96\ \mathrm{wt\%} KNO3KNO_3 的結晶產品，以及含 37.5 wt%37.5\ \mathrm{wt\%} KNO3KNO_3 的飽和溶液回流。

（一）製程流程圖

新鮮進料
1000 kg/h
20 wt% KNO₃
 │
 ▼
 混合器 ◀──────────────────────────────┐
 │ │
 ▼ │
 蒸發器 │
 422 K │
 │ 水蒸氣 │
 ├──────────────────↑ │
 │ │
 ▼ │
 結晶器 │
 311 K │
 ├── 結晶產品：96 wt% KNO₃ │
 │ │
 └── 飽和溶液：37.5 wt% KNO₃ ─────────┘
 回流

（二）回流量計算

令飽和溶液回流量為 R kg/hR\ \mathrm{kg/h}，結晶產品量為 C kg/hC\ \mathrm{kg/h}。

1. 對全流程作 KNO3KNO_3 衡算

回流是內部循環流，不影響全流程的外部溶質衡算。新鮮進料帶入的 KNO3KNO_3 為

1000(0.20)=200 kg/h1000(0.20)=200\ \mathrm{kg/h}

全流程唯一的 KNO3KNO_3 產品是結晶，且其含量為 96 wt%96\ \mathrm{wt\%}，因此

0.96C=2000.96C=200
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第 二 題15 分

圖一描述平行套管夾層間之穩態層流流動（steady-state laminar flow）流體，其中內管之外徑為 kRkR，外管之內徑為 RR。已知流體黏度為 μ\mu，套管內僅有 zz 方向壓降 (−dp/dz)\left(-\mathrm{d}p/\mathrm{d}z\right)，且在 r=rmax⁡r=r_{\max} 有最大流速。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）試推導出 zz 方向流體速度分布。（10 分）

（二）試推導出

rmax⁡=R2(k2−1)ln⁡k12。r_{\max}=\sqrt{\frac{R^2\left(k^2-1\right)}{\ln k}\frac{1}{2}}。

（5 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查圓柱座標下的「平行套管夾層內穩態層流」，使用下列條件：

  • 軸向速度僅為 zz 方向速度：vz=vz(r)v_z=v_z(r)。
  • 穩態、不可壓縮、完全發展流。
  • 流體黏度 μ\mu 為常數。
  • 內、外管壁皆滿足無滑動條件。
  • 由圖可知夾層的內、外半徑分別為
ri=kR,ro=R,0<k<1.r_i=kR,\qquad r_o=R,\qquad 0<k<1.

令壓降梯度為

G=−dpdz>0.G=-\frac{\mathrm dp}{\mathrm dz}>0.

（一）zz 方向速度分布

1. 建立控制方程

對穩態、完全發展之軸向流動，zz 方向動量方程為

0=−dpdz+μ[1rddr(rdvzdr)].0=-\frac{\mathrm dp}{\mathrm dz} +\mu\left[\frac{1}{r}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr} \left(r\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dr}\right)\right].

代入 G=−dp/dzG=-\mathrm dp/\mathrm dz，得

1rddr(rdvzdr)=−Gμ.\frac{1}{r}\frac{\mathrm d}{\mathrm dr} \left(r\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dr}\right) =-\frac{G}{\mu}.

2. 兩次積分

先乘以 rr 並積分：

ddr(rdvzdr)=−Gμr,\frac{\mathrm d}{\mathrm dr} \left(r\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dr}\right) =-\frac{G}{\mu}r, rdvzdr=−G2μr2+C1.r\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dr} =-\frac{G}{2\mu}r^2+C_1.

因此

dvzdr=−G2μr+C1r.\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dr} =-\frac{G}{2\mu}r+\frac{C_1}{r}.

再次積分：

vz(r)=−G4μr2+C1ln⁡r+C2.v_z(r) =-\frac{G}{4\mu}r^2+C_1\ln r+C_2.

3. 套用無滑動邊界條件

在內管外壁與外管內壁：

vz(kR)=0,vz(R)=0.v_z(kR)=0,\qquad v_z(R)=0.

將兩邊相減，可得

C1=GR2(k2−1)4μln⁡k.C_1 =\frac{G R^2(k^2-1)}{4\mu\ln k}.

代回並整理，速度分布為

vz(r)=G4μ[R2−r2+R2(k2−1)ln⁡kln⁡(rR)]\boxed{ v_z(r)=\frac{G}{4\mu} \left[ R^2-r^2+ \frac{R^2(k^2-1)}{\ln k} \ln\left(\frac rR\right) \right] }

其中

G=−dpdz.G=-\frac{\mathrm dp}{\mathrm dz}.

