108 地方特考四等 建築工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考的是斜交座標軸上的力分解。$F_2$ 不沿著 $x$ 軸或 $y$ 軸，因此要將它表示成沿兩軸方向的分量；分量大小不能直接用直角座標的投影公式，須依圖示角度使用正弦定理。

解題方法

依圖，$x$ 軸正向與 $y$ 軸正向的夾角為 $70^\circ$：圖示的 $110^\circ$ 是 $-y$ 軸與 $x$ 軸正向的夾角。$F_2$ 與 $-x$ 軸夾 $30^\circ$，且位於 $-x$ 軸與 $y$ 軸正向之間，因此 $F_2$ 與 $y$ 軸正向的夾角為

$F_2$ 與 $x$ 軸正向的夾角則為

由力的平行四邊形分解及正弦定理，沿兩軸的分量大小為

核心觀念

平面力對點的力矩可用位置向量與力向量的外積計算：

以逆時針為正。圖中力作用點相對於 $A$ 點的位置為向左 $3\text{ m}$、向下 $4\text{ m}$，所以

圖示的 $\theta$ 是力的方向與鉛直構件的夾角；依圖中力向右下方，力分量為 $F_x=450\sin\theta$、$F_y=-450\cos\theta$。

解題方法

將力分解為水平與鉛直分量，再代入力矩公式：

也可改寫為單一正弦函數。因為 $\sqrt{1350^2+1800^2}=2250$，且 $\cos36.87^\circ=0.8$、$\sin36.87^\circ=0.6$：

力矩圖形

在 $0^\circ\leq\theta\leq350^\circ$ 內，標出起點、極值與零點即可描繪正弦曲線：

核心觀念

各繩索為二力構件，只能沿繩方向施加拉力。對接點 $B$、$C$ 分別使用平面力平衡：

繩索拉力均須不超過 $45\text{ N}$。

解題方法

圖上未標出 $B$ 點的水平投影尺寸。以下依圖示幾何取 $D=(0,0)$、$A=(2,10)$、$C=(5,3)$、$B=(6,7)$，也就是假設 $AB$ 的水平差為 $4\text{ m}$、垂直差為 $3\text{ m}$，而 $BC$ 的水平差為 $1\text{ m}$、垂直差為 $4\text{ m}$。

因此，由 $B$ 指向 $A$、$C$ 的單位方向向量分別為

由 $C$ 指向 $B$、$D$ 的單位方向向量分別為

先對 $C$ 點列平衡式。設繩索 $BC$、$CD$ 的拉力為 $T_{BC}$、$T_{CD}$：

核心觀念

本題考查簡支梁含兩側懸臂時的支承反力，以及剪力圖、彎矩圖的繪製。採用以下關係：

• 集中力會使剪力產生跳躍，跳躍量等於該力；彎矩保持連續。
• 均佈載重使剪力線性變化，彎矩呈拋物線。
• 集中力矩會使彎矩跳躍；本題沒有集中力矩。
• 取向上力為正，剪力正負依左側截面慣例；彎矩正值代表正彎矩。

令 $x$ 自 $A$ 點向右量，單位為公尺。

解題方法

1. 求支承反力

均佈載重合力為：

• $A$ 至 $x=6$：$5(6)=30\text{ N}$，作用於 $x=3$。
• $x=6$ 至 $C$：$8(6)=48\text{ N}$，作用於 $x=9$。
• $D$ 點另有向下集中力 $12\text{ N}$，作用於 $x=14$。

設 $B、C$ 點反力分別為 $R_B、R_C$。取 $B$ 點為力矩中心：

因此：

再由垂直力平衡：

2. 剪力分布圖

由左向右逐段計算剪力：

關鍵剪力值如下：

• $A$ 點：$V=0$
• $B$ 點左側：$V_{B^-}=-20\text{ N}$；反力使剪力向上跳 $48.75\text{ N}$，故 $V_{B^+}=28.75\text{ N}$
• $x=6$：$V=18.75\text{ N}$，剪力連續，但斜率因載重強度改變而改變
• $C$ 點左側：$V_{C^-}=-29.25\text{ N}$；反力使剪力向上跳 $41.25\text{ N}$，故 $V_{C^+}=12\text{ N}$
• $D$ 點左側：$V_{D^-}=12\text{ N}$；向下集中力使剪力下降 $12\text{ N}$，故 $V_{D^+}=0$