因此也可寫成

vz(r)=−dp/dz4μ[R2−r2+R2(k2−1)ln⁡kln⁡(rR)]\boxed{ v_z(r)=\frac{-\mathrm dp/\mathrm dz}{4\mu} \left[ R^2-r^2+ \frac{R^2(k^2-1)}{\ln k} \ln\left(\frac rR\right) \right] }

適用範圍為

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第 三 題15 分

設計某冷卻蛇管可帶走槽溫為 297.1 K297.1\ \mathrm{K} 之總 14.65 W14.65\ \mathrm{W} 熱量。已知管內外水溫分別為 274.9 K274.9\ \mathrm{K} 與 297.1 K297.1\ \mathrm{K}，及管內外半徑分別為 5 mm5\ \mathrm{mm} 與 20 mm20\ \mathrm{mm}，且該材質熱傳導係數 k=0.151 W/(m⋅K)k=0.151\ \mathrm{W/(m\cdot K)}。請依據傳立葉熱傳導定律（Fourier’s law），求出該管長（m）。（15 分）

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核心觀念

本題考查圓筒形管壁的穩態徑向熱傳導。依傅立葉熱傳導定律，熱量由管外較高溫處傳向管內較低溫處。由於圓筒側面積會隨半徑改變，不能直接套用平板熱傳導公式；積分傅立葉定律後，圓筒壁的熱傳率為

Q=2πkL(To−Ti)ln⁡(ro/ri)Q=\frac{2\pi kL(T_o-T_i)}{\ln(r_o/r_i)}

其中 QQ 為熱傳率（W\mathrm{W}）、kk 為熱傳導係數、LL 為管長、ToT_o 與 TiT_i 分別為外壁與內壁溫度，ror_o 與 rir_i 分別為外半徑與內半徑。

解題方法

題目給定總帶走熱量 14.65 W14.65\ \mathrm{W}，視為穩態熱傳率 QQ。槽溫及管外水溫皆為 297.1 K297.1\ \mathrm{K}，故管外側溫度取 To=297.1 KT_o=297.1\ \mathrm{K}；管內水溫為 Ti=274.9 KT_i=274.9\ \mathrm{K}。溫差為

ΔT=To−Ti=297.1−274.9=22.2 K\Delta T=T_o-T_i=297.1-274.9=22.2\ \mathrm{K}

半徑須先由毫米換算為公尺：

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第 四 題30 分

圖二描述某蒸餾塔理想操作下，控制面 I 與 II 分別定義精餾（rectifying）與汽提（stripping）段中各氣（VV）液（LL）物流中成分變化。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（一）說明回流設計目的。（5 分）

（二）何種型式再沸器（reboiler）最常見於化學與石化工業中的蒸餾塔？（5 分）

（三）假設 xDx_D 與回流比（RDR_D）為已知參數，求精餾段操作線。（10 分）

（四）圖二蒸餾塔內各操作線描述在 McCabe-Thiele 圖內（圖三）。請指出圖三中那一直線代表是進料為飽和液體且①的值為何？（10 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查二元蒸餾塔的：

  • 回流作用與回流比定義。
  • 再沸器型式。
  • 精餾段物料衡算與操作線推導。
  • McCabe–Thiele 圖中的進料線（qq-line）。

其中，精餾段操作線由控制面 I 的總物料衡算與易揮發成分衡算求得。

（一）回流設計目的

冷凝器將塔頂蒸氣冷凝後，將部分液體回流至塔內，形成向下流動的液相。回流的主要目的為：

  1. 增加塔內氣液兩相的接觸量。
  2. 使向下液相中的易揮發成分濃度降低，向上氣相中的易揮發成分濃度提高。
  3. 提供精餾所需的內部液體流量，使塔頂產品能達到指定純度。
  4. 在相同產品純度下，降低所需理論板數。
  5. 調整回流比可在「能耗」與「分離效率」間取得平衡。

回流比定義為

RD=LaDR_D=\frac{L_a}{D}

其中 LaL_a 為回流液流量，DD 為塔頂產品流量。

（二）最常見的再沸器型式

化學工業與石化工業的蒸餾塔中，最常見的是釜式再沸器（kettle reboiler）。

釜式再沸器具有一個較大的液體容積，塔底液體進入再沸器後，利用加熱蒸發產生上升蒸氣，未汽化液體則作為塔底產品排出。其優點為：

  • 液體停留量大，操作穩定。
  • 可處理一定程度的污垢與高黏度物料。
  • 氣液分離空間充足。
  • 操作與控制相對簡單。

（三）精餾段操作線

1. 總物料衡算

對控制面 I 以上的精餾段作總物料衡算：

V=La+DV=L_a+D

由回流比定義

RD=LaDR_D=\frac{L_a}{D}

因此

La=RDDL_a=R_DD

且

V=(RD+1)DV=(R_D+1)D

2. 易揮發成分衡算

對控制面 I 以上作易揮發成分衡算：

Vyn+1=Laxn+DxDVy_{n+1}=L_ax_n+Dx_D

整理得

yn+1=LaVxn+DVxDy_{n+1}=\frac{L_a}{V}x_n+\frac{D}{V}x_D

代入

LaV=RDD(RD+1)D=RDRD+1\frac{L_a}{V} =\frac{R_DD}{(R_D+1)D} =\frac{R_D}{R_D+1}

以及

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第 五 題15 分

半徑 2 mm2\ \mathrm{mm} 蒸丸（Naphthalene sphere）懸浮於 1 atm1\ \mathrm{atm} 與 318 K318\ \mathrm{K} 大氣中，已知蒸丸表面溫度、表面蒸氣壓、理想氣體常數及擴散係數（diffusivity, DABD_{AB}）分別為 318 K318\ \mathrm{K}、0.555 mmHg0.555\ \mathrm{mmHg}、8.314 m3⋅Pa/(kgmol⋅K)8.314\ \mathrm{m^3\cdot Pa/(kgmol\cdot K)} 及 6.92×10−6 m2/s6.92\times10^{-6}\ \mathrm{m^2/s}。試求出蒸丸表面蒸發速率（kgmol/(s⋅m2)\mathrm{kgmol/(s\cdot m^2)}）。（15 分）

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核心觀念

本題考球形固體的昇華與氣體膜擴散。蒸丸表面的萘蒸氣向遠處空氣擴散，同時空氣中的萘莫耳分率可視為零。因萘蒸氣向外傳遞會造成等莫耳反向擴散假設不成立，應使用 A 穿過停滯 B 的球形穩態擴散式。

令 A 為萘蒸氣、B 為空氣，萘的表面莫耳分率為 yA,sy_{A,s}，遠處為 yA,∞≃0y_{A,\infty}\simeq 0。

解題方法

球形座標下，A 穿過停滯 B 的穩態莫耳通量為

NA(r)=DABCr ln⁡ ⁣(1−yA,∞1−yA,s)N_A(r)=\frac{D_{AB}C}{r}\, \ln\!\left(\frac{1-y_{A,\infty}}{1-y_{A,s}}\right)

其中 C=P/(RT)C=P/(RT)。在蒸丸表面 r=Rpr=R_p，且遠處萘蒸氣分率近似為零，因此

NA,s=DABPRTRpln⁡ ⁣(11−yA,s)N_{A,s} =\frac{D_{AB}P}{RT R_p} \ln\!\left(\frac{1}{1-y_{A,s}}\right)

先將表面蒸氣壓換成一致單位。題目給的 0.555 mmHg0.555\ \mathrm{mmHg} 對應

pA,s=0.555(101325760)=73.97 Pap_{A,s} =0.555\left(\frac{101325}{760}\right) =73.97\ \mathrm{Pa}

因此表面莫耳分率為

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第 六 題10 分

某熱鋼錠其初始溫度為 T0T_0，將其突然浸至於大型水槽內，其水溫維持在 T∞T_\infty。假設熱傳係數 h (W/(m2⋅K))h\ (\mathrm{W/(m^2\cdot K)}) 固定不變，且鋼錠密度、體積與熱容量分別定義為 ρ\rho、VV 與 cpc_p。試推導出熱鋼錠在時間 tt 的溫度關係式。假設鋼錠的內部溫度均一。（10 分）

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核心觀念

本題考查**集中容量法（集總熱容量法）**的非穩態熱傳。題目已假設鋼錠內部溫度均一，因此可用單一溫度 T(t)T(t) 描述整個鋼錠，並以能量平衡建立微分方程。

鋼錠的熱容量為 ρVcp\rho V c_p；表面與水槽間的對流熱傳率依牛頓冷卻定律表示為 hA(T−T∞)hA(T-T_\infty)，其中 AA 為鋼錠與水接觸的表面積。

解題方法

取鋼錠為控制體。當鋼錠溫度高於水溫時，鋼錠內能隨時間降低，因此能量平衡為

鋼錠內能變化率=−對流散熱率\text{鋼錠內能變化率}=-\text{對流散熱率}

鋼錠溫度均一且 ρ、V、cp\rho、V、c_p 為定值，故

ρVcpdTdt=−hA(T−T∞)\rho V c_p\frac{dT}{dt}=-hA(T-T_\infty)

整理並分離變數：

dTT−T∞=−hAρVcp dt\frac{dT}{T-T_\infty} =-\frac{hA}{\rho V c_p}\,dt

以初始條件 t=0t=0 時 T=T0T=T_0 積分至時間 tt、溫度 T(t)T(t)：

∫T0T(t)dTT−T∞=−hAρVcp∫0tdt\int_{T_0}^{T(t)}\frac{dT}{T-T_\infty} =-\frac{hA}{\rho V c_p}\int_0^t dt
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